Координаталар өзгергенде векторлердің мінез-құлқы

Кіріспе

Координаттық өзгерістердегі векторлердің мінез-құлқы. Физикада, әсіресе көп сызықты алгебра мен тензорлық талдауда, коварианттылық және контраварианттылық белгілі бір геометриялық немесе физикалық шамалардың сандық сипаттамасы негізді өзгертумен қалай өзгеретінін көрсетеді. Қысқаша айтқанда, контравариант вектор – негіздің өзгеруіне кері түрленетін сандар тізімі, ал ковариант вектор – сол бағытта түрленетін сандар тізімі. Контравариант векторларды көбінесе вектор деп атайды, ал ковариант векторларды ковекторлар немесе дуал векторлар деп атайды. Ковариант және контравариант терминдерін 1851 жылы Джеймс Джозеф Сильвестр енгізген. Цилиндрлік немесе сфералық координаттар сияқты қисық сызықты координаттар жүйелері физикалық және геометриялық есептерде жиі қолданылады. Кез келген координаттар жүйесімен байланысты, кеңістіктің әрбір нүктесіндегі векторлар үшін табиғи координаттар негізінің таңдауы бар, ал коварианттылық және контраварианттылық вектордың координаттық сипаттамасы бір координаттар жүйесінен екіншісіне ауысқанда қалай өзгеретінін түсіну үшін маңызды. Тензорлар – коварианттылық және контраварианттылық ерекшеліктерін камтитын көп сызықты алгебрадағы объектілер.

Кіріспе

Физикада вектор, әдетте, өлшем немесе өлшемдер сериясының нәтижесі ретінде туындайды және сандардың тізімі (немесе жұп) ретінде көрсетіледі, мысалы:

