Введение
Кохомология с вещественными коэффициентами, вычисляемая с помощью дифференциальных форм.
Кохомология де Рама многообразий Гротендика.
Grothendieck's de Rham cohomology of varieties
В математике кохомология де Рама (названная в честь Жоржа де Рама) — это инструмент, относящийся как к алгебраической топологии, так и к дифференциальной топологии, позволяющий выражать фундаментальную топологическую информацию о гладких многообразиях в форме, особенно подходящей для вычислений и конкретного представления классов кохомологий. Это теория кохомологий, основанная на существовании дифференциальных форм с заданными свойствами. На любом гладком многообразии любая точная форма является замкнутой, но обратное может быть неверно. В общих чертах, это несоответствие связано с возможным наличием "дыр" в многообразии, а группы кохомологий де Рама представляют собой набор топологических инвариантов гладких многообразий, которые точно количественно определяют эту связь.
Вычисленная кохомология Де Рама
Часто можно вычислить общие когомологии де Рама многообразия, используя указанный выше факт о нулевых когомологиях и последовательность Майера-Виториса. Важным свойством также является то, что когомологии де Рама – гомотопический инвариант. Хотя сами вычисления не приводятся, ниже представлены вычисленные когомологии де Рама для некоторых распространенных топологических объектов:
Сфера
Для n-сферы, , а также при рассмотрении вместе с произведением открытых интервалов, имеем следующее. Пусть n > 0, m ≥ 0, и I — открытый вещественный интервал. Тогда
- Торос
Торус является декартовым произведением: Аналогично, допуская здесь, мы получаем
Мы также можем найти явные образующие для кохомологии де Рама тора непосредственно, используя дифференциальные формы. Для заданного фактор-многообразия и дифференциальной формы мы можем сказать, что она инвариантна, если для любого диффеоморфизма, индуцированного , выполняется. В частности, откат любой формы на является инвариантным. Кроме того, откат является инъективным морфизмом. В нашем случае дифференциальные формы инвариантны, так как, но обратите внимание, что для не является инвариантной формой. Это, вместе с инъективностью, подразумевает, что
Поскольку кольцо кохомологии тора порождается , взятие внешних произведений этих форм дает все явные представители кохомологии де Рама тора.
Пунктуализированное евклидово пространство
Проколотое евклидово пространство — это просто ℝⁿ с удалённой точкой начала координат.
Полоска Мёбиуса
Из того, что полоса Мёбиуса, M, может быть деформирована с сохранением формы до 1-сферы (то есть единичной окружности), мы можем заключить, что:
Изоморфизм де Рам теории сенок
Для любого гладкого многообразия M, пусть — постоянный сноп на M, ассоциированный с абелевой группой ; другими словами, — это сноп локально постоянных функций вещественного значения на M. Тогда существует естественный изоморфизм
между когомологиями де Рэма и когомологиями снопа . (Отметим, что это показывает, что когомологии де Рэма также можно вычислить в терминах когомологий Чеха; действительно, поскольку каждое гладкое многообразие является паракомпактным хаусдорфовым пространством, когомологии снопа изоморфны когомологиям Чеха для любого хорошего покрытия M.)
Связанные идеи
Кохомология де Рама вдохновила множество математических идей, включая кохомологию Долбо, теорию Ходжа и теорему об индексе Атия — Сингера. Однако даже в более классических контекстах эта теория послужила толчком для ряда разработок. Прежде всего, теория Ходжа доказывает существование изоморфизма между кохомологией, состоящей из гармонических форм, и кохомологией де Рама, состоящей из замкнутых форм по модулю точных форм. Это опирается на соответствующее определение гармонических форм и теоремы Ходжа. Более подробную информацию можно найти в статье «Теория Ходжа».
