Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Топология на декартовых произведениях топологических пространств
Topology on Cartesian products of topological spaces
В топологии и смежных областях математики пространство произведения представляет собой декартово произведение семейства топологических пространств, снабжённое естественной топологией, называемой топологией произведения. Эта топология отличается от другой, возможно, более интуитивно понятной топологии, называемой топологией коробки, которую также можно задать пространству произведения, и которая совпадает с топологией произведения, когда произведение берётся по конечному числу пространств. Однако топология произведения является "правильной" в том смысле, что она делает пространство произведения категориальным произведением своих сомножителей, в то время как топология коробки слишком детальна; в этом смысле топология произведения является естественной топологией на декартовом произведении.
In topology and related areas of mathematics, a product space is the Cartesian product of a family of topological spaces equipped with a natural topology called the product topology. This topology differs from another, perhaps more natural seeming, topology called the box topology, which can also be given to a product space and which agrees with the product topology when the product is over only finitely many spaces. However, the product topology is "correct" in that it makes the product space a categorical product of its factors, whereas the box topology is too fine; in that sense the product topology is the natural topology on the Cartesian product.
Аксиомы выбора
Один из многих способов выразить аксиому выбора — утверждать, что она эквивалентна утверждению о том, что декартово произведение коллекции непустых множеств не пусто. Доказательство этой эквивалентности утверждению аксиомы, сформулированному в терминах функций выбора, очевидно: достаточно выбрать элемент из каждого множества, чтобы найти представитель в произведении. Обратно, представитель произведения — это множество, содержащее ровно один элемент из каждого компонента. Аксиома выбора вновь возникает при изучении (топологических) пространств произведений; например, теорема Тихонова о компактных множествах представляет собой более сложный и тонкий пример утверждения, требующего аксиомы выбора и эквивалентного ей в наиболее общей формулировке, и демонстрирует, почему топология произведения может считаться более полезной топологией для декартова произведения.
One of many ways to express the axiom of choice is to say that it is equivalent to the statement that the Cartesian product of a collection of non empty sets is non empty. The proof that this is equivalent to the statement of the axiom in terms of choice functions is immediate: one needs only to pick an element from each set to find a representative in the product. Conversely, a representative of the product is a set which contains exactly one element from each component. The axiom of choice occurs again in the study of (topological) product spaces; for example, Tychonoff's theorem on compact sets is a more complex and subtle example of a statement that requires the axiom of choice and is equivalent to it in its most general formulation, and shows why the product topology may be considered the more useful topology to put on a Cartesian product.