Кіріспе
Жинақтар теориясындағы ұғым. Топологиядағы ұғым. Математикада топологиялық кеңістік, егер бос ішкі бөлігі бар жабық жиындардың саналатын біріктірілгендерінің де бос ішкі бөлігі болса, Бейр кеңістігі деп аталады. Бейр категориясы теоремасына сәйкес, тығыз Хаусдорф кеңістіктері және толық метрикалық кеңістіктер Бейр кеңістіктерінің мысалдары болып табылады. Бейр категориясы теоремасы Бейр кеңістіктерінің қасиеттерімен біріктіріліп, топологияда, геометрияда және анализде, әсіресе функционалдық анализде көптеген қолданыстарға ие. Қосымша ақпарат және қолданыстар үшін Бейр категориясы теоремасы туралы мақаланы қараңыз. Ағымдағы мақала Бейр кеңістіктерінің сипаттамалары мен негізгі қасиеттеріне көбірек назар аударады. Бурбаки, 1899 жылы өзінің диссертациясында Евклид кеңістігінде Бейр категориясы теоремасын зерттеген Рене Бэйрдің құрметіне "Бейр кеңістігі" терминін енгізді.
Concept in topology
In mathematics, a topological space is said to be a Baire space if countable unions of closed sets with empty interior also have empty interior. According to the Baire category theorem, compact Hausdorff spaces and complete metric spaces are examples of Baire spaces. The Baire category theorem combined with the properties of Baire spaces has numerous applications in topology, geometry, and analysis, in particular functional analysis. For more motivation and applications, see the article Baire category theorem. The current article focuses more on characterizations and basic properties of Baire spaces per se. Bourbaki introduced the term "Baire space" in honor of René Baire, who investigated the Baire category theorem in the context of Euclidean space in his 1899 thesis.
Қасиеттері
Бос емес әрбір Бейр кеңістігі – майда емес. Тығыз ашық жиындардың саналатын қиылыстарын қарастырғанда, Бейр кеңістігі болу, мұндай қиылыстардың тығыз болуымен тең, ал майда емес кеңістік болу – мұндай қиылыстардың бос емес болуымен, яғни әлсіз жағдаймен тең. Бейр кеңістігінің кез келген ашық ішкі кеңістігі – Бейр кеңістігі болып табылады. Бейр кеңістігіндегі кез келген тығыз Gδ жиыны – Бейр кеңістігі болып табылады. Егер Gδ жиыны тығыз болмаса, нәтиже міндетті түрде орындалмайды. Мысалдар бөлімін қараңыз. Бейр кеңістігіндегі кез келген ко-майда жиын – Бейр кеңістігі болып табылады. Бейр кеңістігінің ішкі жиыны ко-майда болады, егер және тек қана егер ол тығыз Gδ жиынын қамтыса. Бейр кеңістігінің жабық ішкі кеңістігінің Бейр болуы міндетті емес. Мысалдар бөлімін қараңыз. Егер кеңістікте Бейр болатын тығыз ішкі кеңістік болса, онда ол да Бейр кеңістігі болып табылады. Жергілікті түрде Бейр кеңістігі, яғни әрбір нүктесі үшін Бейр кеңістігі болатын маңай табылатын кеңістік – Бейр кеңістігі болып табылады. Бейр кеңістіктерінің кез келген топологиялық қосындысы – Бейр болып табылады. Екі Бейр кеңістігінің көбейтіндісі міндетті түрде Бейр бола бермейді. Толық метрикалық кеңістіктердің кез келген көбейтіндісі – Бейр болып табылады. Кез келген жергілікті айқын кеңістік – Бейр кеңістігі болып табылады. Кез келген шекті топологиялық кеңістік – Бейр кеңістігі болып табылады (өйткені шекті кеңістікте тек шекті көп ашық жиындар болады және екі ашық тығыз жиынның қиылысы – ашық тығыз жиын болады). Топологиялық векторлық кеңістік Бейр кеңістігі болады, егер және тек қана егер ол майда емес болса, яғни әрбір жабық теңгерілген жұтатын ішкі жиынның бос емес ішкі бөлігі болса. Нүктелік лимиттері бар үздіксіз функциялар тізбегі берілген болсын. Егер кеңістік Бейр кеңістігі болса, онда функция үздіксіз емес болатын нүктелер жиыны – майда жиын, ал функция үздіксіз болатын нүктелер жиыны – тығыз жиын болады. Бұл жағдайдың ерекше жағдайы – біртекті шектеу принципі.