Шекаралық қабат: Сұйықтар мен беткейлер арасындағы ағын

Кіріспе

Шектеуші бет маңындағы сұйық қабаты. Физика мен сұйық механикасында шекаралық қабат – сұйықтың шектеуші бетке жақын ағынынан пайда болатын, сол беттің тікелей маңындағы жұқа қабат. Сұйықтың қабырғамен өзара әрекеттесуі сырғалмайтын шекаралық жағдайды (қабырғадағы жылдамдық нольге тең) тудырады. Ағын жылдамдығы кейін беттен жоғары қарай біртекті түрде артады, көп мөлшерлі ағын жылдамдығына жететінше. Жылдамдығы әлі көп мөлшерлі ағын жылдамдығына қайта оралмаған сұйықтан тұратын жұқа қабат – жылдамдық шекаралық қабаты деп аталады. Адамның жанындағы ауа қызып, гравитациялық конвективтік ағын тудырады, нәтижесінде жылдамдық және жылу шекаралық қабаттары пайда болады. Жел шекаралық қабатты бұзады, ал шаш мен киім оны қорғайды, соның салдарынан адам салқын немесе жылы сезінеді. Ұшақ қанатында жылдамдық шекаралық қабаты – қанатқа жақын ағынның бөлігі, онда тұтқыр күштер айналадағы тұтқыр емес ағынды бұрмалайды. Жер атмосферасында атмосфералық шекаралық қабат – жер бетіне жақын ауа қабаты (~1 км). Оған жер бетінің әсері тиеді: күннің жерді қыздыруынан туындаған күндізгі-түндегі жылу ағындары, ылғал немесе жер бетіне немесе одан инерция күшінің берілуі.

