Джордж Пикок: Англиялық математик және дін қызметкері

Кіріспе

Ағылшын математигі және англикан дін қызметкері (1791–1858)

Джордж Пикок FRS (9 сәуір 1791 – 8 қараша 1858) – ағылшын математигі және англикан дін қызметкері. Ол логиканың британдық алгебрасы деп аталатын бағытты қалыптастырды.

Ерте өмір

Пикок 1791 жылғы 9 сәуірде Дарлингтон, Дурхам графтығының жанындағы Дентон қаласындағы Торнтон Холлде дүниеге келді. Оның әкесі Томас Пикок Англия шіркеуінің дін қызметкері, 50 жыл бойы Дентон приходының иесі және сол жерде 50 жыл бойы мектеп ұстаған. Пикок бала кезінде ерекше дарындылық танытпады, оқуға деген артық құштарлығынан гөрі, қауіпті биікке көтерілудегі батылдығымен көзге түсті. Алғашқыда ол әкесінен, содан кейін Седберг мектебінде білім алды, 17 жасында Кембридж университетінің түлегі Джеймс Тейттің басшылығымен Ричмонд мектебіне жіберілді. Бұл мектепте ол классика және Кембриджге қабылдану үшін қажетті қарапайым математика пәндерінде өте жақсы білімдерін көрсетті. 1809 жылы ол Кембридждегі Тринити колледжінің студенті болды. 1812 жылы Пикок екінші ренглер атағын және екінші Смит сыйлығын алды, ал аға ренглер Джон Гершель болды. Екі жылдан кейін ол колледжінде стипендияға үміткер болып, бірден жеңіп алды, бұл оның классикалық әдебиеттерді кең және дәл білуінің арқасында болды. Стипендия сол кезде жылына 200 фунт стерлингке тең болатын, егер стипендиат үйленбесе жеті жылға дейін сақталатын, ал стипендиат дін қызметкерінің қызметін атқаратын болса, жеті жылдан кейін ұзартуға болады, және Пикок 1819 жылы осы шартты орындады.