Тізімдегі сандар координата жүйесінің таңдалуына байланысты. Мысалы, егер вектор бақылаушыға қатысты орналасуын білдірсе (орналасу векторы), онда координата жүйесі v1, v2 және v3 компоненттерін өлшейтін қатты таяқшалар немесе анықтама осьтері жүйесінен алынуы мүмкін. Вектор геометриялық нысанды көрсету үшін, оны кез келген басқа координата жүйесінде қалай көрінетінін сипаттау мүмкін болуы керек. Яғни, векторлардың компоненттері бір координата жүйесінен екіншісіне аусқанда белгілі бір тәртіппен өзгереді. Ең қарапайым мысал – евклидтік вектор. Вектор үшін, егер негізгі векторлар жиынтығы анықталған болса, онда осы вектордың компоненттері негізгі векторларға кері пропорционалды түрде өзгереді. Сондықтан, бұл вектор контравариантты тензор ретінде анықталады. Стандартты орналасу векторын қарастырайық. Анықтама осьтерінің масштабын метрден сантиметрге ауыстыру арқылы (яғни, анықтама осьтерінің масштабын 100-ге бөлу арқылы, нәтижесінде негізгі векторлардың ұзындығы метрге тең болады), өлшенген орналасу векторының компоненттері 100-ге көбейтіледі. Вектордың компоненттері масштабтың өзгеруіне кері пропорционалды түрде өзгереді, сондықтан вектор контравариантты тензор деп аталады. Контравариантты тензордың мысалы болып табылатын вектордың компоненттері айналу және кеңею сияқты түрлендірулерді қоса алғанда, өзгеруге қарсы түрде өзгереді. Вектордың өзі осы операциялар кезінде өзгермейді; керісінше, вектордың компоненттері кеңістіктік осьтердегі өзгерісті жоятын тәсілмен өзгереді. Басқаша айтқанда, егер анықтама осьтері бір бағытта айналса, вектордың компоненттік көрсетілімі дәл қарама-қарсы бағытта айналады. Сол сияқты, егер анықтама осьтері бір бағытта созылса, вектордың компоненттері дәл өтемақылай түрде азаяды. Математикалық тұрғыдан алғанда, егер координата жүйесі кері айналатын матрица M арқылы сипатталатын түрлендіруге ұшыраса, онда негізгі векторлар түрленсе, бастапқы негіздегі v векторының компоненттері де сол сияқты түрленуі керек. Вектордың компоненттері көбінесе баған түрінде көрсетіледі. Керісінше, ковектордың компоненттері анықтама осьтері сияқты түрленеді. Ол дуалды векторлық кеңістікте өмір сүреді және векторлардан скалярларға дейінгі сызықтық бейнелеуді білдіреді. Векторларды қамтитын скалярлық көбейту операторы ковектордың жақсы мысалы болып табылады. Мысал ретінде, бізде ковектор бар делік, ол , мұнда – вектор. Осы ковектордың кез келген негіздегі компоненттері , мұнда – сәйкес векторлық кеңістіктегі негізгі векторлар. (Бұл компоненттері бар кез келген вектормен көбейту кезінде скалярлық көбейту операциясының дұрыс жауабын алуға тырысамыз). Осы ковектор компоненттерінің коварианттылығын егер кері айналатын матрица M арқылы сипатталатын түрлендіруді сәйкес векторлық кеңістіктегі негізгі векторларға қолданса, онда ковектор компоненттері сол матрицамен түрленетінін байқау оңай. Ковектор компоненттері көбінесе қатар түрінде көрсетіледі. Коварианттық және контраварианттыққа байланысты үшінші ұғым – инварианттық. Скаляр (сонымен қатар 0 типті немесе 0 дәрежелі тензор деп те аталады) – негіздің өзгеруімен өзгермейтін нысан. Скаляр болып табылатын физикалық шаманың мысалы – бөлшектің массасы. Массаның жалғыз скалярлық мәні негізгі векторлардың өзгеруіне тәуелсіз, сондықтан ол инвариант деп аталады. Вектордың ұзындығы (мысалы, қашықтық) – инварианттың тағы бір мысалы, өйткені ол геометриялық вектор компоненттері өзгерсе де тұрақты болып қалады. (Мысалы, ұзындығы метрлік орналасу векторы үшін, егер барлық картезиандық негізгі векторлар ұзындығы метрден метрге ауыстырылса, орналасу векторының ұзындығы метрде өзгермейді, бірақ вектор компоненттері барлығы бір факторға көбейеді). Вектор мен ковектордың скалярлық көбейтіндісі инвариантты, өйткені біреуінде негіздің өзгеруімен өзгеретін компоненттер бар, ал екіншісінде оған кері пропорционалды өзгеретін компоненттер бар, және екі әсер де бір-бірін жояды. Осылайша, ковекторлар векторларға дуалды деп айтуға болады. Қорытындылай келе: вектор немесе тангенс вектор, негіздің өзгеруімен өтемақылай өзгеретін компоненттерге ие. Яғни, вектор компоненттерін түрлендіретін матрица негізгі векторларды түрлендіретін матрицаның кері матрицасы болуы керек. Вектор компоненттері (ковектор компоненттеріне қарағанда) контравариантты деп айтылады. Эйнштейн нотациясында (қайталама индекстер бойынша жасырын қосым), контравариантты компоненттер жоғарғы индекстермен белгіленеді, мысалы:

