Введение
Множество собственных значений матрицы
первичный спектр кольца
В математике, особенно в функциональном анализе, спектр ограниченного линейного оператора (или, в более общем смысле, неограниченного линейного оператора) является обобщением множества собственных значений матрицы. В частности, комплексное число λ называется элементом спектра ограниченного линейного оператора T, если
the prime spectrum of a ring
In mathematics, particularly in functional analysis, the spectrum of a bounded linear operator (or, more generally, an unbounded linear operator) is a generalisation of the set of eigenvalues of a matrix. Specifically, a complex number is said to be in the spectrum of a bounded linear operator if
либо оператор T не имеет обратного по множеству;
либо обратный по множеству либо неограничен, либо определен на неплотном подмножестве. Здесь I – тождественный оператор. По теореме о замкнутом графе, λ принадлежит спектру тогда и только тогда, когда ограниченный оператор T не является биективным на
Изучение спектров и связанных с ними свойств известно как спектральная теория, которая имеет многочисленные применения, наиболее заметным из которых является математическое формулирование квантовой механики. Спектр оператора на конечномерном векторном пространстве – это точно множество собственных значений. Однако оператор на бесконечномерном пространстве может иметь дополнительные элементы в своем спектре и может не иметь собственных значений. Например, рассмотрим оператор правого сдвига R на гильбертовом пространстве ℓ2.
or the set theoretic inverse is either unbounded or defined on a non dense subset. Here, is the identity operator. By the closed graph theorem, is in the spectrum if and only if the bounded operator is non bijective on
The study of spectra and related properties is known as spectral theory, which has numerous applications, most notably the mathematical formulation of quantum mechanics. The spectrum of an operator on a finite dimensional vector space is precisely the set of eigenvalues. However an operator on an infinite dimensional space may have additional elements in its spectrum, and may have no eigenvalues. For example, consider the right shift operator R on the Hilbert space ℓ2,
Он не имеет собственных значений, поскольку если Rx = λx, то, раскладывая это выражение, мы видим, что x1 = 0, x2 = 0 и т.д. С другой стороны, 0 принадлежит спектру, потому что, хотя оператор R – 0 (т.е. сам R) обратим, его обратный определен на множестве, которое не является плотным в ℓ2. Фактически, каждый ограниченный линейный оператор на комплексном пространстве Банаха должен иметь непустой спектр. Понятие спектра распространяется на неограниченные (т.е. не обязательно ограниченные) операторы. Комплексное число λ называется элементом спектра неограниченного оператора T, определенного в области D(T), если не существует ограниченного обратного оператора, определенного на всей области D(T). Если T замкнут (что включает случай, когда T ограничен), то ограниченность обратного оператора автоматически следует из его существования. Пространство ограниченных линейных операторов B(X) на пространстве Банаха X является примером унитальной алгебры Банаха. Поскольку в определении спектра не упоминаются какие-либо свойства B(X), кроме тех, которые присущи любой такой алгебре, понятие спектра может быть обобщено в этом контексте, используя то же определение дословно.
Определение
Пусть $T$ — ограниченный линейный оператор, действующий в банаховом пространстве $X$ над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$, а $I$ — оператор идентичности в $X$. Спектр оператора $T$ — это множество всех комплексных чисел $\lambda$, для которых оператор $T - \lambda I$ не имеет обратного, являющегося ограниченным линейным оператором. Поскольку $T$ — линейный оператор, его обратный является линейным, если он существует, и, согласно теореме об ограниченном обратном операторе, он ограничен. Следовательно, спектр состоит ровно из тех скаляров $\lambda$, для которых оператор $T - \lambda I$ не является биективным. Спектр данного оператора $T$ часто обозначается $\sigma(T)$, а его дополнение, разрешающее множество, обозначается $\rho(T)$. Иногда для обозначения спектрального радиуса оператора $T$ используется обозначение $r(T)$.
Спектр неограниченного оператора
Можно расширить определение спектра на неограниченные операторы в банаховом пространстве X. Эти операторы больше не являются элементами банаховой алгебры B(X).