Математикалық мансап

Бір жылдық стипендияны алғаннан кейін Пикок өзінің колледжінің оқытушысы және лекторы болып тағайындалды, және ол көп жылдар бойы осы лауазымды сақтап қалды. Пикок, оның сияқты білімі жоғары басқа көптеген студенттермен бірге, Кембриджтің жағдайын реформалау қажеттігіне терең ойланып, есептеуде дифференциалдық белгілерді пайдаланбауын сынға алды. Әлі студент кезінде Бэббидж бен Гершельмен бірігіп, осы мақсатқа жету үшін шаралар қабылдады. 1815 жылы олар «Аналитикалық қоғам» деп аталатын ұйым құрды, оның мақсаты университеттегі нүктелік белгілерге қарсы континенттік стильдегі дифференциалдық белгілерді қолдау еді. Аналитикалық қоғамның алғашқы қадамы – Лакруаның дифференциалдық және интегралдық есептеулер жөніндегі кішігірім еңбегін француз тілінен аудару болды, ол 1816 жылы жарияланды. Ол кезде француз тілінде математика бойынша ең жақсы оқулықтар мен маңызды еңбектер болды. Пикок аударманы Дифференциалдық және интегралдық есептеуді қолдану мысалдарының кең жинағын қамтитын кітаппен толықтырды, ол 1820 жылы жарияланды. Екі кітап та жылдам сатылып, қоғамның мақсатына үлкен үлес қосты. Сол кездегі жылдың үздік студенттері үш-төрт жылдан кейін математикалық трипостың емтиханшылары болып тағайындалатын. Пикок 1817 жылы емтиханшы болып тағайындалды және ол реформаның ісін ілгерілету үшін осы лауазымды тиімді құрал ретінде пайдаланды. Ол емтиханға қойған сұрақтарында дифференциалдық белгілер Кембридж университетінде алғаш рет ресми түрде қолданылды. Бұл жаңалық сынға ұшырамады, бірақ ол достарына былай деп жазды: «Мен реформаның ісінде барынша күш жұмсайтыныма және оны ілгерілетуге мүмкіндік беретін кез келген лауазымды қабылдамайтыныма сендіремін. Мен 1818-1819 жылдары Модератор лауазымына тағайындалатыныма көз жеткіздім, және мен емтиханшы ретінде лауазымымды пайдалана отырып, келесі жылы бұрынғыдан да қатаң боламын, себебі адамдар өзгеріске дайын болды деп ойлаймын, содан кейін жақсартылған бастапқы кітаптардың жариялануы арқылы жақсы жүйеге ие бола алады. Мен лектор ретінде айтарлықтай ықпалым бар, мен оны пайдаланамын. Тек табандылықпен ғана біз көп басты әдепсіздікті жеңіп, университеттің жақсы білім мен ғылымның мейірімді анасы ретіндегі беделіне сай болуына үміттене аламыз». Осы сөздер Пикоктің мінезін көрсетеді: ол жақын реформатор болды және бірнеше жылдан кейін Аналитикалық қоғамның ісіне сәттілік келді. Пикок еңбек еткен тағы бір реформа – алгебраны оқыту еді. 1830 жылы ол «Алгебра туралы трактат» атты еңбегін жариялады, оның мақсаты алгебраны континенттік математиктердің жетістіктеріне сай келетін ғылыми негізге қою болды. Астрономиялық ғылымды дамыту үшін Лондонның Астрономиялық қоғамы құрылды, және үш реформатор Пикок, Бэббидж және Гершель осы істің бастамашылары болды. Пикок Кембридждегі астрономиялық обсерваторияны құруды ынтамен қолдады және Кембридждің Философиялық қоғамын құрушылардың бірі болды. 1831 жылы Британдық ғылымды дамыту қауымдастығы (Америкалық, Француз және Австралиялық қауымдастықтардың прототипі) өзінің алғашқы кездесуін ежелгі Йорк қаласында өткізді. Қабылданған алғашқы шешімдердің бірі – белгілі бір ғылымдардың жай-күйі мен дамуы туралы есептерді алу, оларды жыл сайынғы кездесулерге ақпарат беру үшін құзыретті адамдар дайындап отырады, ал тізімге бірінші болып математикалық ғылымның дамуы туралы есеп енгізілді. Математик және философ Уивелл кездесудің вице-президенті болды: оған репортерді таңдау тапсырылды. Ол алдымен Уильям Роуэн Гамильтоннан сұрады, ол бас тартты; содан кейін ол Пикоктан сұрады, ол қабылдады. Пикок өзінің баяндамасын Ассоциацияның үшінші кездесуіне дайындады, ол 1833 жылы Кембриджде өтті; алгебра, тригонометрия және синустық арифметикамен шектелгенімен, ол Ассоциация дайындаған және басып шығарған құнды баяндамалардың ұзақ сериясының ең жақсыларының бірі. 1837 жылы Пикок Кембридж университетінің астрономия профессоры болып тағайындалды, бұл орынды кейін Нептунды ашқан Адамс, содан кейін Шлюхтар теориясымен атақты Роберт Болл иеленді. Университеттің жарғысын реформалау да мақсаттарының бірі болды; ол мұнда көп жұмыс істеді және Үкімет тағайындаған комиссияның мүшесі болды. 1818 жылдың қаңтарында Корольдік қоғамның мүшесі болып сайланды. 1842 жылы Пикок Америка философиялық қоғамының мүшесі болып сайланды.

