Кіріспе
Екі немесе одан көп ортогональ және бірлік ұзындығы бар векторлардың қасиеттері. Сызықтық алгебрада, ішкі көбейту кеңістігіндегі екі вектор, егер олар ортогональ бірлік векторлар болса, ортонормальды деп аталады. Бірлік вектор – бұл вектордың ұзындығы 1-ге тең екенін білдіреді, бұл нормаланған вектор деп те аталады. Ортогональ – бұл векторлардың барлығы бір-біріне перпендикуляр екенін білдіреді. Егер жиынның барлық векторлары бір-біріне ортогональ және бірлік ұзындығы болса, онда бұл векторлар жиыны ортонормальды жиын құрайды. Негіз құрайтын ортонормальды жиын ортонормальды негіз деп аталады.
In linear algebra, two vectors in an inner product space are orthonormal if they are orthogonal unit vectors. A unit vector means that the vector has a length of 1, which is also known as normalized. Orthogonal means that the vectors are all perpendicular to each other. A set of vectors form an orthonormal set if all vectors in the set are mutually orthogonal and all of unit length. An orthonormal set which forms a basis is called an orthonormal basis.
Интуитивті шолу
Векторлардың ортогоналдығының құрылысы жоғары өлшемді кеңістікке перпендикуляр векторлардың интуитивті ұғымын кеңейту ниетімен туындайды. Картезиандық жазықтықта екі вектордың арасындағы бұрыш 90° болса (яғни тік бұрыш құраса), олар перпендикуляр деп есептеледі. Бұл анықтаманы Картезиандық кеңістікте скалярлық көбейтіндіні анықтау арқылы формалдауға болады, егер олардың скалярлық көбейтіндісі нөлге тең болса, жазықтықтағы екі вектор ортогонал болады. Сол сияқты, вектордың нормасының құрылысы вектор ұзындығының интуитивті ұғымын жоғары өлшемді кеңістікке кеңейту ниетімен туындайды. Картезиандық кеңістікте вектордың нормасы – вектордың өзімен скалярлық көбейтіндісінің квадрат түбірі. Яғни,
Сызықтық алгебраның көптеген маңызды нәтижелері екі немесе одан көп ортогонал векторлар жиынымен айналысады. Бірақ көбінесе бірлік ұзындығы бар векторлармен жұмыс істеу ыңғайлы. Яғни, көбінесе нормасы 1-ге тең векторларды қарастыру жағдайды жеңілдетеді. Ортогонал векторлар жұбын тек бірлік ұзындығы бар векторлармен шектеу ұғымы жететіндей маңызды, оған арнайы атау беріледі. Ортогонал және ұзындығы 1-ге тең екі вектор ортонормаль деп аталады.
Маңыздылығы
Ортонормальды жиынтықтар өздеріне жеке алғанда аса маңызды емес. Дегенмен, олар векторлық кеңістіктердегі кейбір операторлардың диагональға келтірілуі түсінігін зерттеуде маңызды рөл атқаратын белгілі бір қасиеттерге ие.
Қасиеттері
Ортонормальды жиынтықтардың өте тартымды қасиеттері бар, олармен жұмыс істеуді ерекше жеңілдетеді. Теорема. Егер {e1, e2, ..., en} векторлардың ортонормальды тізімі болса, онда Теорема. Кез келген ортонормальды векторлар тізімі сызықтық тәуелсіз болады.
Theorem. Every orthonormal list of vectors is linearly independent.
Тіршілік ету
Грам-Шмидт теоремасы. Егер {v1, v2, ..., vn} ішкі көбейтінді кеңістігіндегі сызықтық тәуелсіз векторлар тізімі болса, онда span(e1, e2, ..., en) = span(v1, v2, ..., vn) болатын {e1, e2, ..., en} ортонормалды векторлар тізімі бар. Грам-Шмидт теоремасының дәлелі конструктивті және басқа жерде кеңінен талқыланады. Грам-Шмидт теоремасы, таңдау аксиомасымен бірге, кез келген векторлық кеңістіктің ортонормалды негізі болатынын кепілдік береді. Бұл, мүмкін, ортонормалдылықтың ең маңызды қолданылуы, себебі бұл факт ішкі көбейтінді кеңістіктеріндегі операторларды кеңістіктің ортонормалды негіз векторларына қатысты қарастыруға мүмкіндік береді. Соның нәтижесінде оператордың диагональға келтірілуі мен ортонормалды негіз векторларына әсері арасындағы терең байланыс туындайды. Бұл қатынас Спектрлік теорема арқылы сипатталады.
Нақты мәнді функциялар
Нақты мәнді функциялар туралы айтқанда, әдетте, басқаша көрсетілмесе, L² ішкі көбейтіндісі қолданылады. Егер екі функция және аралықта ортогоналды және нормаланған болса, олар ортонұрмал деп аталады.