Введение

Свойство двух или более векторов, которые ортогональны и имеют единичную длину. В линейной алгебре два вектора во внутреннем произведении считаются ортонормальными, если они являются ортогональными векторами единичной длины. Вектор единичной длины означает, что длина вектора равна 1, что также называется нормализованным вектором. Ортогональность означает, что векторы попарно перпендикулярны. Множество векторов образует ортонормальное множество, если все векторы в этом множестве взаимно ортогональны и имеют единичную длину. Ортонормальное множество, образующее базис, называется ортонормальным базисом.

Интуитивный обзор

Конструкция ортогональности векторов мотивирована стремлением расширить интуитивное понятие перпендикулярных векторов на пространства более высоких размерностей. В декартовой плоскости два вектора считаются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° (то есть, если они образуют прямой угол). Это определение можно формализовать в декартовом пространстве, определив скалярное произведение и указав, что два вектора в плоскости ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю. Аналогично, построение нормы вектора мотивировано желанием расширить интуитивное понятие длины вектора на пространства более высоких размерностей. В декартовом пространстве норма вектора – это квадратный корень из скалярного произведения вектора на самого себя. То есть,

Многие важные результаты в линейной алгебре связаны с наборами из двух или более ортогональных векторов. Но часто удобнее работать с векторами единичной длины. То есть, часто упрощается рассмотрение только векторов, чья норма равна 1. Понятие ограничения ортогональных пар векторов только теми, которые имеют единичную длину, достаточно важно, чтобы получить специальное название. Два вектора, которые ортогональны и имеют длину 1, называются ортонормальными.

Значение

Ортонормальные множества сами по себе не представляют особого интереса. Однако они обладают определенными свойствами, которые делают их основополагающими при исследовании понятия диагонализируемости определенных операторов в векторных пространствах.

Свойства

Ортонормальные множества обладают некоторыми очень привлекательными свойствами, которые делают их особенно удобными в работе. Теорема. Если {e1, e2, ..., en} – ортонормальный список векторов, то… Теорема. Любой ортонормальный список векторов линейно независим.

Существование

Теорема Грам-Шмидта. Если {v1, v2, ..., vn} – линейно независимый набор векторов во внутреннем пространстве с заданным скалярным произведением, то существует ортонормальный набор {e1, e2, ..., en} векторов в этом пространстве, такой что span(e1, e2, ..., en) = span(v1, v2, ..., vn). Доказательство теоремы Грам-Шмидта является конструктивным и подробно изложено в другом месте. Теорема Грам-Шмидта, вместе с аксиомой выбора, гарантирует, что каждое векторное пространство имеет ортонормальный базис. Это, пожалуй, наиболее важное применение ортонормальности, поскольку этот факт позволяет рассматривать операторы на внутренних пространствах с заданным скалярным произведением с точки зрения их действия на ортонормальный базис пространства. В результате возникает глубокая связь между диагонализуемостью оператора и его действием на векторах ортонормального базиса. Эта связь описывается спектральной теоремой.

Функции с реальными значениями

При ссылке на функции, принимающие действительные значения, обычно подразумевается внутреннее произведение L², если не оговорено иное. Две функции f и g ортонормальны на интервале [a, b], если