Джордж Пикок: Математик и священник Англиканской церкви.

Введение

Английский математик и англиканский священник (1791–1858)

Джордж Пикок (George Peacock) (9 апреля 1791 – 8 ноября 1858) был английским математиком и англиканским священником. Он считается основателем британской алгебры логики.

Ранние годы

Родился 9 апреля 1791 года в Торнтон-Холле, Дентон, близ Дарлингтона, графство Дарем. Его отец, Томас Пикок, был священником Англиканской церкви, настоятелем и на протяжении 50 лет викарием прихода Дентона, где он также содержал школу. В юности Пикок не проявлял выдающихся способностей, и был более известен своими смелыми восхождениями, чем особой склонностью к учебе. Первоначально он получил начальное образование от отца, а затем в школе Седберга, и в 17 лет был отправлен в школу Ричмонда под руководством Джеймса Тейта, выпускника Кембриджского университета. В этой школе он проявил себя блестяще как в классических науках, так и в довольно элементарной математике, необходимой для поступления в Кембридж в то время. В 1809 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета. В 1812 году Пикок занял второе место среди воргларов и получил второй приз Смита, а старшим воргларом был Джон Гершель. Два года спустя он подал заявку на стипендию в своем колледже и сразу же получил ее, отчасти благодаря своим обширным и точным знаниям классических языков. Стипендия в то время составляла около 200 фунтов стерлингов в год, действовала в течение семи лет при условии, что стипендиат не женится, и могла быть продлена после семи лет при условии принятия духовного сана, что Пикок и сделал в 1819 году.

Математическая карьера

В год после получения стипендии, Пикок был назначен преподавателем и лектором своего колледжа, должность которую он занимал на протяжении многих лет. Пикок, как и многие другие студенты его уровня, остро ощущал необходимость реформирования позиции Кембриджа, игнорировавшей дифференциальное исчисление, и, будучи еще студентом, создал союз с Бэббиджем и Гершелем для принятия мер по изменению ситуации. В 1815 году они основали так называемое Аналитическое общество, целью которого было продвижение континентальной дифференциальной нотации против университетской "точечной" системы. Первым шагом Аналитического общества стал перевод с французского небольшого труда Лакруа по дифференциальному и интегральному исчислению, опубликованного в 1816 году. В то время французский язык располагал лучшими учебниками и наиболее значительными работами по математике. Пикок дополнил перевод сборником примеров применения дифференциального и интегрального исчисления, опубликованным в 1820 году. Обе книги пользовались быстрым спросом и внесли существенный вклад в достижение целей Общества. В то время лучшие студенты одного года становились экзаменаторами математического трипоса через три-четыре года. Пикок был назначен экзаменатором в 1817 году и не упустил возможности использовать эту должность как мощный инструмент для продвижения реформ. В его экзаменационных вопросах дифференциальная нотация впервые была официально применена в Кембридже. Это нововведение не осталось без критики, но он написал другу: "Заверяю вас, что я никогда не перестану прилагать максимум усилий для реформ и никогда не откажусь от должности, которая может усилить мою способность их проводить. Я почти уверен, что буду номинирован на должность модератора в 1818-1819 годах, и, будучи экзаменатором по должности, в следующем году я буду придерживаться еще более решительной линии, чем прежде, поскольку почувствую, что люди будут готовы к переменам и смогут освоить более совершенную систему благодаря публикации улучшенных учебников. Я обладаю значительным влиянием как преподаватель и не буду им пренебрегать. Только упорным трудом мы можем надеяться победить многоликого монстра предрассудков и заставить Университет соответствовать своей репутации любящей матери хорошего образования и науки". Эти несколько предложений позволяют понять характер Пикока: он был страстным реформатором, и его усилия через несколько лет принесли успех делу Аналитического общества. Другой сферой реформ, над которой работал Пикок, было преподавание алгебры. В 1830 году он опубликовал "Трактат по алгебре", целью которого было создание для алгебры подлинной научной основы, соответствующей ее развитию, достигнутому континентальными математиками. Для развития астрономической науки было основано Лондонское астрономическое общество, и три реформатора – Пикок, Бэббидж и Гершель – вновь стали движущей силой этого начинания. Пикок был одним из самых активных сторонников создания астрономической обсерватории в Кембридже и одним из основателей Кембриджского философского общества. В 1831 году Британская ассоциация содействия развитию науки (прообраз американской, французской и австралазийской ассоциаций) провела свое первое собрание в древнем городе Йорке. Одним из первых принятых решений было получение отчетов о состоянии и прогрессе отдельных наук, которые должны были составляться компетентными лицами для ознакомления с ежегодными собраниями, и первым в списке был отчет о прогрессе математической науки. Уивелл, математик и философ, был вице-президентом собрания и получил поручение выбрать автора отчета. Сначала он обратился к Уильяму Роуэну Гамильтону, который отказался, затем к Пикоку, который согласился. Пикок представил свой отчет на третьем собрании Ассоциации, проходившем в Кембридже в 1833 году. Хотя он был ограничен алгеброй, тригонометрией и арифметикой синусов, он является одним из лучших в длинной серии ценных отчетов, подготовленных и опубликованных Ассоциацией. В 1837 году Пикок был назначен профессором астрономии в Кембриджском университете, эту должность впоследствии занимали Адамс, сооткрыватель Нептуна, и Роберт Болл, известный своей теорией винтов. Еще одним объектом реформ были университетские уставы; он много работал над ними и был назначен членом комиссии, созданной правительством для этой цели. В январе 1818 года он был избран членом Королевского общества. В 1842 году Пикок был избран членом Американского философского общества.