The numbers in the list depend on the choice of coordinate system. For instance, if the vector represents position with respect to an observer (position vector), then the coordinate system may be obtained from a system of rigid rods, or reference axes, along which the components v1, v2, and v3 are measured. For a vector to represent a geometric object, it must be possible to describe how it looks in any other coordinate system. That is to say, the components of the vectors will transform in a certain way in passing from one coordinate system to another. A simple illustrative case is that of a Euclidean vector. For a vector, once a set of basis vectors has been defined, then the components of that vector will always vary opposite to that of the basis vectors. That vector is therefore defined as a contravariant tensor. Take a standard position vector for example. By changing the scale of the reference axes from meters to centimeters (that is, dividing the scale of the reference axes by 100, so that the basis vectors now are meters long), the components of the measured position vector are multiplied by 100. A vector's components change scale inversely to changes in scale to the reference axes, and consequently a vector is called a contravariant tensor. A vector, which is an example of a contravariant tensor, has components that transform inversely to the transformation of the reference axes, (with example transformations including rotation and dilation). The vector itself does not change under these operations; instead, the components of the vector change in a way that cancels the change in the spatial axes. In other words, if the reference axes were rotated in one direction, the component representation of the vector would rotate in exactly the opposite way. Similarly, if the reference axes were stretched in one direction, the components of the vector, would reduce in an exactly compensating way. Mathematically, if the coordinate system undergoes a transformation described by an invertible matrix M, so that the basis vectors transform according to , then the components of a vector v in the original basis ( ) must be similarly transformed via The components of a vector are often represented arranged in a column. By contrast, a covector has components that transform like the reference axes. It lives in the dual vector space, and represents a linear map from vectors to scalars. The dot product operator involving vectors is a good example of a covector. To illustrate, assume we have a covector defined as , where is a vector. The components of this covector in some arbitrary basis are , with being the basis vectors in the corresponding vector space. (This can be derived by noting that we want to get the correct answer for the dot product operation when multiplying by an arbitrary vector , with components ). The covariance of these covector components is then easily seen by noting that if a transformation described by an invertible matrix M were to be applied to the basis vectors in the corresponding vector space, , then the components of the covector will transform with the same matrix , namely, The components of a covector are often represented arranged in a row. A third concept related to covariance and contravariance is invariance. A scalar (also called type 0 or rank 0 tensor) is an object that does not vary with the change in basis. An example of a physical observable that is a scalar is the mass of a particle. The single, scalar value of mass is independent to changes in basis vectors and consequently is called invariant. The magnitude of a vector (such as distance) is another example of an invariant, because it remains fixed even if geometrical vector components vary. (For example, for a position vector of length meters, if all Cartesian basis vectors are changed from meters in length to meters in length, the length of the position vector remains unchanged at meters, although the vector components will all increase by a factor of ). The scalar product of a vector and a covector is invariant, because one has components that vary with the base change, and the other has components that vary oppositely, and the two effects cancel out. One thus says that covectors are dual to vectors. Thus, to summarize:
A vector or tangent vector, has components that contra vary with a change of basis to compensate. That is, the matrix that transforms the vector components must be the inverse of the matrix that transforms the basis vectors. The components of vectors (as opposed to those of covectors) are said to be contravariant. In Einstein notation (implicit summation over repeated index), contravariant components are denoted with upper indices as in

Ковектор немесе котангенс вектор, сәйкес (бастапқы) векторлық кеңістікте негіздің өзгеруімен ковариантты түрде өзгеретін компоненттерге ие. Яғни, компоненттер сол негіздің өзгеру матрицасымен сол сәйкес (бастапқы) векторлық кеңістікте түрленуі керек. Ковектор компоненттері (вектор компоненттеріне қарағанда) ковариантты деп айтылады. Эйнштейн нотациясында ковариантты компоненттер төменгі индекстермен белгіленеді, мысалы:

Вектор мен ковектордың скалярлық көбейтіндісі – инвариантты скаляр. Бұл векторлар мен ковекторлардың дуалды жұптасуы.

Метрикалық вектордың ковариантты және контравариантты компоненттері

V өрісімен шекті өлшемді векторлық кеңістікте K симметриялық билинеарлық формасы g: V × V → K (бұл метрикалық тензор деп аталуы мүмкін) ковариантты және контравариантты векторлар арасында көп айырмашылық жоқ, себебі билинеарлық форма ковекторларды векторлармен сәйкестендіруге мүмкіндік береді. Яғни, v векторы кез келген w векторы үшін α ковекторын бірегей түрде анықтайды:

. Керісінше, әр α ковекторы осы теңдеу арқылы v векторын бірегей түрде анықтайды. Векторларды ковекторлармен сәйкестендірудің нәтижесінде вектордың ковариантты немесе контравариантты компоненттері туралы айтуға болады, яғни олар бірдей вектордың өзара негізді пайдалана отырып алынған бейнелері. V-дің 1=f = (X1, ..., Xn) негізі берілген болса, Kronecker дельтасын қанағаттандыратын V-дің бірегей өзара негізі 1=f# = (Y1, ..., Yn) бар:

. Осы негіздер тұрғысынан кез келген v векторын екі түрде жазуға болады:

vi[f] компоненттері – v векторының f негізіндегі контравариантты компоненттері, ал vi[f] компоненттері – v векторының f негізіндегі ковариантты компоненттері. Бұл терминология негізделген, өйткені негізді өзгерту кезінде:

Евклид жазықтығы

Евклид жазықтығында нүктелі көбейтінді векторларды ковекторлармен теңестіруге мүмкіндік береді. Егер негіз болса, онда оның қос негізі шартты қанағаттандырады.

