Введение
Число, в котором все цифры встречаются с одинаковой частотой, значение с плавающей точкой в вычислениях.
the floating point meaning in computing
В математике действительное число называется просто нормальным в целочисленном основании *b*, если его бесконечная последовательность цифр распределена равномерно в том смысле, что каждая из *b* возможных цифр имеет одинаковую естественную плотность 1/*b*. Число называется нормальным в основании *b*, если для каждого положительного целого числа *n* все возможные строки длиной *n* цифр имеют плотность *b*<sup>-*n*</sup>. Интуитивно, просто нормальное число означает, что ни одна цифра не встречается чаще, чем любая другая. Если число нормально, то ни одна конечная комбинация цифр заданной длины не встречается чаще, чем любая другая комбинация той же длины. Нормальное число можно представить как бесконечную последовательность подбрасываний монеты (в двоичной системе) или бросков кубика (в системе с основанием 6). Даже если будут встречаться последовательности, такие как 10, 100 или более последовательных "орлов" (в двоичной системе) или "пятерок" (в системе с основанием 6), или даже 10, 100 или более повторений последовательности, такой как "орел-решка" (два последовательных подбрасывания монеты) или "6 1" (два последовательных броска кубика), будет также столько же любых других последовательностей той же длины. Ни одна цифра или последовательность не является "привилегированной". Число называется нормальным (иногда абсолютно нормальным), если оно нормально во всех целочисленных основаниях, больших или равных 2. Хотя можно доказать, что почти все действительные числа нормальны (то есть множество ненормальных чисел имеет меру Лебега, равную нулю), это доказательство не является конструктивным, и лишь для нескольких конкретных чисел было показано, что они нормальны. Например, любая константа Чайтина нормальна (и невычислима). Широко распространено мнение, что (вычислимые) числа π, √2 и *e* нормальны, но доказательство остается неуловимым.
Определения
Пусть Σ – конечный алфавит из b символов, множество всех бесконечных последовательностей, которые могут быть образованы из этого алфавита, и множество конечных последовательностей, или строк. Пусть S – такая последовательность. Для каждого a из Σ обозначим через количество раз, когда символ a появляется в первых n символах последовательности S. Говорим, что S просто нормальна, если предел
for each a. Now let w be any finite string in and let be the number of times the string w appears as a substring in the first n digits of the sequence S. (For instance, if , then .) S is normal if, for all finite strings ,
where denotes the length of the string w. In other words, S is normal if all strings of equal length occur with equal asymptotic frequency. For example, in a normal binary sequence (a sequence over the alphabet ), and each occur with frequency 1/2; , , , and each occur with frequency 1/4; , , , , , , , and each occur with frequency 1/8; etc. Roughly speaking, the probability of finding the string w in any given position in S is precisely that expected if the sequence had been produced at random. Suppose now that b is an integer greater than 1 and x is a real number. Consider the infinite digit sequence expansion of x in the base b positional number system (we ignore the decimal point). We say that x is simply normal in base b if the sequence is simply normal and that x is normal in base b if the sequence is normal. The number x is called a normal number (or sometimes an absolutely normal number) if it is normal in base b for every integer b greater than 1. A given infinite sequence is either normal or not normal, whereas a real number, having a different base b expansion for each integer , may be normal in one base but not in another (in which case it is not a normal number). For bases r and s with rational (so that and ) every number normal in base r is normal in base s. For bases r and s with irrational, there are uncountably many numbers normal in each base but not the other. A disjunctive sequence is a sequence in which every finite string appears. A normal sequence is disjunctive, but a disjunctive sequence need not be normal. A rich number in base b is one whose expansion in base b is disjunctive: one that is disjunctive to every base is called absolutely disjunctive or is said to be a lexicon. A number normal in base b is rich in base b, but not necessarily conversely. The real number x is rich in base b if and only if the set is dense in the unit interval. We defined a number to be simply normal in base b if each individual digit appears with frequency For a given base b, a number can be simply normal (but not normal or b dense,) b dense (but not simply normal or normal), normal (and thus simply normal and b dense), or none of these. A number is absolutely non normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
