Введение

Функция, действующая на функциональные пространства
операторы в математике

В математике оператор обычно представляет собой отображение или функцию, которая действует на элементы одного пространства, порождая элементы другого пространства (возможно, и иногда требуется, чтобы это было то же самое пространство). Общего определения оператора не существует, но этот термин часто используется вместо слова «функция», когда областью определения является множество функций или других структурированных объектов. Кроме того, область определения оператора часто бывает трудно явно охарактеризовать (например, в случае интегрального оператора), и её можно расширить, чтобы оператор действовал на связанные объекты (оператор, действующий на функции, может также действовать на дифференциальные уравнения, решения которых являются функциями, удовлетворяющими этому уравнению). (см. Оператор (физика) для других примеров)

Наиболее базовыми операторами являются линейные отображения, которые действуют на векторных пространствах. Линейные операторы – это линейные отображения, область определения и область значений которых совпадают, например, из в efn. Линейное преобразование из V в V называется линейным оператором в V. Множество всех линейных операторов в V обозначается ℒ(V). Линейный оператор на вещественном векторном пространстве называется вещественным оператором, а линейный оператор на комплексном векторном пространстве – комплексным оператором. Следует также отметить, что некоторые авторы используют термин «линейный оператор» для любого линейного преобразования из V в W.

Определение:
Также используются следующие термины:
(2) эндоморфизм для линейного оператора
(6) автоморфизм для биективного линейного оператора. — Роман (2008)

Геометрия

В геометрии иногда изучаются дополнительные структуры на векторных пространствах. Операторы, биективно отображающие такие векторные пространства на самих себя, очень полезны в этих исследованиях и естественным образом образуют группы относительно композиции. Например, биективные операторы, сохраняющие структуру векторного пространства, являются как раз инвертируемыми линейными операторами. Они образуют общую линейную группу посредством композиции. Однако они не образуют векторное пространство относительно сложения операторов, поскольку, например, и тождественный оператор, и оператор отрицательного тождества обратимы (биективны), но их сумма, нулевой оператор, – нет. Операторы, сохраняющие евклидову метрику на таком пространстве, образуют группу изометрий, а те, которые фиксируют начало координат, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа. Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных наборов, образуют специальную ортогональную группу, или группу вращений.

Теория вероятности

Операторы также вовлечены в теорию вероятностей, такие как математическое ожидание, дисперсия и ковариация, которые используются для обозначения как числовой статистики, так и операторов, которые её вычисляют. Действительно, каждая ковариация по сути является скалярным произведением: каждая дисперсия является скалярным произведением вектора на самого себя и, следовательно, является квадратичной нормой; каждое стандартное отклонение является нормой (квадратным корнем из квадратичной нормы); косинус этого скалярного произведения соответствует коэффициенту корреляции Пирсона; математическое ожидание по сути является интегральным оператором (используемым для измерения взвешенных форм в пространстве).