Кіріспе
Пермутациялардың қосылуы операциясы болып табылатын топ. Математикада пермутация тобы – элементтері берілген М жиынының пермутацияларынан тұратын G тобы, ал топ операциясы G тобындағы пермутациялардың қосылуы болып табылады (бұл М жиынынан өзіне биективті функциялар ретінде қарастырылады). М жиынының барлық пермутацияларының тобы – М жиынының симметриялық тобы, көбінесе Sym(M) деп жазылады. Осылайша, пермутация тобы термині симметриялық топтың кіші тобын білдіреді. Егер М = {1, 2, ..., n} болса, онда Sym(M) әдетте Sn арқылы белгіленеді және n әріптегі симметриялық топ деп аталуы мүмкін. Кейли теоремасы бойынша, кез келген топ белгілі бір пермутация тобына изоморфты болады. Пермутация тобының элементтері жиын элементтерін қалай өзгертетіні оның топтық әрекеті деп аталады. Топтық әрекеттер симметрияны, комбинаториканы, сондай-ақ математика, физика және химияның көптеген басқа салаларын зерттеуде қолданылады.
In mathematics, a permutation group is a group G whose elements are permutations of a given set M and whose group operation is the composition of permutations in G (which are thought of as bijective functions from the set M to itself). The group of all permutations of a set M is the symmetric group of M, often written as Sym(M). The term permutation group thus means a subgroup of the symmetric group. If 1=M = {1, 2, , n} then Sym(M) is usually denoted by Sn, and may be called the symmetric group on n letters. By Cayley's theorem, every group is isomorphic to some permutation group. The way in which the elements of a permutation group permute the elements of the set is called its group action. Group actions have applications in the study of symmetries, combinatorics and many other branches of mathematics, physics and chemistry.
Негізгі қасиеттері мен терминологиясы
Пермутация тобы — симметриялық топтың кіші тобы; яғни, оның элементтері белгілі бір жиынның пермутациялары болып табылады. Осылайша, бұл пермутациялардың қосылуы бойынша жабық, сәйкес пермутацияны және оның әрбір элементінің кері пермутациясын қамтитын симметриялық топтың ішкі жиыны. Шекті топтардың жалпы қасиеті бойынша, симметриялық топтың шекті бос емес ішкі жиыны, егер және тек қана пермутациялық қосылу бойынша жабық болса, пермутация тобы болып табылады. Шекті жиынның пермутациялар тобының дәрежесі — жиынның элементтерінің саны. Топтың (кез келген түріндегі) реті — топтағы элементтердің саны (кардиналдығы). Лагранж теоремасы бойынша, n дәрежелі кез келген шекті пермутация тобының реті n! санына бөлінуі керек, себебі n факториал — Sn симметриялық тобының реті.
Бейтарап элемент және кері элементтер
Толықтық пермутациясы, жиынның әрбір элементін өзіне бейнелейтін, осы көбейтінді үшін бейтарап элемент болып табылады. Екі қатарлы жазуда сәйкестік келесідей жазылады:
Циклдық жазуда e = (1)(2)(3)...(n) болады, және бұл әдетте жай ғана (1) немесе тіпті деп белгіленеді. Биекциялардың кері функциясы болғандықтан, пермутациялардың да кері функциясы бар, және σ пермутациясының керісі σ⁻¹ қайтадан пермутация болып табылады. Нақтырақ айтқанда, егер σ(x) = y болса, онда σ⁻¹(y) = x болады. Екі қатарлы жазуда кері функцияны екі қатарды ауыстыру арқылы алуға болады (ал егер бірінші қатардың белгілі бір ретпен болуын қаласаңыз, бағандарды реттеу арқылы). Мысалы,
Since bijections have inverses, so do permutations, and the inverse σ−1 of σ is again a permutation. Explicitly, whenever σ(x)=y one also has σ−1(y)=x. In two line notation the inverse can be obtained by interchanging the two lines (and sorting the columns if one wishes the first line to be in a given order). For instance
Бір циклдың керісін алу үшін оның элементтерінің ретін кері қайтару керек. Осылайша,
Циклдардың көбейтіндісінің керісін алу үшін, бірінші кезекте циклдардың ретін кері қайтару керек, содан кейін әрқайсысының керісін жоғарыда көрсетілгендей алу керек. Осылайша,
Ассоциативті көбейтіндіге, сәйкестік элементке және барлық элементтері үшін кері функцияға ие болу, M жиынының барлық пермутацияларын топқа, Sym(M) – пермутация тобына айналдырады.
