Введение
Неравенство между интегралами в пространствах Lp
В математическом анализе неравенство Гёльдера, названное в честь Отто Гёльдера, является фундаментальным неравенством между интегралами и незаменимым инструментом для изучения пространств L^(p). Числа p и q, указанные выше, называются сопряжёнными к Гёльдеру. Частный случай даёт форму неравенства Коши — Буняковского — Шварца. Неравенство Гёльдера выполняется даже если p бесконечно, при этом правая часть также бесконечна. Обратно, если f принадлежит L^(p)(μ) и g принадлежит L^(q)(μ), то точечное произведение fg принадлежит L^(1)(μ). Неравенство Гёльдера используется для доказательства неравенства Минковского, которое является неравенством треугольника в пространстве L^(p)(μ), а также для установления того, что L^(q)(μ) является сопряжённым пространством к L^(p)(μ) при p ∈
Неравенство Гёльдера (в несколько иной форме) было впервые обнаружено, вдохновлённый работами Роджерса, предложил другое доказательство в рамках работы, посвящённой развитию концепции выпуклых и вогнутых функций и введению неравенства Йенсена, которое, в свою очередь, было названо в честь работ Йохана Йенсена, опиравшихся на работы Гёльдера.
In mathematical analysis, Hölder's inequality, named after Otto Hölder, is a fundamental inequality between integrals and an indispensable tool for the study of L^(p) spaces. The numbers p and q above are said to be Hölder conjugates of each other. The special case gives a form of the Cauchy–Schwarz inequality. Hölder's inequality holds even if is infinite, the right hand side also being infinite in that case. Conversely, if f is in L^(p)(μ) and g is in L^(q)(μ), then the pointwise product fg is in L^(1)(μ). Hölder's inequality is used to prove the Minkowski inequality, which is the triangle inequality in the space L^(p)(μ), and also to establish that L^(q)(μ) is the dual space of L^(p)(μ) for p ∈
Hölder's inequality (in a slightly different form) was first found by Inspired by Rogers' work, gave another proof as part of a work developing the concept of convex and concave functions and introducing Jensen's inequality, which was in turn named for work of Johan Jensen building on Hölder's work.
Оценки для интегрируемых продуктов
Как и выше, пусть f и g обозначают измеримые функции, принимающие действительные или комплексные значения, определенные на S. Если μ(S) конечна, то произведения f и g, а также f и комплексно сопряженной к g функции, являются μ-интегрируемыми, при этом выполняется оценка
и аналогичная оценка для fg. К правой части можно применить неравенство Гёльдера. В частности, если f и g принадлежат гильбертовому пространству L^(2)(μ), то неравенство Гёльдера для μ(S) дает
где угловые скобки обозначают внутреннее произведение в L^(2)(μ). Это также называют неравенством Коши — Буняковского — Шварца, но для корректного утверждения требуется, чтобы μ(S) и μ(S) были конечными, чтобы гарантировать, что внутреннее произведение f и g определено. Исходное неравенство (для случая μ(S) < ∞) можно получить, используя функции f и g вместо f и g.
Обобщение для мер вероятности
Если (S, Σ, μ) – пространство вероятностей, то p, q ∈ должны лишь удовлетворять условию 1/p + 1/q ≤ 1, а не являться сопряжёнными показателями Хольдера. Комбинация неравенства Хольдера и неравенства Йенсена влечёт, что
для всех измеримых функций f и g с вещественными или комплексными значениями на S.
Примечательные особые случаи
Для следующих случаев будем считать, что p и q принадлежат открытому интервалу (0, 1).
Расстояния, основанные на неравенстве Холдера
Неравенство Гёльдера может быть использовано для определения мер статистической несхожести между распределениями вероятностей. Эти расхождения Гёльдера являются проективными: они не зависят от фактора нормализации плотностей.