Введение
Учебник по математике 1960 года Пола Халмоса. См. также статью «Наивная теория множеств» для ознакомления с данной математической темой. «Наивная теория множеств» – это учебник по математике Пола Халмоса, представляющий собой вводный курс в теорию множеств для студентов. Первоначально опубликованный издательством Van Nostrand в 1960 году, несмотря на то, что в названии указано слово «наивная», обычно подразумевающее отсутствие аксиоматики, книга содержит все аксиомы теории множеств ZFC (за исключением аксиомы регулярности) и даёт точные и строгие определения основных понятий. Отличие от «строгой» аксиоматической теории множеств заключается в подходе: в книге нет детального обсуждения аксиом и практически не затрагиваются сложные темы, такие как большие кардиналы. Вместо этого, она стремится быть понятной читателю, не имеющему предварительного опыта изучения теории множеств. Позже Халмос отмечал, что это была самая быстро написанная им книга, занявшая около шести месяцев, и что она как бы «написалась сама».
See also Naive set theory for the mathematical topic. Naive Set Theory is a mathematics textbook by Paul Halmos providing an undergraduate introduction to set theory. Originally published by Van Nostrand in 1960,
While the title states that it is naive, which is usually taken to mean without axioms, the book does introduce all the axioms of ZFC set theory (except the Axiom of Foundation), and gives correct and rigorous definitions for basic objects. Where it differs from a "true" axiomatic set theory book is its character: there are no discussions of axiomatic minutiae, and there is next to nothing about advanced topics like large cardinals. Instead, it tries to be intelligible to someone who has never thought about set theory before. Halmos later stated that it was the fastest book he wrote, taking about six months, and that the book "wrote itself".
Отсутствие аксиомы основания
Как отмечалось выше, в книге отсутствует аксиома основания (также известная как аксиома регулярности). Хальмос неоднократно уклоняется от вопроса о том, может ли множество содержать себя. С. 1: «множество может также быть элементом какого-либо другого множества» (выделено автором). С. 3: «is ∈ ever true? Это, конечно, не относится ни к одному разумному множеству, которое кто-либо когда-либо видел». С. 6: «∈ маловероятно, но не очевидно невозможно». Но Хальмос позволяет нам доказать, что существуют определенные множества, которые не могут содержать себя. С. 44: Хальмос позволяет нам доказать, что ∉. Если ∈, то −{} все равно будет преемником, поскольку ≠ ∅ и не является преемником какого-либо натурального числа. Но не является подмножеством −{}, что противоречит определению как подмножества каждого преемника. С. 47: Хальмос доказывает лемму о том, что «ни одно натуральное число не является подмножеством ни одного из своих элементов». Это позволяет нам доказать, что ни одно натуральное число не может содержать себя. Если ∈, где является натуральным числом, то ⊂ ∈, что противоречит лемме. С. 75: «Ординальное число определяется как вполне упорядоченное множество, такое, что для всех в ; здесь, как и прежде, начальный отрезок ∈ < }». Вполне упорядоченность определяется следующим образом: если и являются элементами ординального числа , то < означает ∈ (с. 75–76). Выбором символа < вместо ≤ Хальмос подразумевает, что вполне упорядоченность < является строгой (с. 55–56). Это определение < делает невозможным наличие ∈, где является элементом ординального числа. Это потому, что ∈ означает <, что подразумевает ≠ (поскольку < строгая), что невозможно. С. 75: вышеуказанное определение ординального числа также делает невозможным наличие ∈, где является ординальным числом. Это потому, что ∈ подразумевает = s. Это дает нам ∈ = s = ∈ < }, что подразумевает <, что подразумевает ≠ (поскольку < строгая), что невозможно.
p. 3: "is ∈ ever true? It is certainly not true of any reasonable set that anyone has ever seen." p. 6: " ∈ unlikely, but not obviously impossible"
But Halmos does let us prove that there are certain sets that cannot contain themselves. p. 44: Halmos lets us prove that ∉ For if ∈ , then − {} would still be a successor set, because ≠ ∅ and is not the successor of any natural number. But is not a subset of − {}, contradicting the definition of as a subset of every successor set. p. 47: Halmos proves the lemma that "no natural number is a subset of any of its elements." This lets us prove that no natural number can contain itself. For if ∈ , where is a natural number, then ⊂ ∈ , which contradicts the lemma. p. 75: "An ordinal number is defined as a well ordered set such that for all in ; here is, as before, the initial segment ∈ < }." The well ordering is defined as follows: if and are elements of an ordinal number , then < means ∈ (pp. 75 76). By his choice of the symbol < instead of ≤, Halmos implies that the well ordering < is strict (pp. 55 56). This definition of < makes it impossible to have ∈ , where is an element of an ordinal number. That's because ∈ means < , which implies ≠ (because < is strict), which is impossible. p. 75: the above definition of an ordinal number also makes it impossible to have ∈ , where is an ordinal number. That's because ∈ implies = s This gives us ∈ = s = ∈ < }, which implies < , which implies ≠ (because < is strict), which is impossible.
Эрара
стр. 4, строка 18: "Каин и Авель" должны быть "Сет, Каин и Авель". С. 30, строка 10: "x onto y" должно быть "x into y". стр. 73, строка 19: "для каждого z в X" должно быть "для каждого a в X". стр. 75, строка 3: "если и только если x ∈ F(n)" должно быть "если и только если x = {b: S(n, b)}". С. 66, строка 16: "Рассмотрим, например, множество E всех пар (a,b), для которых (1,1) <= (a,b); множество E имеет (1,1) в качестве своего наименьшего элемента.": утверждение неверно, поскольку (2,2) <= (1,1). Фактически (2x2+1)x2^1 = 10 <= (2x1+1)x2^2 = 12.