Введение

Геометрическая концепция двумерного пространства с добавленной "точкой на бесконечности".

В математике проективная плоскость — это геометрическая структура, расширяющая понятие плоскости. В обычной евклидовой плоскости две прямые обычно пересекаются в одной точке, но существуют пары прямых (а именно, параллельные прямые), которые не пересекаются. Проективную плоскость можно представить как обычную плоскость, дополненную "точками на бесконечности", в которых пересекаются параллельные прямые. Таким образом, любые две различные прямые в проективной плоскости пересекаются ровно в одной точке. Художники эпохи Возрождения, разрабатывая технику перспективного рисования, заложили основу для этой математической области. Архетипичным примером является вещественная проективная плоскость, также известная как расширенная евклидова плоскость. Этот пример, в несколько различных формах, важен в алгебраической геометрии, топологии и проективной геометрии, где он может обозначаться различными способами: PG(2, R), RP2 или P2(R), среди прочих. Существует множество других проективных плоскостей, как бесконечных, например, комплексная проективная плоскость, так и конечных, например, плоскость Фано. Проективная плоскость является двумерным проективным пространством. Не все проективные плоскости могут быть вложены в трехмерные проективные пространства; такая возможность вложения является следствием свойства, известного как теорема Дезарга, которое не выполняется для всех проективных плоскостей.

Проективная плоскость Моултона

Точки плоскости Мултона – это точки евклидовой плоскости, с координатами в обычном порядке. Для создания плоскости Мултона из евклидовой плоскости некоторые прямые переопределяются. То есть, множества точек некоторых из них изменяются, а другие прямые остаются без изменений. Переопределим все прямые с отрицательным наклоном так, чтобы они выглядели как «изогнутые» прямые, то есть эти прямые сохраняют свои точки с отрицательными координатами x, но остальные их точки заменяются точками прямой с тем же пересечением с осью y, но с наклоном в два раза больше, везде, где координата x положительна. Плоскость Мултона имеет классы параллельных прямых и является аффинной плоскостью. Ее можно проективизировать, как в предыдущем примере, для получения проективной плоскости Мултона. Теорема Дезарга не является справедливой ни в плоскости Мултона, ни в проективной плоскости Мултона.

Конструкция векторного пространства

Хотя линия на бесконечности расширенной вещественной плоскости может казаться отличной по своей природе от других линий этой проективной плоскости, это не так. Другая конструкция той же проективной плоскости показывает, что ни одну линию нельзя отличить (на геометрических основаниях) от любой другой. В этой конструкции каждая "точка" вещественной проективной плоскости является одномерным подпространством (геометрической линией), проходящим через начало координат в трехмерном векторном пространстве, а "линия" в проективной плоскости возникает из (геометрической) плоскости, проходящей через начало координат в трехмерном пространстве. Эту идею можно обобщить и уточнить следующим образом. Пусть K – любое кольцо с делением (скосое поле). Пусть K3 обозначает множество всех троек x = (x0, x1, x2) элементов K (декартово произведение, рассматриваемое как векторное пространство). Для любого ненулевого x в K3 минимальное подпространство K3, содержащее x (которое можно представить как все векторы на прямой, проходящей через начало координат), является подмножеством K3. Аналогично, пусть x и y – линейно независимые элементы K3, то есть 1=kx + my = 0 влечет за собой, что 1=k = m = 0. Минимальное подпространство K3, содержащее x и y (которое можно представить как все векторы на плоскости, проходящей через начало координат), является подмножеством K3. Это двумерное подпространство содержит различные одномерные подпространства, проходящие через начало координат, которые можно получить, фиксируя k и m и беря кратные полученного вектора. Различные значения k и m, находящиеся в одном отношении, дадут одну и ту же прямую. Проективная плоскость над K, обозначаемая PG(2, K) или KP2, имеет множество точек, состоящее из всех одномерных подпространств в K3. Подмножество L множества точек PG(2, K) является линией в PG(2, K), если существует двумерное подпространство K3, множество одномерных подпространств которого точно равно L. Проверка того, что эта конструкция дает проективную плоскость, обычно остается упражнением по линейной алгебре. Альтернативный (алгебраический) взгляд на эту конструкцию следующий. Точки этой проективной плоскости являются классами эквивалентности множества K3 \ {(0, 0, 0)} по отношению к отношению эквивалентности x ~ kx для всех k из K×. Линии в проективной плоскости определяются точно так же, как и выше. Координаты (x0, x1, x2) точки в PG(2, K) называются однородными координатами. Каждая тройка (x0, x1, x2) представляет собой однозначно определенную точку в PG(2, K), за исключением тройки (0, 0, 0), которая не представляет никакой точки. Однако каждая точка в PG(2, K) представлена множеством троек. Если K – топологическое пространство, то KP2 наследует топологию посредством производной, подпространственной и фактор-топологий.

