Кіріспе
Барлық цифрлары бірдей жиілікте болатын сандар. Есептеуде қозғалатын нүкте мағынасы. Математикада нақты сан, егер оның цифрларының шексіз тізбегі біркелкі таратылған болса, онда оның әрбір цифрының табиғи тығыздығы 1/b-ға тең болады. Егер кез келген оң бүтін сан n үшін, n цифрынан тұратын барлық мүмкін тізбектердің тығыздығы b-n-ге тең болса, онда сан b негізінде нормал деп аталады. Интуитивті түрде, санның жай ғана нормал болуы дегеніміз, ешқандай цифр басқаларына қарағанда жиі кездеспейді. Егер сан нормал болса, онда берілген ұзындықтағы цифрлардың кез келген шекті комбинациясы сол ұзындықтағы кез келген басқа комбинациядан жиі кездеспейді. Нормал санды монетаның тасталысының (бинарлық) немесе ойыншық текшесінің лақтырылысының (6-лық негіз) шексіз тізбегі ретінде қарастыруға болады. Тіпті 10, 100 немесе одан да көп рет қатарынан түскен «құйрықтар» (бинарлық) немесе «бестіктер» (6-лық негіз) немесе тіпті 10, 100 немесе одан да көп рет қатарынан «құйрық-доңғалақ» (екі рет монетаны лақтыру) немесе «6 1» (екі рет ойыншық текшесін лақтыру) сияқты тізбектер болса да, бірдей ұзындықтағы кез келген басқа тізбек де сонша көп болады. Ешқандай цифр немесе тізбек «артықшылыққа» ие емес. Санды нормал деп атайды (кейде абсолютті нормал деп атайды), егер ол 2-ден үлкен немесе оған тең барлық бүтін негіздерде нормал болса. Жалпы дәлелдеу арқылы барлық нақты сандардың нормал екендігін көрсетуге болады (яғни, нормал емес сандар жиынының Лебег өлшемі нөлге тең), бірақ бұл дәлел конструктивті емес, және тек бірнеше нақты сандардың нормал екендігі дәлелденді. Мысалы, кез келген Чейтин тұрақтысы нормал (және есептеуге болмайтын). (Есептеуге болатын) сандар π, √2 және e нормал деп кеңінен саналады, бірақ дәлел табу қиын болып қалады.
the floating point meaning in computing
In mathematics, a real number is said to be simply normal in an integer base b if its infinite sequence of digits is distributed uniformly in the sense that each of the b digit values has the same natural density 1/b. A number is said to be normal in base b if, for every positive integer n, all possible strings n digits long have density b−n. Intuitively, a number being simply normal means that no digit occurs more frequently than any other. If a number is normal, no finite combination of digits of a given length occurs more frequently than any other combination of the same length. A normal number can be thought of as an infinite sequence of coin flips (binary) or rolls of a die (base 6). Even though there will be sequences such as 10, 100, or more consecutive tails (binary) or fives (base 6) or even 10, 100, or more repetitions of a sequence such as tail head (two consecutive coin flips) or 6 1 (two consecutive rolls of a die), there will also be equally many of any other sequence of equal length. No digit or sequence is "favored". A number is said to be normal (sometimes called absolutely normal) if it is normal in all integer bases greater than or equal to 2. While a general proof can be given that almost all real numbers are normal (meaning that the set of non normal numbers has Lebesgue measure zero), this proof is not constructive, and only a few specific numbers have been shown to be normal. For example, any Chaitin's constant is normal (and uncomputable). It is widely believed that the (computable) numbers , , and e are normal, but a proof remains elusive.