Основные свойства
Спектр неограниченного оператора в общем случае является замкнутым, возможно пустым, подмножеством комплексной плоскости. Если оператор T не замкнут, то .
Классификация точек в спектре
Ограниченный оператор T на банаховом пространстве обратим, то есть имеет ограниченный обратный оператор, тогда и только тогда, когда T ограничен снизу, то есть существует такое , что для всех и область значений T плотна. Соответственно, спектр T можно разделить на следующие части:
if is not bounded below. In particular, this is the case if is not injective, that is, λ is an eigenvalue. The set of eigenvalues is called the point spectrum of T and denoted by σp(T). Alternatively, could be one to one but still not bounded below. Such λ is not an eigenvalue but still an approximate eigenvalue of T (eigenvalues themselves are also approximate eigenvalues). The set of approximate eigenvalues (which includes the point spectrum) is called the approximate point spectrum of T, denoted by σap(T). if does not have dense range. The set of such λ is called the compression spectrum of T, denoted by If does not have dense range but is injective, λ is said to be in the residual spectrum of T, denoted by
Note that the approximate point spectrum and residual spectrum are not necessarily disjoint (however, the point spectrum and the residual spectrum are). The following subsections provide more details on the three parts of σ(T) sketched above.
если не ограничен снизу. В частности, это имеет место, если не инъективен, то есть λ является собственным значением. Множество собственных значений называется точечным спектром T и обозначается σp(T). В противном случае, λ может быть инъективным, но все равно не ограниченным снизу. Такое λ не является собственным значением, но все же является приближенным собственным значением T (собственные значения также являются приближенными собственными значениями). Множество приближенных собственных значений (которое включает в себя точечный спектр) называется приближенным точечным спектром T и обозначается σap(T). Если область значений T не плотна. Множество таких λ называется спектром сжатия T и обозначается . Если область значений T не плотна, но T инъективен, то λ принадлежит остаточному спектру T и обозначается .
if is not bounded below. In particular, this is the case if is not injective, that is, λ is an eigenvalue. The set of eigenvalues is called the point spectrum of T and denoted by σp(T). Alternatively, could be one to one but still not bounded below. Such λ is not an eigenvalue but still an approximate eigenvalue of T (eigenvalues themselves are also approximate eigenvalues). The set of approximate eigenvalues (which includes the point spectrum) is called the approximate point spectrum of T, denoted by σap(T). if does not have dense range. The set of such λ is called the compression spectrum of T, denoted by If does not have dense range but is injective, λ is said to be in the residual spectrum of T, denoted by
Note that the approximate point spectrum and residual spectrum are not necessarily disjoint (however, the point spectrum and the residual spectrum are). The following subsections provide more details on the three parts of σ(T) sketched above.
Следует отметить, что приближенный точечный спектр и остаточный спектр не обязательно не пересекаются (однако, точечный спектр и остаточный спектр не пересекаются). В следующих подразделах будут приведены более подробные сведения о трех частях σ(T), описанных выше.
if is not bounded below. In particular, this is the case if is not injective, that is, λ is an eigenvalue. The set of eigenvalues is called the point spectrum of T and denoted by σp(T). Alternatively, could be one to one but still not bounded below. Such λ is not an eigenvalue but still an approximate eigenvalue of T (eigenvalues themselves are also approximate eigenvalues). The set of approximate eigenvalues (which includes the point spectrum) is called the approximate point spectrum of T, denoted by σap(T). if does not have dense range. The set of such λ is called the compression spectrum of T, denoted by If does not have dense range but is injective, λ is said to be in the residual spectrum of T, denoted by
Note that the approximate point spectrum and residual spectrum are not necessarily disjoint (however, the point spectrum and the residual spectrum are). The following subsections provide more details on the three parts of σ(T) sketched above.
