Введение
F-пространства в общей топологии
Топологическое векторное пространство с полной инвариантной метрикой
В функциональном анализе F-пространство — это векторное пространство над действительными или комплексными числами вместе с метрикой, такой что:
скалярное умножение в F-пространстве непрерывно относительно метрики и стандартной метрики на ℝ или ℂ, или
сложение в F-пространстве непрерывно относительно метрики.
Метрика является трансляционно инвариантной, то есть, d(x + y, z) = d(x, z + y) для всех x, y, z.
Метрическое пространство является полным. Операция d называется F-нормой, хотя в общем случае F-норма не обязана быть однородной. Благодаря трансляционной инвариантности метрика может быть восстановлена из F-нормы. Таким образом, действительное или комплексное F-пространство эквивалентно действительному или комплексному векторному пространству, снабженному полной F-нормой. Некоторые авторы используют термин «пространство Фреше» вместо «F-пространство», но обычно термин «пространство Фреше» зарезервирован для локально выпуклых F-пространств. Другие авторы используют термин «F-пространство» как синоним «пространства Фреше», подразумевая под этим локально выпуклое полное метризуемое топологическое векторное пространство. Метрика может быть, а может и не быть частью структуры F-пространства; многие авторы требуют лишь, чтобы такое пространство было метризуемым способом, удовлетворяющим вышеуказанным свойствам.
Topological vector space with a complete translation invariant metric
In functional analysis, an F space is a vector space over the real or complex numbers together with a metric such that
Scalar multiplication in is continuous with respect to and the standard metric on or
Addition in is continuous with respect to
The metric is translation invariant; that is, for all
The metric space is complete. The operation is called an F norm, although in general an F norm is not required to be homogeneous. By translation invariance, the metric is recoverable from the F norm. Thus, a real or complex F space is equivalently a real or complex vector space equipped with a complete F norm. Some authors use the term Fréchet space rather than F space, but usually the term "Fréchet space" is reserved for locally convex F spaces. Some other authors use the term "F space" as a synonym of "Fréchet space", by which they mean a locally convex complete metrizable topological vector space. The metric may or may not necessarily be part of the structure on an F space; many authors only require that such a space be metrizable in a manner that satisfies the above properties.
Примеры
Все пространства Банаха и пространства Фреше являются F-пространствами. В частности, пространство Банаха – это F-пространство с дополнительным требованием, что для всех p пространства Lp могут быть наделены структурой F-пространства, а для p ≥ 1 – структурой локально выпуклых и, следовательно, пространств Фреше и даже пространств Банаха.
The Lp spaces can be made into F spaces for all and for they can be made into locally convex and thus Fréchet spaces and even Banach spaces.
Пример 1
Это F-пространство. Оно не допускает непрерывных семинорм и непрерывных линейных функционалов — его сопряжённое пространство тривиально.
Сопутствующие свойства
Теорема об открытом отображении подразумевает, что если – топологии на , которые делают как , так и полными метризуемыми топологическими векторными пространствами (например, пространствами Банаха или Фреше), и если одна топология тоньше или грубее другой, то они должны быть равны (то есть, если ). Линейное почти непрерывное отображение в F-пространство, чей график замкнут, является непрерывным. Линейное почти открытое отображение в F-пространство, график которого замкнут, обязательно является открытым отображением. Линейное непрерывное почти открытое отображение из F-пространства обязательно является открытым отображением. Линейное непрерывное почти открытое отображение из F-пространства, образ которого является множеством второй категории в области значений, обязательно является сюръективным открытым отображением.