Введение

Плоское движение в евклидовом пространстве без вращения.

В евклидовой геометрии, сдвиг — это геометрическое преобразование, перемещающее каждую точку фигуры, формы или пространства на одно и то же расстояние в заданном направлении. Сдвиг также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как смещение начала координат. В евклидовом пространстве любой сдвиг является изометрией.

Как функция

Если **v** — фиксированный вектор, известный как вектор сдвига, а **x** — начальное положение некоторого объекта, то функция сдвига **T(x) = x + v** будет работать следующим образом. Если **T** — сдвиг, то образ подмножества **A** под функцией **T** является сдвигом **A** на вектор **v**. Сдвиг **A** на вектор **v** часто записывается как **A + v**.

Как оператор

Оператор переноса преобразует функцию от исходной позиции, , в функцию от конечной позиции, . Иными словами, определяется так, что . Этот оператор более абстрактен, чем функция, поскольку он устанавливает связь между двумя функциями, а не между самими векторами. Оператор переноса может действовать на различные типы функций, например, когда он действует на волновую функцию, что изучается в квантовой механике.

В группе

Множество всех сдвигов образует группу сдвигов, которая изоморфна самому пространству и является нормальной подгруппой евклидовой группы. Факторгруппа по группе сдвигов изоморфна группе жестких движений, фиксирующих определенную точку начала координат, – ортогональной группе. Поскольку сдвиг коммутативен, группа сдвигов является абелевой. Существует бесконечное число возможных сдвигов, поэтому группа сдвигов – бесконечная группа. В теории относительности, в связи с рассмотрением пространства и времени как единого пространства-времени, сдвиги могут также относиться к изменениям временной координаты. Например, группа Галилея и группа Пуанкаре включают сдвиги по времени.

Группы решетки

Одним из видов подгрупп трехмерной группы трансляций являются решетчатые группы, которые являются бесконечными группами, но, в отличие от групп трансляций, конечно порождены. То есть, существует конечный порождающий набор, который порождает всю группу.

Перевод осей

В то время как геометрический сдвиг часто рассматривается как активный процесс, изменяющий положение геометрического объекта, аналогичный результат можно получить с помощью пассивного преобразования, которое перемещает систему координат, оставляя объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического сдвига известна как преобразование начала координат.

Трансляционная симметрия

Объект, который выглядит одинаково до и после сдвига, обладает трансляционной симметрией. Типичным примером является периодическая функция, которая является собственным вектором оператора сдвига.

Переводы графика

График вещественной функции f, множество точек (x, f(x)), часто изображается в вещественной координатной плоскости, где x – горизонтальная координата, а y = f(x) – вертикальная координата. Начиная с графика f, горизонтальное сдвиг означает композицию f с функцией x ↦ x – a, где a – некоторая постоянная, в результате чего получается график, состоящий из точек (x, f(x – a)). Каждая точка (x, y) исходного графика соответствует точке (x + a, y) на новом графике, что наглядно представляет собой горизонтальное смещение. Вертикальный сдвиг означает композицию функции y ↦ y + b с f, где b – некоторая постоянная, в результате чего получается график, состоящий из точек (x, f(x) + b). Каждая точка (x, y) исходного графика соответствует точке (x, y + b) на новом графике, что наглядно представляет собой вертикальное смещение. Например, если взять квадратичную функцию y = x², график которой является параболой с вершиной в точке (0, 0), то горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо даст новую функцию y = (x – 5)² = x² – 10x + 25, вершина которой имеет координаты (5, 0). Вертикальный сдвиг на 3 единицы вверх даст новую функцию y = x² + 3, вершина которой имеет координаты (0, 3). Антипроизводные функции отличаются друг от друга только на константу интегрирования и, следовательно, являются вертикальными сдвигами друг друга.