Точечный спектр
Если оператор не инъективен (то есть существует ненулевой вектор x, для которого T(x) = 0), то он очевидно не обратим. Следовательно, если λ является собственным значением оператора T, то λ обязательно принадлежит спектру T, обозначаемому σ(T). Множество собственных значений T также называют точечным спектром T, обозначаемым σp(T). Некоторые авторы называют замыканием точечного спектра чистым точечным спектром, а другие просто рассматривают…
Дискретный спектр
Дискретный спектр определяется как множество нормальных собственных значений или, эквивалентно, как множество изолированных точек спектра, для которых соответствующий проектор Рисса имеет конечный ранг. Следовательно, дискретный спектр является строгим подмножеством точечного спектра, то есть
Непрерывный спектр
Множество всех λ, для которых оператор инъективен и имеет плотный образ, но не сюръективен, называется непрерывным спектром оператора T и обозначается как . Следовательно, непрерывный спектр состоит из приближенных собственных значений, которые не являются собственными значениями и не принадлежат остаточному спектру. То есть,
Например, , , , инъективен и имеет плотный образ, однако действительно, если с таким, что , то не обязательно , и тогда .
Спектр сжатия
Множество значений, для которых образ не является плотным, известно как спектр сжатия оператора T и обозначается .
Периферийный спектр
Периферический спектр оператора определяется как множество точек в его спектре, модуль которых равен его спектральному радиусу.
Пример: атом водорода
Атом водорода служит примером различных типов спектров. Гамильтоновский оператор атома водорода , , с областью определения имеет дискретный набор собственных значений (дискретный спектр, который в данном случае совпадает с точечным спектром, поскольку нет собственных значений, вложенных в непрерывный спектр), которые могут быть вычислены с помощью формулы Ридберга. Соответствующие собственные функции называются собственными состояниями или связанными состояниями. Результат процесса ионизации описывается непрерывной частью спектра (энергия столкновения/ионизации не квантуется), представленной (она также совпадает с существенным спектром, ).
Операторы компактных машин
Если T — компактный оператор или, в более общем случае, несущественный оператор, то можно показать, что спектр счетен, что ноль — единственная возможная точка накопления, и что любое ненулевое λ из спектра является собственным значением.
Квазимощные операторы
Ограниченный оператор является квазинильпотентным, если при (иными словами, если спектральный радиус A равен нулю). Такие операторы можно эквивалентно характеризовать условием. Примером такого оператора является , для .
An example of such an operator is , for .
Самодополняющие операторы
Если X — пространство Гильберта, а T — самосопряжённый оператор (или, в более общем случае, нормальный оператор), то замечательный результат, известный как спектральная теорема, даёт аналогию теореме о диагонализации для нормальных операторов в конечномерных пространствах (например, эрмитовых матриц). Для самосопряжённых операторов можно использовать спектральные меры для определения разложения спектра на абсолютно непрерывную, чисто точечную и сингулярную части.
Спектр реального оператора
Определения разрешающего оператора и спектра можно расширить на любой непрерывный линейный оператор, действующий на банахово пространство над полем вещественных чисел (вместо поля комплексных чисел) посредством его комплексификации. В этом случае мы определяем разрешающее множество как множество всех λ, таких что оператор (E - λI) обратим как оператор, действующий в комплексифицированном пространстве; затем мы определяем .
Реальный спектр
Реальный спектр непрерывного линейного оператора, действующего на реальное пространство Банаха, обозначается как множество всех λ, для которых оператор не является обратимым в реальной алгебре ограниченных линейных операторов, действующих на. В этом случае имеем . Следует отметить, что реальный спектр может совпадать, а может и не совпадать с комплексным спектром. В частности, реальный спектр может быть пустым.
Спектр унитальной алгебры Банаха
Пусть B — комплексная алгебра Банаха, содержащая единицу e. Тогда спектр σ(x) (или более явно σB(x)) элемента x из B определяется как множество комплексных чисел λ, для которых λe − x не является обратимым в B. Это обобщает определение для ограниченных линейных операторов B(X) на банаховом пространстве X, поскольку B(X) является унитальной алгеброй Банаха.