Кіріспе
Дифференциалдық геометрияның саласы – Риман геометриясы, дифференциалдық геометрияның Риман көптүрліліктерін зерттейтін саласы. Риман көптүрліліктері – бұл Риман метрикасы бар тегіс көптүрліліктер (әр нүктедегі жанама кеңістіктегі ішкі көбейту, нүктеден нүктеге тегіс өзгеретін). Бұл, әсіресе, бұрыштар, қисықтардың ұзындығы, беттік аудан және көлемнің жергілікті түсініктерін береді. Олардан жергілікті үлестерді интегралдау арқылы басқа да жаһандық шамаларды шығаруға болады. Риман геометриясы Бернхард Риманның "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" ("Геометрияның негіздері туралы гипотезалар") атты қоғамдық лекциясында білдірген көзқарасымен қалыптасты. Бұл R3 кеңістігіндегі беттердің дифференциалдық геометриясының өте кең және абстрактілі жалпыламасы. Риман геометриясының дамуы беттердің геометриясы және олардың геодезиялық қасиеттері туралы әртүрлі нәтижелерді біріктіруге әкелді, бұл әдістерді жоғары өлшемді дифференциалданатын көптүрліліктерді зерттеуде қолдануға болады. Ол Эйнштейннің жалпы салыстырмалылық теориясын құруға мүмкіндік берді, топтар теориясы мен өкілдік теориясына, сондай-ақ анализге зор әсер етті және алгебралық және дифференциалдық топологияның дамуын жеделдетті.
Riemannian geometry is the branch of differential geometry that studies Riemannian manifolds, defined as smooth manifolds with a Riemannian metric (an inner product on the tangent space at each point that varies smoothly from point to point). This gives, in particular, local notions of angle, length of curves, surface area and volume. From those, some other global quantities can be derived by integrating local contributions. Riemannian geometry originated with the vision of Bernhard Riemann expressed in his inaugural lecture "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" ("On the Hypotheses on which Geometry is Based"). It is a very broad and abstract generalization of the differential geometry of surfaces in R3. Development of Riemannian geometry resulted in synthesis of diverse results concerning the geometry of surfaces and the behavior of geodesics on them, with techniques that can be applied to the study of differentiable manifolds of higher dimensions. It enabled the formulation of Einstein's general theory of relativity, made profound impact on group theory and representation theory, as well as analysis, and spurred the development of algebraic and differential topology.
Кіріспе
Риман геометриясын алғаш рет 19 ғасырда Бернхард Риман жүйелеп ұсынды. Ол метрикалық қасиеттері нүктеден нүктеге өзгеретін геометриялардың кең спектрін қамтиды, соның ішінде еуропалық емес геометрияның стандартты түрлері де бар. Кез келген тегіс көптүрлілік Риман метрикасын қабылдайды, бұл дифференциалдық топология мәселелерін шешуге көбінесе көмектеседі. Ол псевдо-Риманн көптүрліліктерінің күрделі құрылысына кіріспе деңгейі болып табылады, олар (төрт өлшемде) жалпы салыстырмалылық теориясының негізгі нысандары болып табылады. Риман геометриясының басқа да жалпыламаларына Финслер геометриясы жатады. Дифференциалдық геометрия тұрақты кристалдардағы дефектілердің математикалық құрылымымен тығыз байланысты. Дислокациялар мен дискілинациялар бұрылыстар мен қисықтықтар тудырады. Келесі мақалалар пайдалы кіріспе материалдарды ұсынады: Метрикалық тензор Риманн көптүрлілігі Леви-Чивита байланысы Қисықтық Риманн қисықтық тензоры Дифференциалдық геометрия тақырыптарының тізімі Риманн және метрикалық геометрияның сөздігі.
Metric tensor
Riemannian manifold
Levi Civita connection
Curvature
Riemann curvature tensor
List of differential geometry topics
Glossary of Riemannian and metric geometry
Классикалық теоремалар
Келесі Риман геометриясының ең классикалық теоремаларының толық емес тізімі. Таңдау теоремалардың маңыздылығына және тұжырымдамасының көркемдігіне қарай жасалды. Көптеген нәтижелер Джефф Чигер мен Д. Эбиннің классикалық монографиясында табылады (төменде қараңыз). Осы тізімде келтірілген тұжырымдамалар толыққанды нақты немесе ең жалпыланған түрде берілмеген. Бұл тізім негізгі анықтамаларды білетін және олардың мәнін түсінер алғысы келетін адамдарға арналған.
Жалпы теоремалар
Гаусс–Бонне теоремасы. Компактты 2 өлшемді Риман кезбесіндегі Гаусс қисықтығының интегралы 2πχ(M) -ге тең, мұнда χ(M) – М-нің Эйлер қасиетін көрсетеді. Бұл теорема кез келген компактты, жұп өлшемді Риман кезбесіне жалпыланады, қараңыз: жалпыланған Гаусс–Бонне теоремасы. Нэш ендіру теоремалары. Олар кез келген Риман кезбесін евклидтік кеңістікке Rn-ге изометриялық түрде ендіруге болатынын мәлімдейді.