The year after taking a Fellowship, Peacock was appointed a tutor and lecturer of his college, which position he continued to hold for many years. Peacock, in common with many other students of his own standing, was profoundly impressed with the need of reforming Cambridge's position ignoring the differential notation for calculus, and while still an undergraduate formed a league with Babbage and Herschel to adopt measures to bring it about. In 1815 they formed what they called the Analytical Society, the object of which was stated to be to advocate the d 'ism of the Continent versus the dot age of the university. The first movement on the part of the Analytical Society was to translate from the French the smaller work of Lacroix on the differential and integral calculus; it was published in 1816. At that time the French language had the best manuals, as well as the greatest works on mathematics. Peacock followed up the translation with a volume containing a copious Collection of Examples of the Application of the Differential and Integral Calculus, which was published in 1820. The sale of both books was rapid, and contributed materially to further the object of the Society. In that time, high wranglers of one year became the examiners of the mathematical tripos three or four years afterwards. Peacock was appointed an examiner in 1817, and he did not fail to make use of the position as a powerful lever to advance the cause of reform. In his questions set for the examination the differential notation was for the first time officially employed in Cambridge. The innovation did not escape censure, but he wrote to a friend as follows: "I assure you that I shall never cease to exert myself to the utmost in the cause of reform, and that I will never decline any office which may increase my power to effect it. I am nearly certain of being nominated to the office of Moderator in the year 1818 1819, and as I am an examiner in virtue of my office, for the next year I shall pursue a course even more decided than hitherto, since I shall feel that men have been prepared for the change, and will then be enabled to have acquired a better system by the publication of improved elementary books. I have considerable influence as a lecturer, and I will not neglect it. It is by silent perseverance only, that we can hope to reduce the many headed monster of prejudice and make the University answer her character as the loving mother of good learning and science." These few sentences give an insight into the character of Peacock: he was an ardent reformer and a few years brought success to the cause of the Analytical Society. Another reform at which Peacock labored was the teaching of algebra. In 1830 he published A Treatise on Algebra which had for its object the placing of algebra on a true scientific basis, adequate for the development which it had received at the hands of the Continental mathematicians. To elevate astronomical science the Astronomical Society of London was founded, and the three reformers Peacock, Babbage and Herschel were again prime movers in the undertaking. Peacock was one of the most zealous promoters of an astronomical observatory at Cambridge, and one of the founders of the Philosophical Society of Cambridge. In 1831 the British Association for the Advancement of Science (prototype of the American, French and Australasian Associations) held its first meeting in the ancient city of York. One of the first resolutions adopted was to procure reports on the state and progress of particular sciences, to be drawn up from time to time by competent persons for the information of the annual meetings, and the first to be placed on the list was a report on the progress of mathematical science. Whewell, the mathematician and philosopher, was a vice president of the meeting: he was instructed to select the reporter. He first asked William Rowan Hamilton, who declined; he then asked Peacock, who accepted. Peacock had his report ready for the third meeting of the Association, which was held in Cambridge in 1833; although limited to Algebra, Trigonometry, and the Arithmetic of Sines, it is one of the best of the long series of valuable reports which have been prepared for and printed by the Association. In 1837 Peacock was appointed Lowndean Professor of Astronomy in the University of Cambridge, the chair afterwards occupied by Adams, the co discoverer of Neptune, and later occupied by Robert Ball, celebrated for his Theory of Screws. An object of reform was the statutes of the university; he worked hard at it and was made a member of a commission appointed by the Government for the purpose. He was elected a Fellow of the Royal Society in January 1818. In 1842, Peacock was elected as a member of the American Philosophical Society.

Қызмет жолы

1819 жылы диакен болып қабылданды, 1822 жылы священник болып қабылданды және 1826 жылы Лестерширдегі Уаймсвольд приходының викарийі болып тағайындалды (1835 жылға дейін). 1839 жылы Кембриджширдегі Эли соборының деканы болып тағайындалды, бұл қызметін өмірінің соңына дейін, шамамен 20 жыл атқарды. Архитектор Джордж Гилберт Скоттпен бірге собор ғимаратын толық қайта жаңарту жұмысын жүргізді. Бұл жұмысқа ағашпен қапталған төбе орнату да кірді. Осы қызметте жүргенде алгебра бойынша оқулық жазды, «Алгебра туралы еңбек» (1830). Кейіннен екінші басылымы екі томдық болып шықты, бірі «Арифметикалық алгебра» (1842) деп, ал екіншісі «Символдық алгебра және оның орналасу геометриясына қолданылуы» (1845) деп аталды.

