Введение

Обобщение последовательности точек в топологических пространствах

В математике, в частности в общей топологии и смежных областях, сетью или последовательностью Мур-Смита называется функция, областью определения которой является направленное множество. Областью значений этой функции обычно является некоторое топологическое пространство. Сети непосредственно обобщают понятие последовательности в метрическом пространстве. Сети в основном используются в анализе и топологии, где они применяются для характеризации многих важных топологических свойств, которые (в общем случае) последовательности не могут охарактеризовать (этот недостаток последовательностей послужил стимулом для изучения последовательных пространств и пространств Фреше-Урысона). Сети находятся во взаимно однозначном соответствии с фильтрами.

История

Концепция сети была впервые введена Э. Х. Муром и Германом Л. Смитом в 1922 году. Термин "сеть" был введен Джоном Л. Келли. Связанная концепция фильтра была разработана в 1937 году Анри Картаном.

Сводные точки сетей

Сеть называется супериорной или кофинальной, если для каждого элемента сети существует элемент , такой что и . Точка называется точкой сгущения (или предельной точкой) сети, если для каждой окрестности этой точки сеть часто (или кофинально) содержится в этой окрестности. Фактически, точка является точкой сгущения тогда и только тогда, когда у неё есть подмножество, сходящееся к ней. Множество всех точек сгущения сети в равно для каждого , где .

Сети косированные

Сеть Коши обобщает понятие последовательности Коши на сети, определенные на однородных пространствах. Сеть называется сетью Коши, если для каждого окружения существует индекс α такой, что для всех индексов β > α элемент xβ принадлежит этому окружению. В более общем случае, в пространстве Коши, сеть Коши, если фильтр, порожденный сетью, является фильтром Коши. Топологическое векторное пространство (ТВП) называется полным, если каждая сеть Коши сходится к некоторой точке. Нормированное пространство, являющееся особым типом топологического векторного пространства, является полным ТВП (эквивалентно, пространством Банаха) тогда и только тогда, когда каждая последовательность Коши сходится к некоторой точке (свойство, называемое последовательной полнотой). Хотя сети Коши не требуются для описания полноты нормированных пространств, они необходимы для описания полноты более общих (возможно, ненормируемых) топологических векторных пространств.

Характеристика топологических свойств

Практически все понятия топологии могут быть перефразированы на языке сетей и пределов. Это может быть полезно для формирования интуиции, поскольку понятие предела сети очень похоже на понятие предела последовательности. Следующий набор теорем и лемм помогает закрепить это сходство:

Другие свойства

В общем случае, сеть в пространстве может иметь более одного предела, но если пространство является хаусдорфовым, то предел сети, если он существует, единственен. И наоборот, если пространство не является хаусдорфовым, то существует сеть на этом пространстве с двумя различными пределами. Таким образом, единственность предела эквивалентна условию хаусдорфовости пространства, и, фактически, это можно принять за определение. Этот результат зависит от условия направленности; множество, индексированное общим предпорядком или частичным порядком, может иметь различные предельные точки даже в хаусдорфовом пространстве.

Интеграл Римана

Определение значения интеграла Римана может быть интерпретировано как предел сети сумм Римана, где направленным множеством сети является множество всех разбиений интервала интегрирования, частично упорядоченных по включению.