Кіріспе
Нақты сызықтық негіз (математика)
Математикада, әсіресе сызықтық алгебрада, шекті өлшемді ішкі өнім кеңістігі үшін ортонормальды негіз – векторлары ортонормальды, яғни олардың барлығы бірлік векторлары және бір-біріне ортогональды. Мысалы, Евклид кеңістігінің стандартты негізі – ортонормальды негіз, онда тиісті ішкі көбейтінді векторлардың скалярлық көбейтіндісі болып табылады. Стандартты негіздің айналу немесе кері айналу (немесе кез келген ортогональды түрлендіру) арқылы алынған бейнесі де ортонормальды, және кез келген ортонормальды негіз осылай туындайды. Жалпы ішкі өнім кеңістігі үшін ортонормальды негізді нормаланған ортогональдық координаттарды анықтау үшін пайдалануға болады. Осы координаттарда ішкі көбейтінді векторлардың скалярлық көбейтіндісіне айналады. Сондықтан ортонормальды негіздің болуы шекті өлшемді ішкі өнім кеңістігін зерттеуді скалярлық көбейтінді бойынша зерттеуге дейін тоғытады. Кез келген шекті өлшемді ішкі өнім кеңістігінің ортонормальды негізі бар, оны Gram–Schmidt процесін қолдана отырып кез келген негізден алуға болады. Функционалдық талдауда ортонормальды негіз ұғымын кез келген (шексіз өлшемді) ішкі өнім кеңістіктеріне жалпылауға болады. Берілген пре-Гильберт кеңістігінде ортонормальды негіз – кеңістіктегі кез келген векторды негіздің векторларының шексіз сызықтық комбинациясы түрінде жазуға мүмкіндік беретін векторлардың ортонормальды жиынтығы. Бұл жағдайда ортонормальды негізді кейде Гильберт негізі деп атайды. Аталған мағынадағы ортонормальды негіз, әдетте, Гамель негізі емес, себебі шексіз сызықтық комбинациялар қажет. Нақтырақ айтқанда, негіздің сызықтық кеңістігі тығыз болуы керек, бірақ міндетті түрде бүкіл кеңістік емес. Егер Гильберт кеңістіктеріне көшсек, ортонормальды негізбен бірдей сызықтық кеңістікке ие ортонормальды емес векторлар жиыны негіз болмауы мүмкін. Мысалы, кез келген аралықтағы квадратқа интегралданатын функцияны (демеуші көп жерде) Лежандр полиномдарының шексіз қосындысы (ортонормальды негіз) ретінде көрсетуге болады, бірақ міндетті түрде мономиалдардың шексіз қосындысы ретінде емес. Псевдо ішкі өнім кеңістіктеріне қатысты тағы бір жалпылау бар, олар метрикалық тензор деп аталатын дегенерацияланбаған симметриялық билинейлік формамен жабдықталған шекті өлшемді векторлық кеңістіктер. Мұндай негізде метрика оң және теріс сандармен анықталады.
In mathematics, particularly linear algebra, an orthonormal basis for an inner product space with finite dimension is a basis for whose vectors are orthonormal, that is, they are all unit vectors and orthogonal to each other. For example, the standard basis for a Euclidean space is an orthonormal basis, where the relevant inner product is the dot product of vectors. The image of the standard basis under a rotation or reflection (or any orthogonal transformation) is also orthonormal, and every orthonormal basis for arises in this fashion. For a general inner product space an orthonormal basis can be used to define normalized orthogonal coordinates on Under these coordinates, the inner product becomes a dot product of vectors. Thus the presence of an orthonormal basis reduces the study of a finite dimensional inner product space to the study of under the dot product. Every finite dimensional inner product space has an orthonormal basis, which may be obtained from an arbitrary basis using the Gram–Schmidt process. In functional analysis, the concept of an orthonormal basis can be generalized to arbitrary (infinite dimensional) inner product spaces. Given a pre Hilbert space an orthonormal basis for is an orthonormal set of vectors with the property that every vector in can be written as an infinite linear combination of the vectors in the basis. In this case, the orthonormal basis is sometimes called a Hilbert basis for Note that an orthonormal basis in this sense is not generally a Hamel basis, since infinite linear combinations are required. Specifically, the linear span of the basis must be dense in although not necessarily the entire space. If we go on to Hilbert spaces, a non orthonormal set of vectors having the same linear span as an orthonormal basis may not be a basis at all. For instance, any square integrable function on the interval can be expressed (almost everywhere) as an infinite sum of Legendre polynomials (an orthonormal basis), but not necessarily as an infinite sum of the monomials
A different generalisation is to pseudo inner product spaces, finite dimensional vector spaces equipped with a non degenerate symmetric bilinear form known as the metric tensor. In such a basis, the metric takes the form with positive ones and negative ones.
Толық емес ортогональды жиындар
Гильберт кеңістігі және сол кеңістікте өзара ортогональды векторлар жиыны берілгенде, осы жиынды қамтитын ең кіші жабық сызықтық ішкі кеңістікті таңдай аламыз. Онда бұл жиынның ортогональды негізі болады, ол, әрине, өзінен кіші болуы мүмкін, егер ол толық емес ортогональды жиын болса, немесе толық ортогональды жиын болған жағдайда, кеңістіктің өзімен бірдей болуы мүмкін.
Тіршілік ету
Зорн леммасы мен Грам-Шмидт процесін (немесе одан да қарапайым, жақсы реттелгендік және трансфиниттік рекурсияны) қолдану арқылы, кез келген Гильберт кеңістігі ортонормалды негізге ие екенін көрсетуге болады; сонымен қатар, бір кеңістіктің кез келген екі ортонормалды негізінің бірдей кардиналдығы болады (бұл векторлық кеңістіктер үшін стандартты өлшем теоремасының дәлеліне ұқсас тәсілмен дәлелденуі мүмкін, жеке жағдайлар үлкен негіз үміткерінің санаулы болуына немесе болмауына байланысты). Гильберт кеңістігі, егер және тек қана ол санаулы ортонормалды негізге ие болса, бөлінетін болады. (Осы соңғы тұжырымды таңдау аксиомасын қолданбай-ақ дәлелдеуге болады.)