Кіріспе

Евклид кеңістігінде айналусыз жазықтық қозғалысы. Евклид геометриясында трансляция – фигураның, пішіннің немесе кеңістіктің әрбір нүктесін белгілі бір бағытта бірдей қашықтыққа жылжытатын геометриялық түрлендіру. Трансляцияны әрбір нүктеге тұрақты вектор қосу ретінде немесе координаттар жүйесінің бастапқы нүктесін жылжыту ретінде де қарастыруға болады. Евклид кеңістігінде кез келген трансляция – изометрия болып табылады.

Функция ретінде

Егер – тұрақты вектор болса, ол аударма векторы деп аталады, ал – қандай да бір объектінің бастапқы орны болса, онда аударма функциясы келесідей жұмыс істейді. Егер – аударма болса, онда функция астындағы жиынның бейнесі – вектормен аудармасы болады. -тың -мен аудармасы деп белгіленеді.

Оператор ретінде

Аударма операторы бастапқы позициядағы функцияны , соңғы позициядағы функцияға түрлендіреді. Басқаша айтқанда, ол функциядан абстрактірек, себебі ол екі функция арасындағы қатынасты анықтайды, ал негізгі векторлардың өзін емес. Аударма операторы түрлі функцияларға әсер ете алады, мысалы, кванттық механика саласында зерттелетін толқындық функцияға әсер еткен кезде.

Топ ретінде

Барлық аудармалардың жиыны аударма тобын құрайды, ол кеңістіктің өзіне изоморфты және Евклид тобының нормальді кіші тобы. Аударма тобының бөліндік тобы белгілі бір бастапқы нүктені бекітетін қатаң қозғалыстар тобына изоморфты, яғни ортогоналды топқа:

Аударма коммутативті болғандықтан, аударма тобы абельдік болып табылады. Мүмкін аудармалардың саны шексіз, сондықтан аударма тобы шексіз топ. Релятивистік теорияда, кеңістік пен уақытты біртұтас кеңістік-уақыт ретінде қарастыруға байланысты, аудармалар уақыт координатасының өзгеруін де білдіре алады. Мысалы, Галилей тобы және Пуанкаре тобы уақыт бойынша аудармаларды қамтиды.

Жатыр топтары

Үш өлшемді аударма тобының бір түрі – торлы топтар. Бұл топтар шексіз, бірақ аударма топтарынан өзгеше, олар шекті түрде жасалады. Яғни, шекті генерациялық жиын бүкіл топты тудырады.

Оқса аудару

Геометриялық аударма көбінесе геометриялық нысанның орнын өзгертетін белсенді процесс ретінде қарастырылса, ұқсас нәтижеге координаттар жүйесін өзі жылжыту арқылы, бірақ нысанды өзгеріссіз қалдыру арқылы қол жеткізуге болады. Активті геометриялық аударманың пассивті түрі – осьтерді жылжыту деп аталады.

Трансляциялық симметрия

Аударма алдында және аудармадан кейін өзінің түрін өзгертпеген объектінің аудармалық симметриясы бар делінеді. Көп кездесетін мысал – периодты функция, ол аударма операторының өзіндік функциясы болып табылады.

Графиктің аудармалары

Нақты функцияның графигі, (x, f(x)) нүктелер жиынтығы, көбінесе x горизонталь координата және y = f(x) тік координата ретінде нақты координаттық жазықтықта бейнеленеді. f графигінен бастап, көлденең жылжу дегеніміз f функциясын x ↦ x – a функциясымен құрастыру, мұнда a – тұрақты сан, нәтижесінде (x, f(x – a)) нүктелерінен тұратын график пайда болады. Алғашқы графиктің әрбір (x, y) нүктесі жаңа графиктегі (x + a, y) нүктесіне сәйкес келеді, бұл бейнелік тұрғыдан көлденең ығысуға әкеледі. Тік жылжу дегеніміз y ↦ y + b функциясын f функциясымен құрастыру, мұнда b – тұрақты сан, нәтижесінде (x, f(x) + b) нүктелерінен тұратын график пайда болады. Алғашқы графиктің әрбір (x, y) нүктесі жаңа графиктегі (x, y + b) нүктесіне сәйкес келеді, бұл бейнелік тұрғыдан тік ығысуға әкеледі. Мысалы, y = x² квадраттық функциясын қарастырайық, оның графигі (0, 0) төбесі бар парабола болып табылады. 5 бірлік оңға жылжу жаңа функция y = (x – 5)² = x² – 10x + 25 болады, оның төбесінің координаттары (5, 0) болады. 3 бірлік жоғары жылжу жаңа функция y = x² + 3 болады, оның төбесінің координаттары (0, 3) болады. Функцияның туындысыздығы (антидеривативтері) бірінен-бірі интеграция тұрақтысымен ғана ерекшеленеді, сондықтан олар бір-бірінің тік жылжулары болып табылады.