Классические примеры

Реальная проективная плоскость RP2 возникает, когда K принимается за множество действительных чисел, R. Являясь замкнутым, не ориентируемым двумерным многообразием, она служит фундаментальным примером в топологии. В этой конструкции рассмотрим единичную сферу с центром в начале координат в R3. Каждая прямая в R3 в этой конструкции пересекает сферу в двух антиподальных точках. Поскольку прямая в R3 представляет точку RP2, мы получим ту же модель RP2, отождествляя антиподальные точки сферы. Прямые RP2 будут являться большими кругами сферы после отождествления антиподальных точек. Это описание дает стандартную модель эллиптической геометрии. Комплексная проективная плоскость CP2 возникает, когда K принимается за множество комплексных чисел, C. Это замкнутое комплексное двумерное многообразие, и, следовательно, замкнутое ориентируемое четырехмерное многообразие. Она и проективные плоскости над другими полями (известные как паппианские плоскости) служат фундаментальными примерами в алгебраической геометрии. Кватернионная проективная плоскость HP2 также представляет самостоятельный интерес.

Плоскости конечного поля

Согласно теореме Уэддерберна, конечное кольцо с делением должно быть коммутативным и, следовательно, являться полем. Таким образом, конечные примеры данной конструкции известны как «полевые плоскости». Если взять K за конечное поле из q = pn элементов, где p – простое число, то получится проективная плоскость, содержащая q² + q + 1 точек. Полевые плоскости обычно обозначаются PG(2, q), где PG означает проективную геометрию, «2» – размерность, а q называется порядком плоскости (он на единицу меньше числа точек на любой прямой). Плоскость Фано, которая обсуждается ниже, обозначается PG(2, 2). Третий пример, приведенный выше, – это проективная плоскость PG(2, 3). Плоскость Фано – это проективная плоскость, возникающая из поля из двух элементов. Это наименьшая проективная плоскость, содержащая всего семь точек и семь прямых. На рисунке справа семь точек изображены в виде маленьких шаров, а семь прямых – в виде шести отрезков и окружности. Однако можно рассматривать шары как «прямые», а отрезки и окружность – как «точки»; это пример двойственности в проективной плоскости: если поменять местами прямые и точки, результатом все равно будет проективная плоскость (см. ниже). Перестановка семи точек, которая переводит коллинеарные точки (точки, лежащие на одной прямой) в коллинеарные точки, называется коллинеацией или симметрией плоскости. Коллинеации геометрии образуют группу относительно композиции, и для плоскости Фано эта группа (PΓL(3, 2) = PGL(3, 2)) содержит 168 элементов.

Теорема Десаргеса и Десаргезианские плоскости

Теорема Дезарга справедлива в проективной плоскости тогда и только тогда, когда эта плоскость может быть построена из трехмерного векторного пространства над телом с наклоном, как описано выше. Эти плоскости называются дезаргезианскими плоскостями, в честь Жирара Дезарга. Реальная (или комплексная) проективная плоскость и проективная плоскость порядка 3, приведенные выше, являются примерами дезаргезианских проективных плоскостей. Проективные плоскости, которые нельзя построить таким образом, называются недезаргезианскими плоскостями, и плоскость Моултона, приведенная выше, является одним из примеров. Обозначение PG(2, K) зарезервировано для дезаргезианских плоскостей. Если K является полем, что является очень распространенным случаем, они также известны как плоскости над полем, а если поле конечное, то их можно назвать плоскостями Галуа.

Подпланы

Подплоскость проективной плоскости — это подмножество точек плоскости, которые сами образуют проективную плоскость с теми же отношениями инцидентности. Доказывается следующая теорема. Пусть Π — конечная проективная плоскость порядка N с собственной подплоскостью Π₀ порядка M. Тогда либо N = M², либо N ≥ M² + M.

Когда N является квадратом, подплоскости порядка M называются подплоскостями Баэра. Каждая точка плоскости лежит на прямой подплоскости Баэра, и каждая прямая плоскости содержит точку подплоскости Баэра. В конечных дезаргузианских плоскостях PG(2, pⁿ) подплоскости имеют порядки, являющиеся порядками подполей конечного поля GF(pⁿ), то есть pⁱ, где i — делитель n. Однако в недезаргузианских плоскостях теорема Брука предоставляет единственную информацию о порядках подплоскостей. Случай равенства в неравенстве этой теоремы неизвестен. Существует ли подплоскость порядка M в плоскости порядка N, удовлетворяющая условию M² + M = N, — открытый вопрос. Если бы такие подплоскости существовали, то существовали бы проективные плоскости составного (не являющегося степенью простого числа) порядка.

Сродственные плоскости

Проективизация евклидовой плоскости порождает вещественную проективную плоскость. Обратная операция — начиная с проективной плоскости, удаление одной прямой и всех точек, инцидентных этой прямой — порождает аффинную плоскость.

