Поведение векторов при смене координат

Введение

Векторное поведение при изменении систем координат

В физике, особенно в многолинейной алгебре и тензорном анализе, ковариантность и контравариантность описывают, как количественное описание определенных геометрических или физических величин изменяется при смене базиса. Вкратце, контравариантный вектор – это список чисел, преобразующихся противоположно изменению базиса, а ковариантный вектор – список чисел, преобразующихся тем же образом. Контравариантные векторы часто называют просто векторами, а ковариантные векторы – ковекторами или дуальными векторами. Термины «ковариантный» и «контравариантный» были введены Джеймсом Джозефом Сильвестером в 1851 году. Криволинейные системы координат, такие как цилиндрические или сферические координаты, часто используются в физических и геометрических задачах. С каждой системой координат связан естественный выбор координатного базиса для векторов, заданных в каждой точке пространства, и ковариантность и контравариантность особенно важны для понимания того, как координатное описание вектора изменяется при переходе от одной системы координат к другой. Тензоры – это объекты в многолинейной алгебре, которые могут обладать свойствами как ковариантности, так и контравариантности.

Введение

В физике вектор обычно возникает как результат измерения или серии измерений и представляется в виде списка (или кортежа) чисел, таких как

Числа в списке зависят от выбора системы координат. Например, если вектор представляет положение относительно наблюдателя (вектор положения), то система координат может быть получена из системы жестких стержней или осей отсчета, вдоль которых измеряются компоненты v1, v2 и v3. Чтобы вектор представлял геометрический объект, необходимо иметь возможность описать его вид в любой другой системе координат. То есть компоненты векторов будут преобразовываться определенным образом при переходе из одной системы координат в другую. Простой иллюстративный случай – это евклидов вектор. Для вектора, как только набор базисных векторов определен, компоненты этого вектора всегда будут изменяться противоположно изменению базисных векторов. Следовательно, такой вектор определяется как контравариантный тензор. Возьмем, к примеру, стандартный вектор положения. Изменяя масштаб осей отсчета с метров на сантиметры (то есть, деля масштаб осей отсчета на 100, так что базисные векторы теперь имеют длину в метрах), компоненты измеренного вектора положения умножаются на 100. Компоненты вектора изменяют масштаб обратно пропорционально изменениям масштаба осей отсчета, и, следовательно, вектор называется контравариантным тензором. Вектор, являющийся примером контравариантного тензора, имеет компоненты, которые преобразуются обратно преобразованию осей отсчета (примерами преобразований являются вращение и растяжение). Сам вектор не изменяется при этих операциях; вместо этого компоненты вектора изменяются таким образом, чтобы компенсировать изменение пространственных осей. Другими словами, если оси отсчета повернуты в одном направлении, компонентное представление вектора будет вращаться в точно противоположном направлении. Аналогично, если оси отсчета растянуты в одном направлении, компоненты вектора уменьшатся в точно компенсирующей манере. Математически, если система координат претерпевает преобразование, описываемое обратимой матрицей M, так что базисные векторы преобразуются согласно , то компоненты вектора v в исходном базисе ( ) должны быть аналогично преобразованы через . Компоненты вектора часто представляются в виде столбца. В отличие от этого, ковектор имеет компоненты, которые преобразуются как оси отсчета. Он существует в двойственном векторном пространстве и представляет собой линейное отображение из векторов в скаляры. Оператор скалярного произведения, включающий векторы, является хорошим примером ковектора. Для иллюстрации предположим, что у нас есть ковектор, определенный как , где – вектор. Компоненты этого ковектора в некоторой произвольной системе базиса равны , где – базисные векторы в соответствующем векторном пространстве. (Это можно вывести, заметив, что мы хотим получить правильный результат для операции скалярного произведения при умножении на произвольный вектор с компонентами ). Ковариантность этих компонент ковектора легко увидеть, заметив, что если преобразование, описываемое обратимой матрицей M, применяется к базисным векторам в соответствующем векторном пространстве, , то компоненты ковектора преобразуются с той же матрицей , а именно: . Компоненты ковектора часто представляются в виде строки. Третья концепция, связанная с ковариантностью и контравариантностью, – это инвариантность. Скаляр (также называемый тензором типа 0 или ранга 0) – это объект, который не изменяется при изменении базиса. Примером физической величины, являющейся скаляром, является масса частицы. Единственное скалярное значение массы не зависит от изменений базисных векторов и, следовательно, называется инвариантным. Величина вектора (например, расстояние) является еще одним примером инварианта, поскольку она остается фиксированной, даже если геометрические компоненты вектора изменяются. (Например, для вектора положения длиной в метрах, если все векторы декартовой системы координат изменены с метров в длину на метров в длину, длина вектора положения остается неизменной – в метрах, хотя компоненты вектора увеличатся в несколько раз). Скалярное произведение вектора и ковектора является инвариантным, поскольку у одного есть компоненты, которые изменяются при изменении базиса, а у другого – компоненты, которые изменяются противоположно, и эти два эффекта компенсируют друг друга. Таким образом, ковекторы являются дуальными к векторам. Итак, подводя итог:
Вектор или тангенциальный вектор имеет компоненты, которые контравариантно изменяются при изменении базиса для компенсации. То есть матрица, преобразующая компоненты вектора, должна быть обратной матрице, преобразующей базисные векторы. Компоненты векторов (в отличие от компонент ковекторов) называются контравариантными. В нотации Эйнштейна (неявное суммирование по повторяющимся индексам) контравариантные компоненты обозначаются верхними индексами, как в

