Введение

(на комплексном пространстве Гильберта) непрерывный линейный оператор.

В математике, особенно в функциональном анализе, нормальный оператор на комплексном пространстве Гильберта H — это непрерывный линейный оператор N : H → H, коммутирующий со своим эрмитовым сопряжением N*, то есть: NN* = N*N.

Нормальные операторы важны, поскольку для них справедлива спектральная теорема. Класс нормальных операторов хорошо изучен. Примерами нормальных операторов являются:
унитарные операторы: N* = N−1;
эрмитовы операторы (то есть самосопряжённые операторы): N* = N;
антиэрмитовы операторы: N* = −N;
положительные операторы: N = MM* для некоторого M (следовательно, N является самосопряжённым). Нормальная матрица — это матричное представление нормального оператора на гильбертовом пространстве Cn.

Свойства

Нормальные операторы характеризуются спектральной теоремой. Компактный нормальный оператор (в частности, нормальный оператор на конечномерном внутреннем произведении) унитарно диагонализуем. Пусть – ограниченный оператор. Следующие утверждения эквивалентны: является нормальным. является нормальным. для всех (используйте ). Самосопряженные и антисамосопряженные части перекоммутируют. То есть, если записано как с и , то

Если – нормальный оператор, то и имеют одно и то же ядро и одну и ту же область значений. Следовательно, область значений плотна тогда и только тогда, когда инъективен. Иными словами, ядро нормального оператора является ортогональным дополнением его области значений. Отсюда следует, что ядро оператора совпадает с ядром для любого . Каждое обобщенное собственное значение нормального оператора, таким образом, является собственным. является собственным значением нормального оператора тогда и только тогда, когда его комплексное сопряжение является собственным значением . Собственные векторы нормального оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, и нормальный оператор стабилизирует ортогональное дополнение каждого из своих собственных подпространств. Это подразумевает обычную спектральную теорему: каждый нормальный оператор на конечномерном пространстве диагонализуется унитарным оператором. Существует также бесконечномерная версия спектральной теоремы, выраженная в терминах проекционнозначных мер. Остаточный спектр нормального оператора пуст. Однако для ограниченных нормальных операторов ортогональное дополнение к стабильному подпространству может быть нестабильным. Отсюда следует, что гильбертово пространство не может в общем случае быть порождено собственными векторами нормального оператора. Рассмотрим, например, двусторонний сдвиг (или двухсторонний сдвиг), действующий на , который является нормальным, но не имеет собственных значений. Инвариантные подпространства сдвига, действующего на пространство Харди, характеризуются теоремой Берлинга.