Гармонические формы
Если M – компактное риманово многообразие, то каждый класс эквивалентности в содержит ровно одну гармоническую форму. То есть каждый элемент данного класса эквивалентности замкнутых форм может быть записан как
where is exact and is harmonic:
Any harmonic function on a compact connected Riemannian manifold is a constant. Thus, this particular representative element can be understood to be an extremum (a minimum) of all cohomologously equivalent forms on the manifold. For example, on a 2 torus, one may envision a constant 1 form as one where all of the "hair" is combed neatly in the same direction (and all of the "hair" having the same length). In this case, there are two cohomologically distinct combings; all of the others are linear combinations. In particular, this implies that the 1st Betti number of a 2 torus is two. More generally, on an dimensional torus , one can consider the various combings of forms on the torus. There are choose such combings that can be used to form the basis vectors for ; the th Betti number for the de Rham cohomology group for the torus is thus choose
More precisely, for a differential manifold M, one may equip it with some auxiliary Riemannian metric. Then the Laplacian is defined by
with the exterior derivative and the codifferential. The Laplacian is a homogeneous (in grading) linear differential operator acting upon the exterior algebra of differential forms: we can look at its action on each component of degree separately. If is compact and oriented, the dimension of the kernel of the Laplacian acting upon the space of k forms is then equal (by Hodge theory) to that of the de Rham cohomology group in degree : the Laplacian picks out a unique harmonic form in each cohomology class of closed forms. In particular, the space of all harmonic forms on is isomorphic to The dimension of each such space is finite, and is given by the th Betti number.
где – точная форма, а – гармоническая форма: любая гармоническая функция на компактном связном римановом многообразии является постоянной. Таким образом, этот конкретный представитель элемента можно понимать как экстремум (минимум) всех кохомологически эквивалентных форм на многообразии. Например, на 2-торе можно представить 1-форму постоянного значения как набор "волос", аккуратно расчесанных в одном направлении (и все "волосы" имеют одинаковую длину). В этом случае существует два кохомологически различных способа расчесывания; все остальные являются линейными комбинациями. В частности, это означает, что первое число Бетти 2-тора равно 2. В более общем случае, на -мерном торе можно рассмотреть различные способы расчесывания -форм на торе. Существует способов выбрать такие расчесывания, которые можно использовать для формирования базисных векторов для ; -е число Бетти для группы когомологий де Рама -тора, таким образом, равно .
where is exact and is harmonic:
Any harmonic function on a compact connected Riemannian manifold is a constant. Thus, this particular representative element can be understood to be an extremum (a minimum) of all cohomologously equivalent forms on the manifold. For example, on a 2 torus, one may envision a constant 1 form as one where all of the "hair" is combed neatly in the same direction (and all of the "hair" having the same length). In this case, there are two cohomologically distinct combings; all of the others are linear combinations. In particular, this implies that the 1st Betti number of a 2 torus is two. More generally, on an dimensional torus , one can consider the various combings of forms on the torus. There are choose such combings that can be used to form the basis vectors for ; the th Betti number for the de Rham cohomology group for the torus is thus choose
More precisely, for a differential manifold M, one may equip it with some auxiliary Riemannian metric. Then the Laplacian is defined by
with the exterior derivative and the codifferential. The Laplacian is a homogeneous (in grading) linear differential operator acting upon the exterior algebra of differential forms: we can look at its action on each component of degree separately. If is compact and oriented, the dimension of the kernel of the Laplacian acting upon the space of k forms is then equal (by Hodge theory) to that of the de Rham cohomology group in degree : the Laplacian picks out a unique harmonic form in each cohomology class of closed forms. In particular, the space of all harmonic forms on is isomorphic to The dimension of each such space is finite, and is given by the th Betti number.