Осылайша, e1 және e2 бір-біріне перпендикуляр, сондай-ақ e2 және e1 де перпендикуляр, ал e1 мен e2 векторларының ұзындығы сәйкесінше e1 және e2-ге қатысты нормаланған.

Бейресми пайдалану

Физика саласында "ковариант" сөзі жиі инвариант сөзінің синонимі ретінде бейресми түрде қолданылады. Мысалы, Шредингер теңдеуі арнайы салыстырмалылық теориясының координаттық түрлендірулері кезінде өзінің жазбаша түрін сақтамайды. Сондықтан физик Шредингер теңдеуі ковариант емес деп айтуы мүмкін. Керісінше, Клейн-Гордон және Дирак теңдеулері осы координаттық түрлендірулер кезінде өздерінің жазбаша түрін сақтайды. Сондықтан физиктер бұл теңдеулер ковариант деп айтуы мүмкін. Мұндай "ковариант" қолданысына қарамастан, Клейн-Гордон және Дирак теңдеулері инвариантты, ал Шредингер теңдеуі инвариантты емес деп айту дәлірек болады. Сонымен қатар, түсініксіздікті болдырмау үшін инварианттылықты тексеруге қолданылатын түрлендіруді көрсету қажет. Векторлардың компоненттері контравариантты, ал ковекторлардың компоненттері ковариантты болғандықтан, векторлардың өзі көбінесе контравариантты, ал ковекторлар ковариантты деп аталады.

Тензорлық талдауда қолдану

Коварианстық пен контраварианстық арасындағы айырмашылық, әсіресе тензорлармен есептеулер үшін маңызды, олар көбінесе аралас дисперсияға ие. Бұл олардың ковариантты және контравариантты компоненттерінің, немесе векторлық және ковекторлық компоненттерінің болуын білдіреді. Тензордың валенттілігі – вариантты және ковариантты мүшелердің саны, ал Эйнштейн нотациясында ковариантты компоненттер төменгі индекстермен, ал контравариантты компоненттер жоғарғы индекстермен белгіленеді. Коварианстық пен контраварианстық арасындағы дуалдық, вектор немесе тензор шамасы оның компоненттері арқылы көрсетілген кезде көрінеді, бірақ қазіргі дифференциалдық геометрия тензорларды көрсету үшін күрделірек, индекссіз әдістерді қолданады. Тензорлық талдауда ковариантты вектор сәйкес контравариантты векторға қатысты шамалы кері байланыста болады. Векторлық кеңістіктегі нысандардың ұзындығы, ауданы және көлемі ковариантты және контравариантты индекстері бар тензорлар арқылы берілуі мүмкін. Координаттардың қарапайым кеңеюі мен қысқаруы кезінде бұл өзара байланыс нақты болады, ал аффиндік түрлендірулер кезінде вектордың компоненттері ковариантты және контравариантты түрлендірулер арасында араласады. Көптүрлілікте тензорлық өріс әдетте бірнеше жоғарғы және төменгі индекстерге ие болады, мұнда Эйнштейн нотациясы кеңінен қолданылады. Егер көптүрлілік метрикамен жабдықталған болса, ковариантты және контравариантты индекстер бір-бірімен тығыз байланысты болады. Контравариантты индекстерді метрикалық тензормен жиыру арқылы ковариантты индекстерге айналдыруға болады, ал керісінше – метрикалық тензордың (матрица) керісімен жиыру арқылы. Егер кеңістік метрикалық тензормен жабдықталмаса, мұндай байланыс болмайды. Сонымен қатар, абстрактілі тұрғыдан алғанда, тензор жай ғана «бар» және оның екі түріндегі компоненттері – таңдалған координаттарға байланысты мәндері болатын есептеу артефакттары ғана. Геометриялық тұрғыдан қарағанда, жалпы тензорда контравариантты және ковариантты индекстер болады, өйткені оның бөліктері тангенциалдық және котангенциалдық жиынтықта орналасқан. Контравариантты вектор – бұл , координаталары уақыттың дұрыс сәтінде бөлшектің координаталары болатын , ал ковариантты вектор – бұл , мұнда скалярлық өріс.

