Введение
Ортонормальная база (математика)
В математике, особенно в линейной алгебре, ортонормальная база для пространства с внутренним произведением конечной размерности — это база, векторы которой ортонормальны, то есть все они являются единичными векторами и ортогональны друг другу. Например, стандартная база для евклидова пространства является ортонормальной базой, где соответствующим внутренним произведением является скалярное произведение векторов. Образ стандартной базы при вращении или отражении (или любом ортогональном преобразовании) также является ортонормальным, и каждая ортонормальная база для возникает таким образом. Для общего пространства с внутренним произведением ортонормальная база может быть использована для определения нормализованных ортогональных координат в . При этих координатах внутреннее произведение становится скалярным произведением векторов. Таким образом, наличие ортонормальной базы сводит изучение пространства с внутренним произведением конечной размерности к изучению со скалярным произведением. Каждое пространство с внутренним произведением конечной размерности имеет ортонормальную базу, которая может быть получена из произвольной базы с использованием процесса Грама — Шмидта. В функциональном анализе понятие ортонормальной базы может быть обобщено на произвольные (бесконечномерные) пространства с внутренним произведением. Для предгильбертова пространства ортонормальная база для — это ортонормальное множество векторов, обладающее свойством, что каждый вектор в можно представить в виде бесконечной линейной комбинации векторов в этой базе. В этом случае ортонормальная база иногда называется гильбертовой базой для . Следует отметить, что ортонормальная база в этом смысле обычно не является базой Гамеля, поскольку требуются бесконечные линейные комбинации. В частности, линейная оболочка базы должна быть плотной в , хотя и не обязательно совпадать со всем пространством. Если перейти к гильбертовым пространствам, то неортонормальное множество векторов, имеющее ту же линейную оболочку, что и ортонормальная база, может вообще не являться базой. Например, любая квадратично интегрируемая функция на интервале может быть выражена (почти всюду) как бесконечная сумма полиномов Лежандра (ортонормальная база), но не обязательно как бесконечная сумма мономов. Другое обобщение относится к псевдоевклидовым пространствам, конечным размерным векторным пространствам, снабженным невырожденной симметричной билинейной формой, известной как метрический тензор. В такой базе метрика принимает вид с положительными и отрицательными значениями.
In mathematics, particularly linear algebra, an orthonormal basis for an inner product space with finite dimension is a basis for whose vectors are orthonormal, that is, they are all unit vectors and orthogonal to each other. For example, the standard basis for a Euclidean space is an orthonormal basis, where the relevant inner product is the dot product of vectors. The image of the standard basis under a rotation or reflection (or any orthogonal transformation) is also orthonormal, and every orthonormal basis for arises in this fashion. For a general inner product space an orthonormal basis can be used to define normalized orthogonal coordinates on Under these coordinates, the inner product becomes a dot product of vectors. Thus the presence of an orthonormal basis reduces the study of a finite dimensional inner product space to the study of under the dot product. Every finite dimensional inner product space has an orthonormal basis, which may be obtained from an arbitrary basis using the Gram–Schmidt process. In functional analysis, the concept of an orthonormal basis can be generalized to arbitrary (infinite dimensional) inner product spaces. Given a pre Hilbert space an orthonormal basis for is an orthonormal set of vectors with the property that every vector in can be written as an infinite linear combination of the vectors in the basis. In this case, the orthonormal basis is sometimes called a Hilbert basis for Note that an orthonormal basis in this sense is not generally a Hamel basis, since infinite linear combinations are required. Specifically, the linear span of the basis must be dense in although not necessarily the entire space. If we go on to Hilbert spaces, a non orthonormal set of vectors having the same linear span as an orthonormal basis may not be a basis at all. For instance, any square integrable function on the interval can be expressed (almost everywhere) as an infinite sum of Legendre polynomials (an orthonormal basis), but not necessarily as an infinite sum of the monomials
A different generalisation is to pseudo inner product spaces, finite dimensional vector spaces equipped with a non degenerate symmetric bilinear form known as the metric tensor. In such a basis, the metric takes the form with positive ones and negative ones.
Неполные ортогональные множества
Для заданного гильбертова пространства и множества взаимно ортогональных векторов в этом пространстве, мы можем взять наименьшее замкнутое линейное подпространство, содержащее эти векторы. Тогда это подпространство будет ортогональным базисом, который, конечно, может быть меньше самого пространства, являясь неполным ортогональным множеством, или совпадать с ним, если это полное ортогональное множество.
Существование
Используя лемму Зорна и процесс Грама — Шмидта (или, проще говоря, хорошее упорядочение и трансфинитную рекурсию), можно показать, что каждое гильбертово пространство допускает ортонормальный базис; более того, любые два ортонормальных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую кардинальность (это можно доказать способом, аналогичным доказательству обычной теоремы о размерности для векторных пространств, рассматривая отдельные случаи в зависимости от того, счетен ли больший кандидат в базис или нет). Гильбертово пространство является сепарабельным тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормальный базис. (Это последнее утверждение можно доказать без использования аксиомы выбора.)