Анықтамалар
Болсын Σ – b цифрынан тұратын ақырлы алфавит, осы алфавиттен алынған барлық шексіз тізбектер жиыны және шекті тізбектер немесе жолдар жиыны. Болсын S – мұндай тізбек. Σ-дағы әр a үшін, S тізбегінің алғашқы n цифрында a цифрының қанша рет кездесетінін белгілейік. Егер S әр a үшін шекті болса, S жай ғана қалыпты деп айтамыз. Енді w кез келген шекті жол болсын және S тізбегінің алғашқы n цифрында w жолының қанша рет кішіжол ретінде кездесетінін белгілейік. S нормал, егер барлық шекті жолдар үшін , мұндағы – w жолының ұзындығын білдіреді. Басқаша айтқанда, S нормал, егер бірдей ұзындықтағы барлық жолдар бірдей асимптотикалық жиілікпен кездессе. Мысалы, қалыпты екілік тізбекте (алфавиті болған тізбек) әрқайсысы 1/2; , , , және әрқайсысы 1/4; , , , , және әрқайсысы 1/8; және т.б. жиілікпен кездеседі. Шамамен айтқанда, w жолын S-тің кез келген орнында табу ықтималдығы, егер тізбек кездейсоқ құрылған болса, күтілетіндей дәл болады. Енді b – 1-ден үлкен бүтін сан, ал x – нақты сан деп алайық. b негізіндегі x сандарының шексіз цифрлық тізбекті кеңейтуін қарастырайық (ондық нүктені ескермейміз). Егер жай ғана қалыпты болса, онда x – b негізінде жай ғана қалыпты, ал егер нормал болса, онда x – b негізінде нормал. Х саны нормал сан деп аталады (немесе кейде абсолютті нормал сан) егер ол 1-ден үлкен әр b бүтін саны үшін b негізінде нормал болса. Берілген шексіз тізбек қалыпты немесе қалыпты емес, ал әр бүтін сан үшін әр түрлі b негізіндегі кеңейтуі бар нақты сан бір негізде қалыпты болуы мүмкін, бірақ басқасында емес (бұл жағдайда ол нормал сан емес). Рационалды r және s негіздері үшін (солай және) r негізіндегі әр нормал сан s негізінде де нормал. Дизъюнктивті тізбек – әрбір шекті жолдың кездесетін тізбек. Нормал тізбек дизъюнктивті, бірақ дизъюнктивті тізбек міндетті түрде нормал болуы керек емес. b негізінде бай сан – оның b негізіндегі кеңейтуі дизъюнктивті: әрбір негізге дизъюнктивті санды абсолютті дизъюнктивті деп атайды немесе лексикон дейді. b негізіндегі нормал сан b негізінде бай, бірақ керісінше болуы міндетті емес. Нақты сан x, егер және тек егер жиын бірлік аралығында тығыз болса, онда b негізінде бай. Біз санды b негізінде жай ғана қалыпты деп анықтадық, егер әрбір жеке цифр белгілі бір жиілікпен кездессе. Берілген b негізінде сан жай ғана қалыпты (бірақ қалыпты немесе b тығыз емес), b тығыз (бірақ жай ғана қалыпты немесе қалыпты емес), қалыпты (және сондықтан жай ғана қалыпты және b тығыз) немесе олардың ешқайсысы болмауы мүмкін. Егер санның кез келген негізі қалыпты болмаса, ол мүлдем қалыпты емес немесе мүлдем аномал.
for each a. Now let w be any finite string in and let be the number of times the string w appears as a substring in the first n digits of the sequence S. (For instance, if , then .) S is normal if, for all finite strings ,
where denotes the length of the string w. In other words, S is normal if all strings of equal length occur with equal asymptotic frequency. For example, in a normal binary sequence (a sequence over the alphabet ), and each occur with frequency 1/2; , , , and each occur with frequency 1/4; , , , , , , , and each occur with frequency 1/8; etc. Roughly speaking, the probability of finding the string w in any given position in S is precisely that expected if the sequence had been produced at random. Suppose now that b is an integer greater than 1 and x is a real number. Consider the infinite digit sequence expansion of x in the base b positional number system (we ignore the decimal point). We say that x is simply normal in base b if the sequence is simply normal and that x is normal in base b if the sequence is normal. The number x is called a normal number (or sometimes an absolutely normal number) if it is normal in base b for every integer b greater than 1. A given infinite sequence is either normal or not normal, whereas a real number, having a different base b expansion for each integer , may be normal in one base but not in another (in which case it is not a normal number). For bases r and s with rational (so that and ) every number normal in base r is normal in base s. For bases r and s with irrational, there are uncountably many numbers normal in each base but not the other. A disjunctive sequence is a sequence in which every finite string appears. A normal sequence is disjunctive, but a disjunctive sequence need not be normal. A rich number in base b is one whose expansion in base b is disjunctive: one that is disjunctive to every base is called absolutely disjunctive or is said to be a lexicon. A number normal in base b is rich in base b, but not necessarily conversely. The real number x is rich in base b if and only if the set is dense in the unit interval. We defined a number to be simply normal in base b if each individual digit appears with frequency For a given base b, a number can be simply normal (but not normal or b dense,) b dense (but not simply normal or normal), normal (and thus simply normal and b dense), or none of these. A number is absolutely non normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
Қалыпты емес сандар
Рационалды сандардың цифр тізбегі ерте не кеш қайталанатындықтан, ешқандай рационалды сан ешбір сан жүйесінде қалыпты бола алмайды.