The distinction between covariance and contravariance is particularly important for computations with tensors, which often have mixed variance. This means that they have both covariant and contravariant components, or both vector and covector components. The valence of a tensor is the number of variant and covariant terms, and in Einstein notation, covariant components have lower indices, while contravariant components have upper indices. The duality between covariance and contravariance intervenes whenever a vector or tensor quantity is represented by its components, although modern differential geometry uses more sophisticated index free methods to represent tensors. In tensor analysis, a covariant vector varies more or less reciprocally to a corresponding contravariant vector. Expressions for lengths, areas and volumes of objects in the vector space can then be given in terms of tensors with covariant and contravariant indices. Under simple expansions and contractions of the coordinates, the reciprocity is exact; under affine transformations the components of a vector intermingle on going between covariant and contravariant expression. On a manifold, a tensor field will typically have multiple, upper and lower indices, where Einstein notation is widely used. When the manifold is equipped with a metric, covariant and contravariant indices become very closely related to one another. Contravariant indices can be turned into covariant indices by contracting with the metric tensor. The reverse is possible by contracting with the (matrix) inverse of the metric tensor. Note that in general, no such relation exists in spaces not endowed with a metric tensor. Furthermore, from a more abstract standpoint, a tensor is simply "there" and its components of either kind are only calculational artifacts whose values depend on the chosen coordinates. The explanation in geometric terms is that a general tensor will have contravariant indices as well as covariant indices, because it has parts that live in the tangent bundle as well as the cotangent bundle. A contravariant vector is one which transforms like , where are the coordinates of a particle at its proper time A covariant vector is one which transforms like , where is a scalar field.

Алгебра және геометрия

Категориялар теориясында ковариантты функторлар мен контравариантты функторлар бар. Дуаль кеңістікті векторлық кеңістікке бейнелеу – контравариантты функтордың стандартты мысалы. Контравариантты (сәйкесінше ковариантты) векторлар – торсордан фундаменталь өкілдікке дейінгі контравариантты (сәйкесінше ковариантты) функторлар. Сол сияқты, жоғары дәрежелі тензорлар – өкілдіктердің басқа түрлеріндегі мәндері бар функторлар. Дегенмен, көп сызықты алгебраның кейбір құралымдары "аралас" дисперсиялы, бұл олардың функторлар болуына кедергі келтіреді. Дифференциалдық геометрияда, вектордың компоненттері жанама шоғырдың негізіне қатысты болса, егер олар негіздің өзгеруімен бірдей сызықтық түрлендіру арқылы өзгерсе, олар ковариантты болып табылады. Егер олар кері түрлендіру арқылы өзгерсе, олар контравариантты болып табылады. Бұл кейде екі түрлі, бірақ байланысты себептермен шатасу тудырады. Біріншісі – компоненттері ковариантты векторлар (ковекторлар немесе 1-формалар деп аталады) тегіс функциялар астында кері тартылады, яғни ковекторлар кеңістігін тегіс манифольдқа бейнелеу операциясы шын мәнінде контравариантты функтор болып табылады. Сол сияқты, компоненттері контравариантты векторлар тегіс бейнелеу кезінде алға жылжытады, сондықтан (контравариантты) векторлар кеңістігін тегіс манифольдқа бейнелеу операциясы ковариантты функтор болып табылады. Екіншіден, дифференциалдық геометрияға классикалық көзқарас бойынша, тангенс шоғырының негіздері ең бастапқы нысан емес, керісінше координаттар жүйесіндегі өзгерістер. Контравариантты компоненттері бар векторлар координаталардағы өзгерістермен бірдей түрленеді (өйткені олар негіздің туындаған өзгеруіне қарама-қарсы өзгеріске ұшырайды). Сол сияқты, ковариантты компоненттері бар векторлар координаталар өзгерген кезде кері бағытта түрленеді.