Более точно, для дифференциального многообразия M можно снабдить его некоторой вспомогательной римановой метрикой. Тогда лапласиан определяется как
where is exact and is harmonic:
Any harmonic function on a compact connected Riemannian manifold is a constant. Thus, this particular representative element can be understood to be an extremum (a minimum) of all cohomologously equivalent forms on the manifold. For example, on a 2 torus, one may envision a constant 1 form as one where all of the "hair" is combed neatly in the same direction (and all of the "hair" having the same length). In this case, there are two cohomologically distinct combings; all of the others are linear combinations. In particular, this implies that the 1st Betti number of a 2 torus is two. More generally, on an dimensional torus , one can consider the various combings of forms on the torus. There are choose such combings that can be used to form the basis vectors for ; the th Betti number for the de Rham cohomology group for the torus is thus choose
More precisely, for a differential manifold M, one may equip it with some auxiliary Riemannian metric. Then the Laplacian is defined by
with the exterior derivative and the codifferential. The Laplacian is a homogeneous (in grading) linear differential operator acting upon the exterior algebra of differential forms: we can look at its action on each component of degree separately. If is compact and oriented, the dimension of the kernel of the Laplacian acting upon the space of k forms is then equal (by Hodge theory) to that of the de Rham cohomology group in degree : the Laplacian picks out a unique harmonic form in each cohomology class of closed forms. In particular, the space of all harmonic forms on is isomorphic to The dimension of each such space is finite, and is given by the th Betti number.
где – внешняя производная, а – кодифференциал. Лапласиан является однородным (по градуировке) линейным дифференциальным оператором, действующим на внешнюю алгебру дифференциальных форм: мы можем рассмотреть его действие на каждый компонент степени отдельно. Если компактно и ориентировано, то размерность ядра лапласиана, действующего на пространство k-форм, равна (по теории Ходжа) размерности группы когомологий де Рама степени : лапласиан выделяет единственную гармоническую форму в каждом классе когомологий замкнутых форм. В частности, пространство всех гармонических -форм на изоморфно . Размерность каждого такого пространства конечна и задается -м числом Бетти.
where is exact and is harmonic:
Any harmonic function on a compact connected Riemannian manifold is a constant. Thus, this particular representative element can be understood to be an extremum (a minimum) of all cohomologously equivalent forms on the manifold. For example, on a 2 torus, one may envision a constant 1 form as one where all of the "hair" is combed neatly in the same direction (and all of the "hair" having the same length). In this case, there are two cohomologically distinct combings; all of the others are linear combinations. In particular, this implies that the 1st Betti number of a 2 torus is two. More generally, on an dimensional torus , one can consider the various combings of forms on the torus. There are choose such combings that can be used to form the basis vectors for ; the th Betti number for the de Rham cohomology group for the torus is thus choose
More precisely, for a differential manifold M, one may equip it with some auxiliary Riemannian metric. Then the Laplacian is defined by
with the exterior derivative and the codifferential. The Laplacian is a homogeneous (in grading) linear differential operator acting upon the exterior algebra of differential forms: we can look at its action on each component of degree separately. If is compact and oriented, the dimension of the kernel of the Laplacian acting upon the space of k forms is then equal (by Hodge theory) to that of the de Rham cohomology group in degree : the Laplacian picks out a unique harmonic form in each cohomology class of closed forms. In particular, the space of all harmonic forms on is isomorphic to The dimension of each such space is finite, and is given by the th Betti number.
Разложение ходжей
Пусть M — компактное ориентированное риманово многообразие. Разложение Ходжа утверждает, что любая дифференциальная форма на M единственным образом раскладывается в сумму трех компонентов:
где ω_e — точная форма, ω_c — коточная форма, а ω_h — гармоническая форма. Говорят, что форма ω созакрыта, если dω = 0, и соточна, если ω = dα для некоторой формы α, а что она гармонична, если ее лапласиан равен нулю. Это следует из того, что точные и коточные формы ортогональны; тогда ортогональное дополнение состоит из форм, которые являются одновременно замкнутыми и созакрытыми, то есть из гармонических форм. Здесь ортогональность определяется относительно внутреннего произведения в пространстве L² на M:
При использовании пространств Соболева или обобщенных функций разложение можно расширить, например, на полное (ориентированное или неориентированное) риманово многообразие.