Кіріспе
Топологиялық кеңістіктердің декарттық көбейтінділерінің топологиясында және математиканың осымен байланысты салаларында, көбейтінді кеңістік – декарттық көбейтіндімен жабдықталған топологиялық кеңістіктер жиыны, және оған өнім топологиясы деп аталатын табиғи топология беріледі. Бұл топология, басқа, мүмкін, көбірек табиғи көрінетін қорап топологиясынан өзгеше, оны да көбейтінді кеңістігіне беруге болады, және көбейтінді тек шектеулі көп кеңістіктерден тұрғанда ғана өнім топологиясымен сәйкес келеді. Дегенмен, өнім топологиясы "дұрыс" болып табылады, себебі ол көбейтінді кеңістігін оның факторларының категориялық көбейтіндісіне айналдырады, ал қорап топологиясы тым жіңішке; осы тұрғыдан алғанда, өнім топологиясы – декарттық көбейтіндіге арналған табиғи топология.
In topology and related areas of mathematics, a product space is the Cartesian product of a family of topological spaces equipped with a natural topology called the product topology. This topology differs from another, perhaps more natural seeming, topology called the box topology, which can also be given to a product space and which agrees with the product topology when the product is over only finitely many spaces. However, the product topology is "correct" in that it makes the product space a categorical product of its factors, whereas the box topology is too fine; in that sense the product topology is the natural topology on the Cartesian product.
Таңдау аксиомасы
Таңдау аксиомасын тұжырымдаудың көптеген жолдарының бірі – ол, бос емес жиындар жиынының декарт көбейтіндісі бос емес дегенге эквивалентті екенін айту. Бұл тұжырымның таңдау функциялары тұрғысынан аксиомаға эквивалентті екенін дәлелдеу оңай: көбейтіндідегі өкілді табу үшін әр жиыннан бір элементті таңдау жеткілікті. Керісінше, көбейтіндінің өкілі – әр компоненттен дәл бір элементті қамтитын жиын. Таңдау аксиомасы (топологиялық) көбейтінді кеңістіктерін зерттеуде де қолданылады; мысалы, компактты жиындар туралы Тихонов теоремасы – таңдау аксиомасын қажет ететін және ең жалпы түрінде оған эквивалентті мәлімдеменің күрделі және нәзік мысалы болып табылады, сондай-ақ декарт көбейтіндісіне қолдануға болатын ең пайдалы топология неліктен көбейтінді топологиясы екенін көрсетеді.