The numbers in the list depend on the choice of coordinate system. For instance, if the vector represents position with respect to an observer (position vector), then the coordinate system may be obtained from a system of rigid rods, or reference axes, along which the components v1, v2, and v3 are measured. For a vector to represent a geometric object, it must be possible to describe how it looks in any other coordinate system. That is to say, the components of the vectors will transform in a certain way in passing from one coordinate system to another. A simple illustrative case is that of a Euclidean vector. For a vector, once a set of basis vectors has been defined, then the components of that vector will always vary opposite to that of the basis vectors. That vector is therefore defined as a contravariant tensor. Take a standard position vector for example. By changing the scale of the reference axes from meters to centimeters (that is, dividing the scale of the reference axes by 100, so that the basis vectors now are meters long), the components of the measured position vector are multiplied by 100. A vector's components change scale inversely to changes in scale to the reference axes, and consequently a vector is called a contravariant tensor. A vector, which is an example of a contravariant tensor, has components that transform inversely to the transformation of the reference axes, (with example transformations including rotation and dilation). The vector itself does not change under these operations; instead, the components of the vector change in a way that cancels the change in the spatial axes. In other words, if the reference axes were rotated in one direction, the component representation of the vector would rotate in exactly the opposite way. Similarly, if the reference axes were stretched in one direction, the components of the vector, would reduce in an exactly compensating way. Mathematically, if the coordinate system undergoes a transformation described by an invertible matrix M, so that the basis vectors transform according to , then the components of a vector v in the original basis ( ) must be similarly transformed via The components of a vector are often represented arranged in a column. By contrast, a covector has components that transform like the reference axes. It lives in the dual vector space, and represents a linear map from vectors to scalars. The dot product operator involving vectors is a good example of a covector. To illustrate, assume we have a covector defined as , where is a vector. The components of this covector in some arbitrary basis are , with being the basis vectors in the corresponding vector space. (This can be derived by noting that we want to get the correct answer for the dot product operation when multiplying by an arbitrary vector , with components ). The covariance of these covector components is then easily seen by noting that if a transformation described by an invertible matrix M were to be applied to the basis vectors in the corresponding vector space, , then the components of the covector will transform with the same matrix , namely, The components of a covector are often represented arranged in a row. A third concept related to covariance and contravariance is invariance. A scalar (also called type 0 or rank 0 tensor) is an object that does not vary with the change in basis. An example of a physical observable that is a scalar is the mass of a particle. The single, scalar value of mass is independent to changes in basis vectors and consequently is called invariant. The magnitude of a vector (such as distance) is another example of an invariant, because it remains fixed even if geometrical vector components vary. (For example, for a position vector of length meters, if all Cartesian basis vectors are changed from meters in length to meters in length, the length of the position vector remains unchanged at meters, although the vector components will all increase by a factor of ). The scalar product of a vector and a covector is invariant, because one has components that vary with the base change, and the other has components that vary oppositely, and the two effects cancel out. One thus says that covectors are dual to vectors. Thus, to summarize:
A vector or tangent vector, has components that contra vary with a change of basis to compensate. That is, the matrix that transforms the vector components must be the inverse of the matrix that transforms the basis vectors. The components of vectors (as opposed to those of covectors) are said to be contravariant. In Einstein notation (implicit summation over repeated index), contravariant components are denoted with upper indices as in