Бастапқы әрекеттер
Бос емес шекті жиынтық M-де транзитивті әрекет ететін G пермутациялық тобы, егер G-нің әрекетімен сақталатын M жиынының тривиалды емес жиындық бөлінісі болса, импримитивті болады. Мұнда "тривиалды емес" дегеніміз, бөлініс жеке элементтерден тұратын жиындықтарға немесе бір бөліктен ғана тұратын бөлініс болмауы керек. Әйтпесе, егер G транзитивті болса, бірақ M жиынының ешқандай тривиалды емес бөлінісін сақтамаса, онда G тобы примитивті болады. Мысалы, квадраттың симметриялар тобы төбелеріне қатысты импримитивті: егер төбелер циклдық ретпен 1, 2, 3, 4 деп нөмірленсе, онда {1, 3}, {2, 4} қарама-қарсы жұптарына бөліну топтың кез келген элементімен сақталады. Ал, M жиынындағы толық симметриялық топ әрқашан примитивті болады.
Олигоморфты топтар
G тобы S жиынтығына әсер еткенде, бұл әсер S-тің n элементтен тұратын Sn картезиан көбейтіндісіне табиғи түрде кеңейтіледі: g элементінің n-тік (s1, ..., sn) -ға әсері g(s1, ..., sn) = (g(s1), ..., g(sn)) арқылы беріледі. G тобы олигоморфты деп аталады, егер әрбір оң бүтін n үшін Sn жиынтығына әсер ететін кезде тек шекті санда ғана орбиталар болса. (Егер S жиынтығы шекті болса, бұл автоматты түрде орындалады, сондықтан бұл термин көбінесе S жиынтығы шексіз болған кезде қызығушылық тудырады.) Олигоморфтық топтарға деген қызығушылықтың бір себебі – олардың модель теориясындағы қолданылуы, мысалы, саналатын категориалық теориялардағы автоморфизмдерді қарастырғанда.
g(s1, , sn) = (g(s1), , g(sn)). The group G is said to be oligomorphic if the action on Sn has only finitely many orbits for every positive integer n. (This is automatic if S is finite, so the term is typically of interest when S is infinite.) The interest in oligomorphic groups is partly based on their application to model theory, for example when considering automorphisms in countably categorical theories.
Тарих
Топтарды зерттеу бастапқыда пермутациялық топтарды түсінуден өркендеді. Пермутацияларды Лагранж 1770 жылы полиномдық теңдеулердің алгебралық шешімдері жөніндегі еңбегінде терең зерттеген. Бұл тақырып дамып, 19 ғасырдың ортасына қарай Камилл Жорданның 1870 жылғы "Субституциялар және алгебралық теңдеулер туралы трактаты" кітабында жинақталған, жақсы дамыған пермутациялық топтар теориясы пайда болды. Жорданның кітабы, өз кезегінде, Эварист Галуаның 1832 жылы қалдырған жазбаларына негізделген. Кейли абстракт топ тұжырымын енгізгенде, бұл белгілі пермутациялық топтардан (қазіргідей анықталмаған) үлкен жиын ма, жоқ па, бірден анық болмады. Кейли екі тұжырымның да Кейли теоремасында эквивалентті екенін дәлелдеді. Пермутациялық топтарға арналған бірнеше тарауларды қамтитын тағы бір классикалық мәтін – 1911 жылғы Бернсайдтың шекті реттік топтар теориясы. 20 ғасырдың бірінші жартысы топтар теориясын зерттеуде тоқырау кезеңі болды, бірақ 1950 жылдары Г. Виландт пермутациялық топтарға қызығушылықты қайта жаңғыртты, оның неміс тіліндегі дәріс жазбалары 1964 жылы "Шектеулі пермутациялық топтар" деген атпен қайта басылды.