Символикалық алгебра

Пикоктің математикалық талдауға жасаған негізгі үлесі – алгебраны қатаң логикалық негізге қоюға жасаған әрекеті. Ол логиканың британдық алгебрасы деп аталатын іргелі қағиданы құрды, оған Грегори, Де Морган және Буль жатты. Пикок Мазерес пен Френдке берген жауабында алгебра ғылымы екі бөлімнен тұратынын – арифметикалық алгебрадан және символдық алгебрадан айтты, ал олар ғылымды арифметикалық бөлімімен шектеуде қателік жасады. Оның арифметикалық алгебраға қатысты көзқарасы былай: «Арифметикалық алгебрада символдарды сандарды білдіретін деп қарастырамыз, ал оларға қолданылатын амалдар да ортақ арифметикадағыдай бірдей анықтамалармен сипатталады. Белгілер + және – қосу және алу амалдарын олардың әдеттегі мағынасында ғана білдіреді, ал бұл амалдар символдарға қолданылғанда, егер олар сандық сандармен алмастырылғанда сондай нәтиже беретін мәндерге ие болған жағдайларда ғана мүмкін деп есептеледі. Сондықтан, мысалы, өрнегінде және бірдей түрлі шамалар болуы керек; ал сияқты өрнектерде шамасы шамасынан үлкен болуы керек және оған гомогенді болуы керек. Көбейтінділер мен бөлінділерде, мысалы, және , көбейткіш пен бөлгіш абстрактілі сандар болуы керек. Егер қандай да бір операциялардың анықтамаларынан заңды түрде шығарылмайтын, тіпті теріс шамаларды қоса алғанда, қандай да бір нәтижелер болса, оларды мүмкін емес немесе ғылымға жат деп санау керек». Пикок принципін былай тұжырымдауға болады: арифметикалық алгебраның элементарлық символы цифрлық, яғни бүтін санды білдіреді, ал элементарлық символдардың кез келген комбинациясы цифрлық санға дейін келуі керек, әйтпесе ол мүмкін емес немесе ғылымға жат. Егер және сандар болса, онда әрқашан сан болады, бірақ саны тек кем болғанда ғана сан болады. Сонымен қатар, бірдей жағдайларда, әрқашан сан болады, бірақ нақты бөлгіш болғанда ғана сан болады. Осыдан келесі дилемма туындайды: немесе өрнегі жалпы түрде мүмкін емес деп санау керек, немесе алгебраның негізгі символының мағынасын рационалды бөлшектерді қамтитын етіп кеңейту керек. Егер дилемманың бірінші жағы таңдалса, арифметикалық алгебра тек көлеңкеге айналады, ал екінші жағы таңдалса, алгебраның амалдарын элементарлық символ бүтін сан деп қарастыру арқылы анықтауға болмайды. Пикок қиындықтан шығу үшін, көбейтуші ретінде қолданылатын символ әрқашан бүтін сан, бірақ көбейтілмелінің орнындағы символ бөлшек болуы мүмкін деп есептейді. Мысалы, өрнегінде тек бүтін санды білдіре алады, ал рационалды бөлшекті білдіре алады. Арифметикалық алгебраның ең негізгі қағидасы – ; бұл Пикок принципі бойынша заңсыз. Арифметика бойынша ең алғашқы ағылшын жазушыларының бірі Роберт Рекорд, ол өз еңбегін король Эдуард VI-ға арнады. Автор өз трактатын ұстаз бен оқушы арасындағы диалог түрінде жазады. Оқушы бір нәрсені көбейту оны азайтады деген қиындықпен ұзақ күреседі. Ұстаз бұл аномалияны пропорцияға сілтеме жасау арқылы түсіндіруге тырысады: бөлшекке байланысты көбейтінді көбейтілген нәрсеге бөлшек бірлікке қатысты болғандай пропорционалды болады. Бірақ оқушы қанағаттанбайды, ал ұстаз былай дейді: «Егер мен бірден көп еселеп көбейтсем, ол нәрсе