Үлкен геометрия
Келесі теоремалардың бәрінде кеңістіктің жергілікті қасиеттері (әдетте қисықтық туралы болжамдар арқылы сипатталады) негізге алынып, кеңістіктің жаһандық құрылымы туралы ақпарат алуға болады, соның ішінде көпқырлының топологиялық типі туралы немесе "жеткілікті үлкен" қашықтықтағы нүктелердің қалай өзгеретіні туралы мәліметтерге жетеміз.
Қиылған қималық қисықтық
Сфералық теорема. Егер M – қималық қисықтығы 1/4 пен 1 аралығында қатаң шектелген, жай байланысқан, тығыз n өлшемді Римандық көптүрлілік болса, онда M сфераға диффеоморфты. Чигердің шектілік теоремасы. C, D және V тұрақтылары берілгенде, қималық қисықтығы |K| ≤ C, диаметрі ≤ D және көлемі ≥ V болатын n өлшемді Римандық көптүрліліктердің тек шекті саны ғана (диффеоморфизмге дейін) тығыз болады.
Gromov's almost flat manifolds. There is an εn > 0 such that if an n dimensional Riemannian manifold has a metric with sectional curvature |K| ≤ εn and diameter ≤ 1 then its finite cover is diffeomorphic to a nil manifold.
Громовтың дерлік жазық көптүрліліктері. Кез келген n өлшемді Римандық көптүрлілікте |K| ≤ εn және диаметрі ≤ 1 болатын метрика болса, онда оның шекті жабыны нөлдік көптүрлілікке диффеоморфты болатын εn > 0 саны бар.
Gromov's almost flat manifolds. There is an εn > 0 such that if an n dimensional Riemannian manifold has a metric with sectional curvature |K| ≤ εn and diameter ≤ 1 then its finite cover is diffeomorphic to a nil manifold.
Төменгі шектегі қималық иілу
Чигер-Громоллдың жан теоремасы. Егер M – шексіз емес, толық, оң емес қисықтығы бар n өлшемді Риман көптүрлілігі болса, онда M-де компактты, толығымен геодезиялық S ішкі көптүрлілігі бар, сонда M, S-тің нормальдық бунделіне диффеоморфты (S, M-нің жаны деп аталады). Атап айтқанда, егер M-нің барлық жерде қатаң оң қисықтығы болса, онда ол Rn-ге диффеоморфты. Г. Перелман 1994 жылы жан болжамын керемет әдемі/қысқа дәлелдеді: егер M тек бір нүктеде оң қисықтыққа ие болса, онда ол Rn-ге диффеоморфты. Громовтың Бетти саны туралы теоремасы. C = C(n) тұрақтысы бар, егер M – оң қималық қисықтығы бар, байланысты n өлшемді Риман көптүрлілігі болса, онда оның Бетти сандарының қосындысы C-ден аспайды. Гров-Петерсеннің шектілік теоремасы. C, D және V тұрақтылары берілгенде, секциялық қисықтығы K ≥ C, диаметрі ≤ D және көлемі ≥ V болатын компактты n өлшемді Риман көптүрліліктерінің гомотопиялық түрлерінің саны шекті.
Grove–Petersen's finiteness theorem. Given constants C, D and V, there are only finitely many homotopy types of compact n dimensional Riemannian manifolds with sectional curvature K ≥ C, diameter ≤ D and volume ≥ V.
Төменгі шекте Риччи қисығы
Майерс теоремасы. Егер толық Риман көптүрлілігі оң Риччи қисықтығына ие болса, онда оның негізгі тобы шекті болады. Бохнер формуласы. Егер ықшам Риман n-көптүрлілігі теріс емес Риччи қисықтығына ие болса, онда оның бірінші Бетти саны н-нен аспайды, және теңдік тек қана Риман көптүрлілігі жазық тор болған жағдайда ғана орын алады. Бөліну теоремасы. Егер толық n-өлшемді Риман көптүрлілігі теріс емес Риччи қисықтығына және түзу сызыққа (яғни әрбір аралықта қашықтықты азайтатын геодезиялыққа) ие болса, онда ол нақты сызықтың тікелей көбейтіндісіне изометриялық болады, сондай-ақ толық (n-1)-өлшемді Риман көптүрлілігіне изометриялық, ол теріс емес Риччи қисықтығына ие. Бишоп-Громов теңсіздігі. Оң Риччи қисықтығы бар толық n-өлшемді Риман көптүрлілігіндегі радиусы r болатын метрикалық шардың көлемі, Эвклид кеңістігіндегі сол радиустағы шардың көлемінен аспайды. Громовтың жиынтықтық теоремасы. Оң Риччи қисықтығы мен диаметрі D-ден аспайтын барлық Риман көптүрліліктерінің жиыны Громов-Хаусдорф метрикасында алдын ала жиынтық болады.
Риччидің теріс қисықтығы
Риккидің теріс қисықтығы бар тығыз Риман көптүгінің изометрия тобы дискретті. n ≥ 3 өлшемді кез келген тегіс көптік теріс Риччи қисықтығына ие Риман метрикасын қабылдайды. (Бұл беттерге қатысты дұрыс емес.)
Оң скалярлық қисықтық
n өлшемді тор оң скалярлық қисықтыққа ие болмайды. Егер ықшам n өлшемді Риман манифольдінің инъективтілік радиусы ≥ π болса, онда орташа скалярлық қисықтық н(n+1)-ден артық болмайды.