существует и равен для каждого a. Теперь пусть w – любая конечная строка из и пусть – количество раз, когда строка w появляется как подстрока в первых n символах последовательности S. (Например, если , то .) S нормальна, если для всех конечных строк , где обозначает длину строки w. Иными словами, S нормальна, если все строки одинаковой длины встречаются с одинаковой асимптотической частотой. Например, в нормальной двоичной последовательности (последовательности над алфавитом ), и каждый символ встречается с частотой 1/2; , , , и каждый – с частотой 1/4; , , , , , и каждый – с частотой 1/8; и так далее. Грубо говоря, вероятность найти строку w в любом заданном положении в S точно такая же, как ожидается, если последовательность была получена случайным образом. Предположим, что b – целое число больше 1, а x – действительное число. Рассмотрим бесконечное разложение x в позиционной системе счисления по основанию b (десятичную точку мы игнорируем). Говорим, что x просто нормальна в основании b, если последовательность просто нормальна, и что x нормальна в основании b, если последовательность нормальна. Число x называется нормальным числом (или иногда абсолютно нормальным числом), если оно нормально в основании b для каждого целого числа b больше 1. Данная бесконечная последовательность либо нормальна, либо не нормальна, в то время как действительное число, имеющее различное разложение по основанию b для каждого целого числа, может быть нормальным в одном основании, но не в другом (в этом случае это не нормальное число). Для оснований r и s, где рационально (так что и ), каждое нормальное число в основании r нормально в основании s. Для оснований r и s, где иррационально, существует несчетное множество нормальных чисел в каждом основании, но не в другом. Дизъюнктивная последовательность – это последовательность, в которой появляется каждая конечная строка. Нормальная последовательность является дизъюнктивной, но дизъюнктивная последовательность не обязательно должна быть нормальной. Богатое число в основании b – это число, разложение которого в основании b является дизъюнктивным: число, которое дизъюнктивно для каждого основания, называется абсолютно дизъюнктивным или лексиконом. Число, нормальное в основании b, богато в основании b, но не обязательно наоборот. Действительное число x богато основанием b, если и только если множество плотно в единичном интервале. Мы определили число как просто нормальное в основании b, если каждая отдельная цифра появляется с частотой . Для данного основания b, число может быть просто нормальным (но не нормальным или b-плотным), b-плотным (но не просто нормальным или нормальным), нормальным (и, следовательно, просто нормальным и b-плотным), или ни одним из этих свойств не обладать. Число является абсолютно ненормальным, если оно не является просто нормальным ни в каком основании.
for each a. Now let w be any finite string in and let be the number of times the string w appears as a substring in the first n digits of the sequence S. (For instance, if , then .) S is normal if, for all finite strings ,
where denotes the length of the string w. In other words, S is normal if all strings of equal length occur with equal asymptotic frequency. For example, in a normal binary sequence (a sequence over the alphabet ), and each occur with frequency 1/2; , , , and each occur with frequency 1/4; , , , , , , , and each occur with frequency 1/8; etc. Roughly speaking, the probability of finding the string w in any given position in S is precisely that expected if the sequence had been produced at random. Suppose now that b is an integer greater than 1 and x is a real number. Consider the infinite digit sequence expansion of x in the base b positional number system (we ignore the decimal point). We say that x is simply normal in base b if the sequence is simply normal and that x is normal in base b if the sequence is normal. The number x is called a normal number (or sometimes an absolutely normal number) if it is normal in base b for every integer b greater than 1. A given infinite sequence is either normal or not normal, whereas a real number, having a different base b expansion for each integer , may be normal in one base but not in another (in which case it is not a normal number). For bases r and s with rational (so that and ) every number normal in base r is normal in base s. For bases r and s with irrational, there are uncountably many numbers normal in each base but not the other. A disjunctive sequence is a sequence in which every finite string appears. A normal sequence is disjunctive, but a disjunctive sequence need not be normal. A rich number in base b is one whose expansion in base b is disjunctive: one that is disjunctive to every base is called absolutely disjunctive or is said to be a lexicon. A number normal in base b is rich in base b, but not necessarily conversely. The real number x is rich in base b if and only if the set is dense in the unit interval. We defined a number to be simply normal in base b if each individual digit appears with frequency For a given base b, a number can be simply normal (but not normal or b dense,) b dense (but not simply normal or normal), normal (and thus simply normal and b dense), or none of these. A number is absolutely non normal or absolutely abnormal if it is not simply normal in any base.
Необычные числа
Ни одно рациональное число не является нормальным ни в одной системе счисления, так как последовательности цифр рациональных чисел в конечном итоге становятся периодическими.