көбейеді, егер мен оны бір рет алсам, ол өзгермейді, ал егер мен оны бір реттен аз алсам, ол бұрынғыдан кем болады. Егер бөлшек бірден аз болса, бөлшекпен көбейтуді бір реттен аз алуды білдіреді». Сонда оқушы: «Мырза, мен сізге осы себепті көп рахмет айтамын, және мен бұл нәрсені түсінетініме сенемін». Шындығында, тіпті арифметикада көбейту мен бөлудің екі процесі ортақ көбейтуге біріктіріледі, ал қиындық көбейтудің бастапқы идеясынан тензордың жалпыланған идеясына өтуде, бұл идея шаманы сығыстыруды және созуды қамтиды. Бір бүтін санды белгілейік; келесі қадам – , керісінше , идеясын алу. Бұл , және , жай ғана , емес , рационалды бөлшекті аламыз; өйткені жалпы алғанда, санға немесе санның керісіне азайтылмайды. Алайда, егер біз бұл қарсылықты елемейтін болсақ, онда Пикок жалпы алгебраның негізін қалай салады? Ол оны символдық алгебра деп атайды және арифметикалық алгебрадан символдық алгебраға келесідей жолмен өтеді: «Символдық алгебра арифметикалық алгебраның ережелерін қабылдайды, бірақ олардың шектеулерін мүлдем жояды; осылайша символдық алуарлау арифметикалық алгебрадағы сол операциядан әртүрлі болады, өйткені қолданылған символдар немесе өрнектердің барлық мән қатынастары үшін мүмкін. Арифметикалық алгебраның барлық нәтижелері, оның ережелерін қолдану арқылы шығарылған және формасы бойынша жалпы, бірақ құндылығы бойынша ерекше, символдық алгебраның нәтижелері де болады, егер олар формасы да, құндылығы да жалпы болса. Мысалы, және бүтін сандар болғанда, көбейтіндісі болады, сондықтан формасы бойынша жалпы, бірақ құндылығы бойынша ерекше, ал және жалпы құндылыққа ие болғанда да формасы бойынша жалпы болады. Арифметикалық алгебраның үшін анықталған қатар, егер кез келген бүтін сан болса, егер ол соңғы мүшеге сілтеме жасамайтын жалпы формада берілсе, сол қағида бойынша үшін де эквивалентті қатарды көрсетуге болады, егер формасы да, құндылығы да жалпы болса». Пикок бұл қағиданы мысалдар арқылы көрсеткен және оны «эквивалентті формалардың тұрақтылығы қағидасы» деп атады, ал «Символдық алгебра» еңбегінің 59-бетінде былай тұжырымдайды: «Символдар формасы бойынша жалпы, бірақ нақты мәнге ие болғанда эквивалентті алгебралық формалар, символдар формасы да, құндылығы да жалпы болғанда да эквивалентті болады». Мысалы, , , , кез келген бүтін сандарды білдірсін, бірақ шамасы шамасынан кіші, ал шамасы шамасынан кіші деген шектеулерге бағынсын. Онда арифметикалық түрде Пикок принципі сол жақ формасының оң жақ формасына тең екенін көрсетеді, тек егер шектеулері алынбаса ғана емес, сонымен қатар , , , ең жалпы алгебралық символдарды білдірсе де. Бұл , , , рационалды бөлшектер, иррационал сандар немесе тіпті операторлар сияқты болуы мүмкін. Теңдік шаманың мәні арқылы емес, теңдік қабылданады, содан кейін символға қойылатын әртүрлі интерпретацияларды табуға тырысады. Бұл мәселенің бізді қызықтыратыны рационалды логиканың немесе білімнің негізгі мәселесін қамтиды, атап айтқанда, біз жеке фактілерден жалпы фактілерге қалай көтеріле аламыз. Егер , , , бүтін сандарды білдірсе, олардың ішінде шамасы шамасынан кіші, ал шамасы шамасынан кіші болса, онда