Ковектор или котангенциальный вектор имеет компоненты, которые ковариантно изменяются при изменении базиса в соответствующем (исходном) векторном пространстве. То есть компоненты должны преобразовываться той же матрицей, что и матрица изменения базиса в соответствующем (исходном) векторном пространстве. Компоненты ковекторов (в отличие от компонент векторов) называются ковариантными. В нотации Эйнштейна ковариантные компоненты обозначаются нижними индексами, как в

Скалярное произведение вектора и ковектора является скаляром , который является инвариантным. Это двойственное спаривание векторов и ковекторов.

Ковариантные и контравариантные компоненты вектора с метрикой

В конечномерном векторном пространстве V над полем K с симметричной двулинейной формой g: V × V → K (которую можно назвать метрическим тензором) существует небольшая разница между ковариантными и контравариантными векторами, поскольку двулинейная форма позволяет отождествлять ковекторы с векторами. То есть, вектор v однозначно определяет ковектор α посредством равенства:

g(v, w) = α(w) для всех векторов w. Обратно, каждый ковектор α однозначно определяет вектор v этим уравнением. Благодаря такому отождествлению векторов с ковекторами, можно говорить о ковариантных или контравариантных компонентах вектора, то есть они являются просто различными представлениями одного и того же вектора, использующими взаимный базис. Для заданного базиса f = (X1, ..., Xn) пространства V существует единственный взаимный базис f# = (Y1, ..., Yn) пространства V, определяемый условием:

g(Xi, Yj) = δij, где δij – символ Кронекера. В терминах этих базисов любой вектор v можно представить двумя способами:

Компоненты vi[f] являются контравариантными компонентами вектора v в базисе f, а компоненты vi[f#] – ковариантными компонентами v в базисе f. Такая терминология оправдана, поскольку при изменении базиса,

Евклидова плоскость

В евклидовой плоскости скалярное произведение позволяет отождествлять векторы с ковекторами. Если – базис, то двойственный базис удовлетворяет условию

Таким образом, векторы e1 и e2 перпендикулярны друг другу, как и e2 и e1, а их длины нормированы относительно e1 и e2 соответственно.

Неформальное использование

В области физики прилагательное ковариантное часто используется в неформальном контексте как синоним инвариантного. Например, уравнение Шрёдингера не сохраняет свой вид при преобразованиях координат в специальной теории относительности. Таким образом, физик может сказать, что уравнение Шрёдингера не является ковариантным. В отличие от этого, уравнение Клейна — Гордона и уравнение Дирака сохраняют свой вид при этих преобразованиях координат. Таким образом, физик может сказать, что эти уравнения ковариантны. Несмотря на такое употребление термина "ковариантный", более точно говорить, что уравнения Клейна — Гордона и Дирака являются инвариантными, а уравнение Шрёдингера — нет. Кроме того, для устранения неоднозначности следует указывать преобразование, относительно которого проверяется инвариантность. Поскольку компоненты векторов контравариантны, а компоненты ковекторов ковариантны, сами векторы часто называют контравариантными, а ковекторы — ковариантными.

Использование в тензорном анализе

Различие между ковариантностью и контравариантностью особенно важно при вычислениях с тензорами, которые часто имеют смешанную вариативность. Это означает, что они имеют как ковариантные, так и контравариантные компоненты, или как векторные, так и ковекторные компоненты. Валентность тензора – это число ковариантных и контравариантных индексов, а в обозначениях Эйнштейна ковариантные компоненты имеют нижние индексы, в то время как контравариантные компоненты – верхние. Двойственность между ковариантностью и контравариантностью проявляется всякий раз, когда векторная или тензорная величина представлена своими компонентами, хотя современная дифференциальная геометрия использует более сложные методы, не зависящие от индексов, для представления тензоров. В тензорном анализе ковариантный вектор изменяется более или менее обратно пропорционально соответствующему контравариантному вектору. Выражения для длин, площадей и объемов объектов в векторном пространстве могут быть выражены через тензоры с ковариантными и контравариантными индексами. При простых разложениях и сжатиях координат обратная пропорциональность точна; при аффинных преобразованиях компоненты вектора смешиваются при переходе между ковариантным и контравариантным представлениями. На многообразии тензорное поле обычно имеет несколько верхних и нижних индексов, где широко используется обозначение Эйнштейна. Когда многообразие снабжено метрикой, ковариантные и контравариантные индексы становятся тесно связанными друг с другом. Контравариантные индексы можно преобразовать в ковариантные, сжимая их с метрическим тензором. Обратное преобразование возможно с помощью сжатия с (матричной) обратной матрицей метрического тензора. Следует отметить, что в общем случае подобная связь отсутствует в пространствах, не наделенных метрическим тензором. Более того, с абстрактной точки зрения, тензор просто "существует", а его компоненты любого типа – лишь вычислительные артефакты, значения которых зависят от выбранной системы координат. Геометрическое объяснение заключается в том, что общий тензор имеет как контравариантные, так и ковариантные индексы, поскольку он содержит части, принадлежащие как касательному расслоению, так и кокасательному расслоению. Контравариантный вектор – это вектор, который преобразуется как , где – координаты частицы в ее собственном времени. Ковариантный вектор – это вектор, который преобразуется как , где – скалярное поле.

