Кіріспе
F кеңістіктері жалпы топологияда. Толық аударма инвариантты метрикасы бар топологиялық векторлық кеңістік. Функционалдық талдауда, F кеңістігі – нақты немесе кешенді сандар үстіндегі векторлық кеңістік, сондай-ақ, метрикамен бірге, мұндағы скалярлық көбейту метрикаға және стандартты метрикаға қатысты үздіксіз, немесе кеңістіктегі қосу метрикаға қатысты үздіксіз болады. Метрика аударма инвариантты, яғни, барлық үшін. Метрикалық кеңістік толық. Бұл операция F нормасы деп аталады, бірақ жалпы жағдайда F нормасы біртекті болуы міндетті емес. Аударма инварианттылығы арқасында метриканы F нормасынан алуға болады. Осылайша, нақты немесе кешенді F кеңістігі – толық F нормасымен жабдықталған нақты немесе кешенді векторлық кеңістікке тең. Кейбір авторлар F кеңістігі орнына Fréchet кеңістігі терминін қолданады, бірақ көбінесе "Fréchet кеңістігі" термині жергілікті дөңес F кеңістіктері үшін қолданылады. Басқа авторлар "F кеңістігі" терминін "Fréchet кеңістігі" терминімен синоним ретінде қолданады, яғни жергілікті дөңес, толық, метрикалық топологиялық векторлық кеңістік. Метрика міндетті түрде F кеңістігінің құрамына кіруі керек пе, жоқ па – бұл авторлардың пікіріне байланысты; көптеген авторлар мұндай кеңістіктің жоғарыда аталған қасиеттерді қанағаттандыратын етіп метризациялануын талап етеді.
Topological vector space with a complete translation invariant metric
In functional analysis, an F space is a vector space over the real or complex numbers together with a metric such that
Scalar multiplication in is continuous with respect to and the standard metric on or
Addition in is continuous with respect to
The metric is translation invariant; that is, for all
The metric space is complete. The operation is called an F norm, although in general an F norm is not required to be homogeneous. By translation invariance, the metric is recoverable from the F norm. Thus, a real or complex F space is equivalently a real or complex vector space equipped with a complete F norm. Some authors use the term Fréchet space rather than F space, but usually the term "Fréchet space" is reserved for locally convex F spaces. Some other authors use the term "F space" as a synonym of "Fréchet space", by which they mean a locally convex complete metrizable topological vector space. The metric may or may not necessarily be part of the structure on an F space; many authors only require that such a space be metrizable in a manner that satisfies the above properties.
Мысалдар
Барлық Банах кеңістіктері мен Фреше кеңістіктері F кеңістіктері болып табылады. Атап айтқанда, Банах кеңістігі – қосымша талабы бар F кеңістігі.
Lp кеңістіктерін барлық p үшін F кеңістіктеріне айналдыруға болады, ал p=1 үшін оларды жергілікті дөңес, сонымен қатар Фреше кеңістіктеріне және тіпті Банах кеңістіктеріне айналдыруға болады.
1-ші мысал
F кеңістігі. Ол үздіксіз семинормаларға да, үздіксіз сызықтық функционалдарға да жол бермейді — оның қос кеңістігі тривиалды.
Қарым-қатынас қасиеттері
Ашық карталау теоремасы егер және топологиялар болса, олар екеуі де толық метризацияланатын топологиялық векторлық кеңістіктерге (мысалы, Банах немесе Фреше кеңістіктері) айналады, және егер бір топология екіншісінен жіңішке немесе жуан болса, онда олар тең болуы керек (яғни, егер ). Графигі жабық F кеңістігіне сызықтық дерлік үздіксіз бейнелеу үздіксіз болады. Графигі жабық F кеңістігіне сызықтық дерлік ашық бейнелеу міндетті түрде ашық бейнелеу болады. F кеңістігінен сызықтық үздіксіз дерлік ашық бейнелеу міндетті түрде ашық бейнелеу болады. F кеңістігінен шыққан, кодоменде екінші категориядағы бейнесі бар сызықтық үздіксіз дерлік ашық бейнелеу міндетті түрде сюръективті ашық бейнелеу болады.