Введение
понятие в теории множеств Понятие в топологии В математике топологическое пространство называется пространством Бейра, если счётные объединения замкнутых множеств с пустой внутренностью также имеют пустую внутренность. Согласно теореме о категории Бейра, компактные хаусдорфовы пространства и полные метрические пространства являются примерами пространств Бейра. Теорема о категории Бейра, в сочетании со свойствами пространств Бейра, имеет многочисленные применения в топологии, геометрии и анализе, в частности, в функциональном анализе. Более подробную информацию о мотивации и применениях можно найти в статье «Теорема о категории Бейра». Настоящая статья посвящена в основном характеризациям и основным свойствам пространств Бейра как таковых. Бурбаки ввёл термин «пространство Бейра» в честь Рене Бейра, который исследовал теорему о категории Бейра в контексте евклидова пространства в своей диссертации 1899 года.
Concept in topology
In mathematics, a topological space is said to be a Baire space if countable unions of closed sets with empty interior also have empty interior. According to the Baire category theorem, compact Hausdorff spaces and complete metric spaces are examples of Baire spaces. The Baire category theorem combined with the properties of Baire spaces has numerous applications in topology, geometry, and analysis, in particular functional analysis. For more motivation and applications, see the article Baire category theorem. The current article focuses more on characterizations and basic properties of Baire spaces per se. Bourbaki introduced the term "Baire space" in honor of René Baire, who investigated the Baire category theorem in the context of Euclidean space in his 1899 thesis.
Свойства
Любое непустое пространство Бейра не является меагрическим. С точки зрения счетных пересечений плотных открытых множеств, быть пространством Бейра эквивалентно тому, что такие пересечения плотны, а быть немеагрическим пространством эквивалентно более слабому условию, что такие пересечения непусты. Каждое открытое подпространство пространства Бейра является пространством Бейра. Каждое плотное множество Gδ в пространстве Бейра является пространством Бейра. Результат не обязательно верен, если множество Gδ не является плотным. См. раздел «Примеры». Каждое комеагрическое множество в пространстве Бейра является пространством Бейра. Подмножество пространства Бейра является комеагрическим тогда и только тогда, когда оно содержит плотное множество Gδ. Закрытое подпространство пространства Бейра не обязательно является пространством Бейра. См. раздел «Примеры». Если пространство содержит плотное подпространство, являющееся пространством Бейра, то оно само является пространством Бейра. Пространство, являющееся локально пространством Бейра, в том смысле, что каждая точка имеет окрестность, являющуюся пространством Бейра, является пространством Бейра. Каждая топологическая сумма пространств Бейра является пространством Бейра. Произведение двух пространств Бейра не обязательно является пространством Бейра. Произвольное произведение полных метрических пространств является пространством Бейра. Каждое локально компактное трезвое пространство является пространством Бейра. Каждое конечное топологическое пространство является пространством Бейра (потому что конечное пространство имеет лишь конечное число открытых множеств, а пересечение двух открытых плотных множеств является открытым плотным множеством). Топологическое векторное пространство является пространством Бейра тогда и только тогда, когда оно не является меагрическим, что происходит тогда и только тогда, когда каждое замкнутое сбалансированное поглощающее подмножество имеет непустой интерьер. Для последовательности непрерывных функций с поточечным пределом , если является пространством Бейра, то множество точек, где не является непрерывной, является меагрическим множеством, а множество точек, где является непрерывной, является плотным. Частным случаем этого является принцип равномерной ограниченности.