Коллинеации

Коллинеация проективной плоскости — это биективное отображение плоскости на себя, которое переводит точки в точки и прямые в прямые, сохраняя инцидентность, то есть если σ — биекция и точка P лежит на прямой m, то образ точки P при отображении σ, Pσ, лежит на образе прямой m при отображении σ, mσ. Если σ является коллинеацией проективной плоскости, то точка P, для которой P = Pσ, называется неподвижной точкой σ, а прямая m, для которой m = mσ, называется неподвижной прямой σ. Точки на неподвижной прямой не обязаны быть неподвижными точками, их образы при отображении σ лишь ограничены принадлежностью этой прямой. Множество неподвижных точек и неподвижных прямых коллинеации образует замкнутую конфигурацию, представляющую собой систему точек и прямых, удовлетворяющих первым двум, но не обязательно третьему условию в определении проективной плоскости. Таким образом, структура неподвижных точек и неподвижных прямых для любой коллинеации либо сама образует проективную плоскость, либо вырожденную плоскость. Коллинеации, структура неподвижных элементов которых образует плоскость, называются плоскостными коллинеациями.

Гомография

Гомография (или проективное преобразование) PG(2, K) является коллинеацией этого типа проективной плоскости, которая представляет собой линейное преобразование лежащего в основе векторного пространства. Используя однородные координаты, они могут быть представлены обратимыми матрицами 3 × 3 над K, действующими на точки PG(2, K) следующим образом: y = Mxᵀ, где x и y – точки в K³ (векторы), а M – обратимая матрица 3 × 3 над K. Две матрицы представляют одно и то же проективное преобразование, если одна является скалярным кратным другой. Таким образом, группа проективных преобразований является фактор-группой общей линейной группы по скалярным матрицам, называемой проективной линейной группой. Другой тип коллинеаций PG(2, K) индуцируется любым автоморфизмом K и называется автоморфными коллинеациями. Если α – автоморфизм K, то коллинеация, заданная (x₀, x₁, x₂) → (x₀α, x₁α, x₂α), является автоморфной коллинеацией. Фундаментальная теорема проективной геометрии утверждает, что все коллинеации PG(2, K) являются композициями гомографий и автоморфных коллинеаций. Автоморфные коллинеации являются планарными коллинеациями.

Корреляции

Двойственность — это отображение проективной плоскости 1=C = (P, L, I) в её двойственную плоскость 1=C* = (L, P, I*) (см. выше), сохраняющее инцидентность. То есть, двойственность σ отображает точки в прямые и прямые в точки (1=Pσ = L и 1=Lσ = P) таким образом, что если точка Q лежит на прямой m (обозначается Q I m), то Qσ I* mσ ⇔ mσ I Qσ. Двойственность, являющаяся изоморфизмом, называется корреляцией. Если корреляция существует, то проективная плоскость C является самодвойственной. В частном случае, когда проективная плоскость имеет тип PG(2, K), где K — поле, двойственность называется обратностью. Эти плоскости всегда самодвойственны. По фундаментальной теореме проективной геометрии обратность является композицией автоморфизма поля K и гомографии. Если участвующий автоморфизм является тождественным, то обратность называется проективной корреляцией. Корреляция второго порядка (инволюция) называется полярностью. Если корреляция φ не является полярностью, то φ² является нетривиальной коллинеацией.

Проективные плоскости в более высокомерных проективных пространствах

Проективные плоскости можно рассматривать как проективные геометрии геометрической размерности два. Проективные геометрии более высокой размерности могут быть определены в терминах отношений инцидентности аналогично определению проективной плоскости. Они оказываются "более покладистыми", чем проективные плоскости, поскольку дополнительные степени свободы позволяют геометрически доказать теорему Дезарга в геометрии более высокой размерности. Это означает, что координатное "кольцо", связанное с геометрией, должно быть кольцом деления (сквозным полем) K, а проективная геометрия изоморфна геометрии, построенной из векторного пространства Kd+1, то есть PG(d, K). Как и в ранее приведенной конструкции, точки d-мерного проективного пространства PG(d, K) являются прямыми, проходящими через начало координат в Kd+1, а прямая в PG(d, K) соответствует плоскости, проходящей через начало координат в Kd+1. Фактически, каждый i-мерный объект в PG(d, K), при i < d, является (i + 1)-мерным (алгебраическим) векторным подпространством Kd+1 ("проходит через начало координат"). Проективные пространства, в свою очередь, обобщаются до грассмановых пространств. Можно показать, что если теорема Дезарга выполняется в проективном пространстве размерности больше двух, то она также должна выполняться во всех плоскостях, содержащихся в этом пространстве. Поскольку существуют проективные плоскости, в которых теорема Дезарга не выполняется (недезарговские плоскости), эти плоскости не могут быть вложены в проективное пространство более высокой размерности. Только плоскости из конструкции векторного пространства PG(2, K) могут встречаться в проективных пространствах более высокой размерности. Некоторые области математики ограничивают значение термина "проективная плоскость" только этим типом проективной плоскости, поскольку в противном случае общие утверждения о проективных пространствах всегда должны были бы упоминать исключения, когда геометрическая размерность равна двум.