The year after taking a Fellowship, Peacock was appointed a tutor and lecturer of his college, which position he continued to hold for many years. Peacock, in common with many other students of his own standing, was profoundly impressed with the need of reforming Cambridge's position ignoring the differential notation for calculus, and while still an undergraduate formed a league with Babbage and Herschel to adopt measures to bring it about. In 1815 they formed what they called the Analytical Society, the object of which was stated to be to advocate the d 'ism of the Continent versus the dot age of the university. The first movement on the part of the Analytical Society was to translate from the French the smaller work of Lacroix on the differential and integral calculus; it was published in 1816. At that time the French language had the best manuals, as well as the greatest works on mathematics. Peacock followed up the translation with a volume containing a copious Collection of Examples of the Application of the Differential and Integral Calculus, which was published in 1820. The sale of both books was rapid, and contributed materially to further the object of the Society. In that time, high wranglers of one year became the examiners of the mathematical tripos three or four years afterwards. Peacock was appointed an examiner in 1817, and he did not fail to make use of the position as a powerful lever to advance the cause of reform. In his questions set for the examination the differential notation was for the first time officially employed in Cambridge. The innovation did not escape censure, but he wrote to a friend as follows: "I assure you that I shall never cease to exert myself to the utmost in the cause of reform, and that I will never decline any office which may increase my power to effect it. I am nearly certain of being nominated to the office of Moderator in the year 1818 1819, and as I am an examiner in virtue of my office, for the next year I shall pursue a course even more decided than hitherto, since I shall feel that men have been prepared for the change, and will then be enabled to have acquired a better system by the publication of improved elementary books. I have considerable influence as a lecturer, and I will not neglect it. It is by silent perseverance only, that we can hope to reduce the many headed monster of prejudice and make the University answer her character as the loving mother of good learning and science." These few sentences give an insight into the character of Peacock: he was an ardent reformer and a few years brought success to the cause of the Analytical Society. Another reform at which Peacock labored was the teaching of algebra. In 1830 he published A Treatise on Algebra which had for its object the placing of algebra on a true scientific basis, adequate for the development which it had received at the hands of the Continental mathematicians. To elevate astronomical science the Astronomical Society of London was founded, and the three reformers Peacock, Babbage and Herschel were again prime movers in the undertaking. Peacock was one of the most zealous promoters of an astronomical observatory at Cambridge, and one of the founders of the Philosophical Society of Cambridge. In 1831 the British Association for the Advancement of Science (prototype of the American, French and Australasian Associations) held its first meeting in the ancient city of York. One of the first resolutions adopted was to procure reports on the state and progress of particular sciences, to be drawn up from time to time by competent persons for the information of the annual meetings, and the first to be placed on the list was a report on the progress of mathematical science. Whewell, the mathematician and philosopher, was a vice president of the meeting: he was instructed to select the reporter. He first asked William Rowan Hamilton, who declined; he then asked Peacock, who accepted. Peacock had his report ready for the third meeting of the Association, which was held in Cambridge in 1833; although limited to Algebra, Trigonometry, and the Arithmetic of Sines, it is one of the best of the long series of valuable reports which have been prepared for and printed by the Association. In 1837 Peacock was appointed Lowndean Professor of Astronomy in the University of Cambridge, the chair afterwards occupied by Adams, the co discoverer of Neptune, and later occupied by Robert Ball, celebrated for his Theory of Screws. An object of reform was the statutes of the university; he worked hard at it and was made a member of a commission appointed by the Government for the purpose. He was elected a Fellow of the Royal Society in January 1818. In 1842, Peacock was elected as a member of the American Philosophical Society.

