Квантовая частица в потенциальной яме.

Введение

Математическая модель в квантовой механике

В квантовой механике модель частицы в ящике (также известная как бесконечный потенциальный колодец или бесконечная квадратная яма) описывает движение свободной частицы в ограниченном пространстве, окруженном непроницаемыми барьерами. Модель в основном используется как гипотетический пример для иллюстрации различий между классическими и квантовыми системами. В классических системах, например, частица, заключенная внутри большого ящика, может двигаться с любой скоростью внутри ящика, и вероятность ее обнаружения в одной точке пространства не отличается от вероятности обнаружения в любой другой. Однако, когда ящик становится очень узким (в масштабе нескольких нанометров), квантовые эффекты становятся существенными. Частица может занимать только определенные положительные энергетические уровни. Более того, она никогда не может иметь нулевую энергию, что означает, что частица не может находиться в состоянии покоя. Кроме того, вероятность обнаружения частицы в определенных положениях выше, чем в других, в зависимости от ее энергетического уровня. В некоторых положениях частица никогда не может быть обнаружена – эти точки называются пространственными узлами. Модель частицы в ящике – одна из немногих задач в квантовой механике, которую можно решить аналитически, без каких-либо приближений. Благодаря своей простоте, модель позволяет понять квантовые эффекты без использования сложной математики. Она служит простой иллюстрацией того, как возникает квантование энергии (энергетические уровни), которое наблюдается в более сложных квантовых системах, таких как атомы и молекулы. Это одна из первых задач по квантовой механике, изучаемых на курсах физики в бакалавриате, и она часто используется в качестве приближения для более сложных квантовых систем.

Одномерное решение

Простейшая форма модели "частица в ящике" рассматривает одномерную систему. В этой системе частица может двигаться только вперед и назад по прямой линии, ограниченной непроницаемыми барьерами на обоих концах. Стенки одномерного ящика можно представить как области пространства с бесконечно большой потенциальной энергией. Напротив, внутри ящика потенциальная энергия постоянна и равна нулю. Это означает, что на частицу внутри ящика никакие силы не действуют, и она может свободно перемещаться в этой области. Однако, если частица касается стенок ящика, бесконечно большие силы отталкивают её, предотвращая выход за пределы ящика. Потенциальная энергия в этой модели задается выражением:

где L – длина ящика, xc – положение центра ящика, а x – координата частицы внутри ящика. К простым случаям относятся центрально расположенный ящик (xc = 0) и смещенный ящик (xc = L/2) (изображено на рисунке).

Квантовый лазер

Частица в коробке может быть применена к квантовым лазерам, которые представляют собой лазерные диоды, состоящие из одного полупроводникового "колодца" (well) материала, помещенного между двумя другими полупроводниковыми слоями из разных материалов. Поскольку слои этой структуры очень тонкие (средний слой обычно имеет толщину около 100 Å), наблюдаются эффекты квантового замыкания. Идея о том, что квантовые эффекты можно использовать для создания более эффективных лазерных диодов, возникла в 1970-х годах. Квантовый лазер был запатентован в 1976 году Р. Динглом и К. Х. Генри. В частности, поведение квантового колодца может быть представлено моделью частицы в конечном потенциальном колодце. Необходимо выбрать два граничных условия. Первое заключается в том, что волновая функция должна быть непрерывной. Часто второе граничное условие выбирают таким образом, чтобы производная волновой функции также была непрерывной на границе, но в случае квантового колодца массы по обе стороны границы различны. Вместо этого второе граничное условие выбирается для сохранения потока частиц, что согласуется с экспериментальными данными. Решение для частицы в конечном потенциальном колодце необходимо решать численно, в результате чего получаются волновые функции, являющиеся синусоидами внутри квантового колодца и экспоненциально затухающими в барьерах. Эта квантизация энергетических уровней электронов позволяет квантовому лазеру излучать свет более эффективно, чем обычные полупроводниковые лазеры. Благодаря своим малым размерам, квантовые точки не проявляют объемные свойства указанного полупроводника, а демонстрируют квантованные энергетические состояния. Этот эффект известен как квантовое ограничение и привел к многочисленным применениям квантовых точек, включая квантовые лазеры. Лазер питается одним электроном, проходящим через две квантовые точки, образуя двойную квантовую точку. Электрон переходит из состояния с более высокой энергией в состояние с более низкой энергией, излучая фотоны в микроволновом диапазоне. Эти фотоны отражаются от зеркал, создавая световой луч – лазер. Они демонстрируют квантовое ограничение, поскольку электроны не могут покинуть "точку", что позволяет использовать приближения "частицы в коробке". Их поведение можно описать трехмерными уравнениями квантования энергии для частицы в коробке. Для синтеза квантовых точек разных размеров используются различные полупроводниковые материалы, что позволяет им излучать свет с разной длиной волны. Квантовые точки полезны благодаря яркому излучению, возможности возбуждения широким спектром длин волн и более высокой устойчивости к фотообесцвечиванию, чем у других веществ.

The particle in a box model can be applied to quantum well lasers, which are laser diodes consisting of one semiconductor “well” material sandwiched between two other semiconductor layers of different material Because the layers of this sandwich are very thin (the middle layer is typically about 100 Å thick), quantum confinement effects can be observed. The idea that quantum effects could be harnessed to create better laser diodes originated in the 1970s. The quantum well laser was patented in 1976 by R. Dingle and C. H. Henry. Specifically, the quantum wells behavior can be represented by the particle in a finite well model. Two boundary conditions must be selected. The first is that the wave function must be continuous. Often, the second boundary condition is chosen to be the derivative of the wave function must be continuous across the boundary, but in the case of the quantum well the masses are different on either side of the boundary. Instead, the second boundary condition is chosen to conserve particle flux as , which is consistent with experiment. The solution to the finite well particle in a box must be solved numerically, resulting in wave functions that are sine functions inside the quantum well and exponentially decaying functions in the barriers. This quantization of the energy levels of the electrons allows a quantum well laser to emit light more efficiently than conventional semiconductor lasers. Due to their small size, quantum dots do not showcase the bulk properties of the specified semi conductor but rather show quantised energy states. This effect is known as the quantum confinement and has led to numerous applications of quantum dots such as the quantum well laser. The laser is powered by a single electron that passes through two quantum dots; a double quantum dot. The electron moves from a state of higher energy, to a state of lower energy whilst emitting photons in the microwave region. These photons bounce off mirrors to create a beam of light; the laser. They display quantum confinement in that the electrons cannot escape the “dot”, thus allowing particle in a box approximations to be used. Their behavior can be described by three dimensional particle in a box energy quantization equations. Different semiconducting materials are used to synthesize quantum dots of different sizes and therefore emit different wavelengths of light. Quantum dots are useful for these functions due to their emission of brighter light, excitation by a wide variety of wavelengths, and higher resistance to light than other substances.