Кіріспе
Lp кеңістіктеріндегі интегралдар арасындағы теңсіздік. Математикалық талдауда, Отто Холдердің есімімен аталған Холдер теңсіздігі – интегралдар арасындағы негізгі теңсіздік және L^(p) кеңістіктерін зерттеу үшін қажетті құрал. Жоғарыдағы p және q сандары бір-бірінің Холдер серігі деп аталады. Арнайы жағдай Коши-Шварц теңсіздігінің бір түрін береді. Холдер теңсіздігі, егер p немесе q шексіз болса да, оң жақ бөлігі де шексіз болса да, сақталады. Керісінше, егер f L^(p)(μ) және g L^(q)(μ) кеңістіктерінде болса, онда fg нүктелік көбейтіндісі L^(1)(μ) кеңістігінде болады. Холдер теңсіздігі Минковский теңсіздігін дәлелдеу үшін қолданылады, ол L^(p)(μ) кеңістігіндегі үшбұрыш теңсіздігі болып табылады, сондай-ақ L^(q)(μ) кеңістігінің L^(p)(μ) кеңістігіне қатысты серік кеңістік екенін анықтау үшін қолданылады, мұнда p ∈ ℝ. Холдер теңсіздігі (сәл өзгеше түрінде) алғаш рет Роджерстің еңбектерінен шабыт алып, конвекс және конкав функциялар тұжырымдамасын дамыту және Дженсен теңсіздігін енгізу жұмысының бөлігі ретінде тағы бір дәлел келтірді, бұл өз кезегінде Йохан Дженсеннің Холдер еңбегіне негізделген жұмысына арналған.
In mathematical analysis, Hölder's inequality, named after Otto Hölder, is a fundamental inequality between integrals and an indispensable tool for the study of L^(p) spaces. The numbers p and q above are said to be Hölder conjugates of each other. The special case gives a form of the Cauchy–Schwarz inequality. Hölder's inequality holds even if is infinite, the right hand side also being infinite in that case. Conversely, if f is in L^(p)(μ) and g is in L^(q)(μ), then the pointwise product fg is in L^(1)(μ). Hölder's inequality is used to prove the Minkowski inequality, which is the triangle inequality in the space L^(p)(μ), and also to establish that L^(q)(μ) is the dual space of L^(p)(μ) for p ∈
Hölder's inequality (in a slightly different form) was first found by Inspired by Rogers' work, gave another proof as part of a work developing the concept of convex and concave functions and introducing Jensen's inequality, which was in turn named for work of Johan Jensen building on Hölder's work.
Интеграцияланатын өнімдер үшін бағалау
Жоғарыда айтылғандай, f және g функциялары S жиынында анықталған өлшенетін нақты немесе комплекс мәнді функцияларды белгілейді. Егер μ(S) шекті болса, онда f-тің g-мен және оның комплекс конъюгатымен нүктелік көбейтінділері μ-интегралды болады, fg үшін келесі шамалау орындалады және ұқсас шамалау да қолданылады, сондай-ақ Холдер теңсіздігі оң жақ бөлікке қолданылуы мүмкін. Атап айтқанда, егер f және g функциялары L²(μ) Хилберт кеңістігіне жатса, онда Холдер теңсіздігі келесі түрде жазылады:
⟨f, g⟩ = ∫f(x)g(x) dμ(x),
мұнда бұрыштық жақшалар L²(μ) ішкі көбейтіндісін білдіреді. Бұл Коши-Шварц теңсіздігі деп те аталады, бірақ оның дұрыс тұжырымы үшін f және g функцияларының ішкі көбейтіндісінің жақсы анықталғанын қамтамасыз ету үшін μ(S) шекті болуы қажет. Бастапқы теңсіздікті (μ(S) = ∞ жағдайы үшін) f және g функцияларының орнына басқа функцияларды қолдану арқылы қайта қалпына келтіруге болады.
Ықтималдық өлшемдері үшін жалпылау
Егер (S, Σ, μ) ықтималдық кеңістігі болса, онда p, q ∈ жай ғана 1/p + 1/q ≤ 1 шартын қанағаттандырса жеткілікті, Холдер конъюгаттары болуы міндетті емес. Холдер теңсіздігі мен Дженсен теңсіздігінің үйлесімі S жиынындағы барлық өлшенетін нақты немесе кешенді мәнді f және g функциялары үшін келесіні білдіреді:
for all measurable real or complex valued functions f and g on S.
Ерекше ерекше жағдайлар
Келесі жағдайларда p және q ашық аралығында (0, 1) деп есептеңіз.
Холдер теңсіздігіне негізделген қашықтықтар
Холдер теңсіздігі ықтималдық үлестірілімдері арасындағы статистикалық ерекшелік өлшемдерін анықтау үшін қолданылуы мүмкін. Бұл Холдер дивергенциялары проективті болып табылады: олар тығыздықтардың нормалау факторына тәуелді емес.