Служебная карьера

Он был рукоположен в дьяконы в 1819 году, в священники – в 1822 году и назначен викарием Уаймсволда в Лестершире в 1826 году (до 1835 года). В 1839 году он был назначен деканом собора Эли в Кембриджшире, эту должность он занимал до конца жизни, около 20 лет. Вместе с архитектором Джорджем Гилбертом Скоттом он провел масштабную реставрацию соборного здания, включая установку дощатого потолка. Находясь на этом посту, он написал учебник по алгебре – "Трактат по алгебре" (1830). Позднее вышло второе издание в двух томах: "Арифметическая алгебра" (1842) и "О символической алгебре и ее применении к геометрии положений" (1845).

Символическая алгебра

Основным вкладом Пикока в математический анализ является его попытка построить алгебру на строго логической основе. Он основал то, что называют британской алгеброй логики, к которой принадлежали Грегори, Де Морган и Буль. Его ответ Мазересу и Френду заключался в том, что наука алгебры состоит из двух частей — арифметической алгебры и символической алгебры, и они ошибочно ограничивали науку только арифметической частью. Его взгляд на арифметическую алгебру таков: «В арифметической алгебре мы рассматриваем символы как представляющие числа, а операции, которым они подвергаются, как включенные в те же определения, что и в обычной арифметике; знаки + и – обозначают операции сложения и вычитания только в их обычном значении, и эти операции считаются невозможными во всех случаях, когда символы, к которым они применяются, имеют значения, которые сделали бы их таковыми, если бы они были заменены цифровыми числами; таким образом, в выражениях, таких как x – y, мы должны предполагать, что x и y – величины одного и того же рода; в других, таких как x > y, мы должны предполагать, что x больше y и, следовательно, однородно с ним; в произведениях и частных, таких как xy и x/y, мы должны предполагать, что множитель и делитель – абстрактные числа; любые результаты, включая отрицательные величины, которые не могут быть строго выведены как законные следствия из определений отдельных операций, должны быть отвергнуты как невозможные или чуждые науке». Принцип Пикока можно сформулировать следующим образом: элементарный символ арифметической алгебры обозначает цифровое, то есть целое число; и любая комбинация элементарных символов должна приводиться к цифровому числу, иначе она невозможна или чужда науке. Если x и y – числа, то xy всегда является числом; но x/y является числом только тогда, когда x меньше y. Опять же, при тех же условиях, x + y всегда является числом, но x – y действительно является числом только тогда, когда x больше y. Следовательно, возникает следующая дилемма: либо выражение x – y должно считаться невозможным в общем случае, либо значение фундаментального символа алгебры должно быть расширено, чтобы включать рациональные дроби. Если выбрать первый рог дилеммы, арифметическая алгебра превратится в пустую тень; если выбрать второй рог, операции алгебры нельзя будет определить, исходя из предположения, что элементарный символ – целое число. Пикок пытается выйти из затруднения, предполагая, что символ, используемый в качестве множителя, всегда является целым числом, но символ на месте множимого может быть дробью. Например, в xy, x может обозначать только целое число, но y может обозначать рациональную дробь. Теперь нет более фундаментального принципа в арифметической алгебре, чем то, что (x+y)(x-y) = x² - y², что было бы недопустимо в рамках принципов Пикока. Одним из первых английских авторов по арифметике является Роберт Рекорд, посвятивший свой труд королю Эдуарду VI. Автор придает своему трактату форму диалога между учителем и учеником. Ученик долго борется с этой трудностью – что умножение вещи может сделать ее меньше. Учитель пытается