The distinction between covariance and contravariance is particularly important for computations with tensors, which often have mixed variance. This means that they have both covariant and contravariant components, or both vector and covector components. The valence of a tensor is the number of variant and covariant terms, and in Einstein notation, covariant components have lower indices, while contravariant components have upper indices. The duality between covariance and contravariance intervenes whenever a vector or tensor quantity is represented by its components, although modern differential geometry uses more sophisticated index free methods to represent tensors. In tensor analysis, a covariant vector varies more or less reciprocally to a corresponding contravariant vector. Expressions for lengths, areas and volumes of objects in the vector space can then be given in terms of tensors with covariant and contravariant indices. Under simple expansions and contractions of the coordinates, the reciprocity is exact; under affine transformations the components of a vector intermingle on going between covariant and contravariant expression. On a manifold, a tensor field will typically have multiple, upper and lower indices, where Einstein notation is widely used. When the manifold is equipped with a metric, covariant and contravariant indices become very closely related to one another. Contravariant indices can be turned into covariant indices by contracting with the metric tensor. The reverse is possible by contracting with the (matrix) inverse of the metric tensor. Note that in general, no such relation exists in spaces not endowed with a metric tensor. Furthermore, from a more abstract standpoint, a tensor is simply "there" and its components of either kind are only calculational artifacts whose values depend on the chosen coordinates. The explanation in geometric terms is that a general tensor will have contravariant indices as well as covariant indices, because it has parts that live in the tangent bundle as well as the cotangent bundle. A contravariant vector is one which transforms like , where are the coordinates of a particle at its proper time A covariant vector is one which transforms like , where is a scalar field.

Алгебра и геометрия

В теории категорий существуют ковариантные и контравариантные функторы. Присвоение двойственного пространства векторному пространству является стандартным примером контравариантного функтора. Контравариантные (соответственно, ковариантные) векторы являются контравариантными (соответственно, ковариантными) функторами из торсора в фундаментальное представление. Аналогично, тензоры более высокой степени являются функторами со значениями в других представлениях. Однако некоторые конструкции многолинейной алгебры имеют "смешанную" вариацию, что препятствует тому, чтобы они были функторами. В дифференциальной геометрии компоненты вектора относительно базиса касательного расслоения ковариантны, если они изменяются тем же линейным преобразованием, что и изменение базиса. Они контравариантны, если изменяются обратным преобразованием. Это иногда является источником путаницы по двум различным, но связанным причинам. Первая заключается в том, что векторы, компоненты которых ковариантны (называемые ковекторами или 1-формами), на самом деле оттягиваются обратным образом под гладкими функциями, что означает, что операция, присваивающая пространство ковекторов гладкому многообразию, на самом деле является контравариантным функтором. Аналогично, векторы, компоненты которых контравариантны, переносятся прямым образом под гладкими отображениями, поэтому операция, присваивающая пространство (контравариантных) векторов гладкому многообразию, является ковариантным функтором. Вторая заключается в том, что в классическом подходе к дифференциальной геометрии наиболее примитивным объектом являются не базисы касательного расслоения, а скорее изменения в системе координат. Векторы с контравариантными компонентами преобразуются так же, как и изменения в координатах (потому что они фактически изменяются противоположно индуцированному изменению базиса). Аналогично, векторы с ковариантными компонентами преобразуются в противоположном направлении при изменении координат.