Peacock's main contribution to mathematical analysis is his attempt to place algebra on a strictly logical basis. He founded what has been called the British algebra of logic; to which Gregory, De Morgan and Boole belonged. His answer to Maseres and Frend was that the science of algebra consisted of two parts—arithmetical algebra and symbolical algebra—and that they erred in restricting the science to the arithmetical part. His view of arithmetical algebra is as follows: "In arithmetical algebra we consider symbols as representing numbers, and the operations to which they are submitted as included in the same definitions as in common arithmetic; the signs and denote the operations of addition and subtraction in their ordinary meaning only, and those operations are considered as impossible in all cases where the symbols subjected to them possess values which would render them so in case they were replaced by digital numbers; thus in expressions such as we must suppose and to be quantities of the same kind; in others, like , we must suppose greater than and therefore homogeneous with it; in products and quotients, like and we must suppose the multiplier and divisor to be abstract numbers; all results whatsoever, including negative quantities, which are not strictly deducible as legitimate conclusions from the definitions of the several operations must be rejected as impossible, or as foreign to the science." Peacock's principle may be stated thus: the elementary symbol of arithmetical algebra denotes a digital, i. e., an integer number; and every combination of elementary symbols must reduce to a digital number, otherwise it is impossible or foreign to the science. If and are numbers, then is always a number; but is a number only when is less than Again, under the same conditions, is always a number, but is really a number only when is an exact divisor of Hence the following dilemma: Either must be held to be an impossible expression in general, or else the meaning of the fundamental symbol of algebra must be extended so as to include rational fractions. If the former horn of the dilemma is chosen, arithmetical algebra becomes a mere shadow; if the latter horn is chosen, the operations of algebra cannot be defined on the supposition that the elementary symbol is an integer number. Peacock attempts to get out of the difficulty by supposing that a symbol which is used as a multiplier is always an integer number, but that a symbol in the place of the multiplicand may be a fraction. For instance, in , can denote only an integer number, but may denote a rational fraction. Now there is no more fundamental principle in arithmetical algebra than that ; which would be illegitimate on Peacock's principle. One of the earliest English writers on arithmetic is Robert Recorde, who dedicated his work to King Edward VI. The author gives his treatise the form of a dialogue between master and scholar. The scholar battles long over this difficulty—that multiplying a thing could make it less. The master attempts to explain the anomaly by reference to proportion; that the product due to a fraction bears the same proportion to the thing multiplied that the fraction bears to unity. But the scholar is not satisfied and the master goes on to say: "If I multiply by more than one, the thing is increased; if I take it but once, it is not changed, and if I take it less than once, it cannot be so much as it was before. Then seeing that a fraction is less than one, if I multiply by a fraction, it follows that I do take it less than once." Whereupon the scholar replies, "Sir, I do thank you much for this reason, – and I trust that I do perceive the thing." The fact is that even in arithmetic the two processes of multiplication and division are generalized into a common multiplication; and the difficulty consists in passing from the original idea of multiplication to the generalized idea of a tensor, which idea includes compressing the magnitude as well as stretching it. Let denote an integer number; the next step is to gain the idea of the reciprocal of , not as but simply as When and are compounded we get the idea of a rational fraction; for in general will not reduce to a number nor to the reciprocal of a number. Suppose, however, that we pass over this objection; how does Peacock lay the foundation for general algebra? He calls it symbolical algebra, and he passes from arithmetical algebra to symbolical algebra in the following manner: "Symbolical algebra adopts the rules of arithmetical algebra but removes altogether their restrictions; thus symbolical subtraction differs from the same operation in arithmetical algebra in being possible for all relations of value of the symbols or expressions employed. All the results of arithmetical algebra which are deduced by the application of its rules, and which are general in form though particular in value, are results likewise of symbolical algebra where they are general in value as well as in form; thus the product of and which is when and are whole numbers and therefore general in form though particular in value, will be their product likewise when and are general in value as well as in form; the series for determined by the principles of arithmetical algebra when is any whole number, if it be exhibited in a general form, without reference to a final term, may be shown upon the same principle to the equivalent series for when is general both in form and value." The principle here indicated by means of examples was named by Peacock the "principle of the permanence of equivalent forms," and at page 59 of the Symbolical Algebra it is thus enunciated: "Whatever algebraic forms are equivalent when the symbols are general in form, but specific in value, will be equivalent likewise when the symbols are general in value as well as in form." For example, let , , , denote any integer numbers, but subject to the restrictions that is less than , and less than ; it may then be shown arithmetically that Peacock's principle says that the form on the left side is equivalent to the form on the right side, not only when the said restrictions of being less are removed, but when , , , denote the most general algebraic symbol. It means that , , , may be rational fractions, or surds, or imaginary quantities, or indeed operators such as The equivalence is not established by means of the nature of the quantity denoted; the equivalence is assumed to be true, and then it is attempted to find the different interpretations which may be put on the symbol. It is not difficult to see that the problem before us involves the fundamental problem of a rational logic or theory of knowledge; namely, how are we able to ascend from particular truths to more general truths. If , , , denote integer numbers, of which is less than and less than , then
It is first seen that the above restrictions may be removed, and still the above equation holds. But the antecedent is still too narrow; the true scientific problem consists in specifying the meaning of the symbols, which, and only which, will admit of the forms being equal. It is not to find "some meanings", but the "most general meaning", which allows the equivalence to be true. Let us examine some other cases; we shall find that Peacock's principle is not a solution of the difficulty; the great logical process of generalization cannot be reduced to any such easy and arbitrary procedure. When , , denote integer numbers, it can be shown that
According to Peacock the form on the left is always to be equal to the form on the right, and the meanings of , , are to be found by interpretation. Suppose that takes the form of the incommensurate quantity , the base of the natural system of logarithms. A number is a degraded form of a complex quantity and a complex quantity is a degraded form of a quaternion; consequently one meaning which may be assigned to and is that of quaternion. Peacock's principle would lead us to suppose that , and denoting quaternions; but that is just what William Rowan Hamilton, the inventor of the quaternion generalization, denies. There are reasons for believing that he was mistaken, and that the forms remain equivalent even under that extreme generalization of and ; but the point is this: it is not a question of conventional definition and formal truth; it is a question of objective definition and real truth. Let the symbols have the prescribed meaning, does or does not the equivalence still hold? And if it does not hold, what is the higher or more complex form which the equivalence assumes? Or does such equivalence form even exist?

Жеке өмір

Саяси тұрғыдан алғанда, Джордж Пикок виг саясатшысы болған. Ол Уильям Селвиннің қызы Франсис Элизабетке үйленді. Олардың балалары болмады. Оның соңғы қоғамдық ісі университет реформасы комиссиясының мәжілісіне қатысу болды. Ол 1858 жылдың 8 қарашасында 68 жасында Ели қаласында қайтыс болды және Ели зиратына жерленді.