объяснить аномалию, ссылаясь на пропорцию: произведение, обусловленное дробью, имеет ту же пропорцию к умножаемой вещи, что дробь имеет к единице. Но ученик не удовлетворен, и учитель продолжает: «Если я умножу на больше единицы, вещь увеличится; если я возьму ее только один раз, она не изменится, а если я возьму ее меньше одного раза, она не может быть такой же, как раньше. Итак, поскольку дробь меньше единицы, если я умножу на дробь, следует, что я беру ее меньше одного раза». На что ученик отвечает: «Сэр, я очень благодарен вам за это объяснение, и я думаю, что теперь понимаю». Дело в том, что даже в арифметике два процесса умножения и деления обобщаются в общее умножение; и трудность заключается в переходе от первоначальной идеи умножения к обобщенной идее тензора, которая включает в себя как растяжение, так и сжатие величины. Пусть x обозначает целое число; следующий шаг – получить представление об обратной величине x, не как 1/x, а просто как 1/x. Когда 1/x и 1/y складываются, мы получаем представление о рациональной дроби; в общем случае (x+y)/(xy) не приводится ни к числу, ни к обратной величине числа. Предположим, однако, что мы обойдем это возражение; как Пикок закладывает основу для общей алгебры? Он называет ее символической алгеброй и переходит от арифметической алгебры к символической следующим образом: «Символическая алгебра принимает правила арифметической алгебры, но полностью устраняет их ограничения; таким образом, символическое вычитание отличается от той же операции в арифметической алгебре тем, что оно возможно для любых соотношений значений используемых символов или выражений. Все результаты арифметической алгебры, выведенные путем применения ее правил и общие по форме, хотя и частные по значению, также являются результатами символической алгебры, где они общие и по значению, и по форме; таким образом, произведение x и y, которое равно xy, когда x и y – целые числа и, следовательно, общее по форме, хотя и частное по значению, будет их произведением также тогда, когда x и y общие и по значению, и по форме; ряд для (1+x)^n, определенный принципами арифметической алгебры, когда n – любое целое число, если он представлен в общей форме, без ссылки на конечный член, может быть показан тем же принципом как эквивалентный ряд для (1+x)^n, когда n общее и по форме, и по значению». Принцип, указанный здесь на примерах, Пикок назвал «принципом постоянства эквивалентных форм», и на странице 59 «Символической алгебры» он сформулирован следующим образом: «Какие бы алгебраические формы ни были эквивалентны, когда символы общие по форме, но конкретные по значению, они будут эквивалентны также тогда, когда символы общие и по значению, и по форме». Например, пусть x, y, z, w обозначают любые целые числа, но с ограничениями, что x меньше y и z меньше w; тогда можно арифметически показать, что (x+z)(y+w) = xy + xw + yz + zw. Принцип Пикока утверждает, что форма слева эквивалентна форме справа не только тогда, когда указанные ограничения на «меньше» сняты, но и когда x, y, z, w обозначают наиболее общий алгебраический символ. Это означает, что x, y, z, w могут быть рациональными дробями, иррациональными числами или даже мнимыми величинами, или даже операторами, такими как дифференцирование. Эквивалентность не устанавливается посредством природы обозначаемой величины; эквивалентность предполагается истинной, а затем предпринимается попытка найти различные интерпретации, которые могут быть приложены к символу. Нетрудно видеть, что проблема, стоящая перед нами, включает в себя фундаментальную проблему рациональной логики или теории познания, а именно: как мы можем подняться от частных истин к более общим истинам. Если x, y, z, w обозначают целые числа, из которых x меньше y и z меньше w, то...

Peacock's main contribution to mathematical analysis is his attempt to place algebra on a strictly logical basis. He founded what has been called the British algebra of logic; to which Gregory, De Morgan and Boole belonged. His answer to Maseres and Frend was that the science of algebra consisted of two parts—arithmetical algebra and symbolical algebra—and that they erred in restricting the science to the arithmetical part. His view of arithmetical algebra is as follows: "In arithmetical algebra we consider symbols as representing numbers, and the operations to which they are submitted as included in the same definitions as in common arithmetic; the signs and denote the operations of addition and subtraction in their ordinary meaning only, and those operations are considered as impossible in all cases where the symbols subjected to them possess values which would render them so in case they were replaced by digital numbers; thus in expressions such as we must suppose and to be quantities of the same kind; in others, like , we must suppose greater than and therefore homogeneous with it; in products and quotients, like and we must suppose the multiplier and divisor to be abstract numbers; all results whatsoever, including negative quantities, which are not strictly deducible as legitimate conclusions from the definitions of the several operations must be rejected as impossible, or as foreign to the science." Peacock's principle may be stated thus: the elementary symbol of arithmetical algebra denotes a digital, i. e., an integer number; and every combination of elementary symbols must reduce to a digital number, otherwise it is impossible or foreign to the science. If and are numbers, then is always a number; but is a number only when is less than Again, under the same conditions, is always a number, but is really a number only when is an exact divisor of Hence the following dilemma: Either must be held to be an impossible expression in general, or else the meaning of the fundamental symbol of algebra must be extended so as to include rational fractions. If the former horn of the dilemma is chosen, arithmetical algebra becomes a mere shadow; if the latter horn is chosen, the operations of algebra cannot be defined on the supposition that the elementary symbol is an integer number. Peacock attempts to get out of the difficulty by supposing that a symbol which is used as a multiplier is always an integer number, but that a symbol in the place of the multiplicand may be a fraction. For instance, in , can denote only an integer number, but may denote a rational fraction. Now there is no more fundamental principle in arithmetical algebra than that ; which would be illegitimate on Peacock's principle. One of the earliest English writers on arithmetic is Robert Recorde, who dedicated his work to King Edward VI. The author gives his treatise the form of a dialogue between master and scholar. The scholar battles long over this difficulty—that multiplying a thing could make it less. The master attempts to explain the anomaly by reference to proportion; that the product due to a fraction bears the same proportion to the thing multiplied that the fraction bears to unity. But the scholar is not satisfied and the master goes on to say: "If I multiply by more than one, the thing is increased; if I take it but once, it is not changed, and if I take it less than once, it cannot be so much as it was before. Then seeing that a fraction is less than one, if I multiply by a fraction, it follows that I do take it less than once." Whereupon the scholar replies, "Sir, I do thank you much for this reason, – and I trust that I do perceive the thing." The fact is that even in arithmetic the two processes of multiplication and division are generalized into a common multiplication; and the difficulty consists in passing from the original idea of multiplication to the generalized idea of a tensor, which idea includes compressing the magnitude as well as stretching it. Let denote an integer number; the next step is to gain the idea of the reciprocal of , not as but simply as When and are compounded we get the idea of a rational fraction; for in general will not reduce to a number nor to the reciprocal of a number. Suppose, however, that we pass over this objection; how does Peacock lay the foundation for general algebra? He calls it symbolical algebra, and he passes from arithmetical algebra to symbolical algebra in the following manner: "Symbolical algebra adopts the rules of arithmetical algebra but removes altogether their restrictions; thus symbolical subtraction differs from the same operation in arithmetical algebra in being possible for all relations of value of the symbols or expressions employed. All the results of arithmetical algebra which are deduced by the application of its rules, and which are general in form though particular in value, are results likewise of symbolical algebra where they are general in value as well as in form; thus the product of and which is when and are whole numbers and therefore general in form though particular in value, will be their product likewise when and are general in value as well as in form; the series for determined by the principles of arithmetical algebra when is any whole number, if it be exhibited in a general form, without reference to a final term, may be shown upon the same principle to the equivalent series for when is general both in form and value." The principle here indicated by means of examples was named by Peacock the "principle of the permanence of equivalent forms," and at page 59 of the Symbolical Algebra it is thus enunciated: "Whatever algebraic forms are equivalent when the symbols are general in form, but specific in value, will be equivalent likewise when the symbols are general in value as well as in form." For example, let , , , denote any integer numbers, but subject to the restrictions that is less than , and less than ; it may then be shown arithmetically that Peacock's principle says that the form on the left side is equivalent to the form on the right side, not only when the said restrictions of being less are removed, but when , , , denote the most general algebraic symbol. It means that , , , may be rational fractions, or surds, or imaginary quantities, or indeed operators such as The equivalence is not established by means of the nature of the quantity denoted; the equivalence is assumed to be true, and then it is attempted to find the different interpretations which may be put on the symbol. It is not difficult to see that the problem before us involves the fundamental problem of a rational logic or theory of knowledge; namely, how are we able to ascend from particular truths to more general truths. If , , , denote integer numbers, of which is less than and less than , then
It is first seen that the above restrictions may be removed, and still the above equation holds. But the antecedent is still too narrow; the true scientific problem consists in specifying the meaning of the symbols, which, and only which, will admit of the forms being equal. It is not to find "some meanings", but the "most general meaning", which allows the equivalence to be true. Let us examine some other cases; we shall find that Peacock's principle is not a solution of the difficulty; the great logical process of generalization cannot be reduced to any such easy and arbitrary procedure. When , , denote integer numbers, it can be shown that
According to Peacock the form on the left is always to be equal to the form on the right, and the meanings of , , are to be found by interpretation. Suppose that takes the form of the incommensurate quantity , the base of the natural system of logarithms. A number is a degraded form of a complex quantity and a complex quantity is a degraded form of a quaternion; consequently one meaning which may be assigned to and is that of quaternion. Peacock's principle would lead us to suppose that , and denoting quaternions; but that is just what William Rowan Hamilton, the inventor of the quaternion generalization, denies. There are reasons for believing that he was mistaken, and that the forms remain equivalent even under that extreme generalization of and ; but the point is this: it is not a question of conventional definition and formal truth; it is a question of objective definition and real truth. Let the symbols have the prescribed meaning, does or does not the equivalence still hold? And if it does not hold, what is the higher or more complex form which the equivalence assumes? Or does such equivalence form even exist?

Частная жизнь

В политическом плане Джордж Пикок был вигом. Он женился на Фрэнсис Элизабет, дочери Уильяма Селвина. У них не было детей. Его последним публичным действием было посещение заседания университетской комиссии по реформам. Он умер в Эли 8 ноября 1858 года, на 68-м году жизни, и был похоронен на кладбище в Эли.