Прандтль шекаралық қабат тұжырымдамасы

Аэродинамикалық шекаралық қабатты алғаш рет Людвиг Прандтль 1904 жылғы 12 тамызда Германияның Гейдельберг қаласында өткен математиктердің үшінші халықаралық конгресінде ұсынды. Ол сұйық ағынының теңдеулерін екі аймаққа бөлу арқылы жеңілдетеді: бірі шекаралық қабаттың ішінде, оған тұтқырлық басымдық етеді және шекаралық дененің басым бөлігін құрайтын кедергіні тудырады; екіншісі – шекаралық қабаттың сыртында, онда тұтқырлықты есепке алмау шешімге маңызды әсер етпейді. Бұл екі аймақтағы ағынды есептеу үшін толық Навье-Стокстің теңдеулерін едәуір жеңілдету арқылы жабық түрдегі шешім табуға мүмкіндік береді. Бұл гипотеза ауадан басқа, су сияқты орташа немесе төмен тұтқырлыққа ие басқа сұйықтықтарға да қолданылады. Егер бет және сұйықтықтың негізгі бөлігі арасында температура айырмашылығы болса, жылудың көп бөлігі дененің бетіне және одан жылдамдық шекаралық қабатының жанында жүзеге асады. Бұл шекаралық қабаттан тыс ағын өрісінде теңдеулерді жеңілдетуге мүмкіндік береді. Шекаралық қабат бойындағы қысымның таралуы (мысалы, қанаттың пішінінде) бетке перпендикуляр бағытта шекаралық қабаттың барлық бөлігінде салыстырмалы түрде тұрақты болып қалады және беттегі қысыммен бірдей болады. Жылдамдық шекаралық қабатының қалыңдығы әдетте қатты дененің бетінен тұтқыр ағын жылдамдығы еркін ағын жылдамдығының 99% құрайтын нүктеге дейінгі қашықтық ретінде анықталады. Көшіру қалыңдығы – бұл шекаралық қабаттың қабырғаға сырғанамайтын ағысқа қарағанда массалық ағыстағы кемшілігін көрсететін балама анықтама. Бұл қабырғаның тұтқыр жағдайдағы бірдей жалпы массалық ағынды қамтамасыз ету үшін қаншалықты ығыстырылуы керек екенін көрсетеді. Сығусыздық шарты қатты дененің бетіндегі ағын жылдамдығының нөлге тең болуын және сұйықтық температурасының бет температурасына тең болуын талап етеді. Ағын жылдамдығы шекаралық қабат теңдеулерімен басқарылатын шекаралық қабаттың ішінде тез өседі. Жылулық шекаралық қабаттың қалыңдығы да денеден температураның еркін ағын температурасының 99% құрайтын нүктеге дейінгі қашықтық ретінде анықталады. Екі қалыңдық арақатынасы Прандтль санымен анықталады. Егер Прандтль саны 1-ге тең болса, екі шекаралық қабаттың қалыңдығы бірдей болады. Егер Прандтль саны 1-ден үлкен болса, жылулық шекаралық қабат жылдамдық шекаралық қабатынан жұқа болады. Егер Прандтль саны 1-ден аз болса, бұл стандартты жағдайда ауа үшін, жылулық шекаралық қабат жылдамдық шекаралық қабатынан қалың болады. Глайдерлер мен коммерциялық ұшақтар сияқты жоғары өнімділікке есептелген конструкцияларда кедергіні азайту үшін шекаралық қабаттың мінез-құлқын бақылауға көп көңіл бөлінеді. Екі факторды ескеру қажет. Біріншіден, шекаралық қабат ығысу қалыңдығы арқылы дененің тиімді қалыңдығын арттырады, соның салдарынан қысым кедергісін арттырады. Екіншіден, қанаттың бетіндегі иілу күштері терінің сүргіш кедергісін тудырады. Толық өлшемді ұшақтарға тән жоғары Рейнольдс сандарында ламинарлық шекаралық қабат болуы қажет. Бұл ламинарлық ағынның ерекше жылдамдық профиліне байланысты терінің сүргіш кедергісін азайтады. Алайда, шекаралық қабат міндетті түрде қалыңдайды және ағын дене бойымен дами келе тұрақсыз болады, содан кейін турбулентті болады, бұл процесс шекаралық қабаттың өтуі деп аталады. Бұл мәселені шешудің бір жолы – саңылаулы бет арқылы шекаралық қабатты сору (шекаралық қабатты соруға қараңыз). Бұл кедергіні азайта алады, бірақ оның механикалық күрделілігі мен ауаны жылжытуға және оны жоюға қажетті қуаты салдарынан көбінесе бұл тиімді емес. Табиғи ламинарлық ағын (TLF) әдістері шекаралық қабаттың өтуін кейінгі жаққа жылжытады, бұл әуе қабырғасын немесе фюзеляжды оның ең қалың нүктесі кейінгі жаққа және қалыңдығына қарай өзгертеді. Бұл алдыңғы бөлігінің жылдамдықтарын азайтады және бірдей Рейнольдс саны ұзындығымен бірдей болады. Рейнольдс сандарының төмендеуімен, мысалы, модельдік ұшақтарда, ламинарлық ағынды сақтау салыстырмалы түрде оңай. Бұл теріге азынша сүргіш кедергі тудырады, бұл жақсы. Алайда, ламинарлық шекаралық қабатқа терінің сүргіш кедергісін азайтуға мүмкіндік беретін жылдамдық профилі оған кері қысым градиенттерінің әсеріне осал етеді. Қысым қанаттың артқы бөлігінде қалпына келгенде, ламинарлық шекаралық қабат беттен бөлінеді. Мұндай ағынның бөлінуі қысым кедергісінің күрт өсуына әкеледі, өйткені ол қанаттың тиімді өлшемін едәуір арттырады. Мұндай жағдайларда, шекаралық қабатты ламинарлық бөліну орнынан бұрынғы нүктеде турбуляторды пайдалану арқылы әдейі турбуленттікке түсіру тиімді болуы мүмкін. Турбулентті шекаралық қабаттың толық жылдамдық профилі кері қысым градиентін бөлінбей сақтауға мүмкіндік береді. Осылайша, терінің сүргіш кедергісі артқанмен, жалпы кедергі азаяды. Бұл гольф доптарындағы ойықтардың, сондай-ақ ұшақтардағы құйын генераторларының принципіне негізделген. Ламинарлық бөлінуді азайту немесе жою үшін қысымды қалпына келтіруді бейімдеуге мүмкіндік беретін арнайы қанат бөлімдері де жасалған. Бұл ағынның бөлінуінен туындайтын қысым кедергісі мен турбуленттікке шақырылған терінің сүргіш кедергісі арасындағы оңтайлы компромисс болып табылады. Жел тоннелінде жартылай модельдерді қолданғанда, шекаралық қабаттың әсерін азайту немесе жою үшін кейде пениш қолданылады.

The aerodynamic boundary layer was first hypothesized by Ludwig Prandtl in a paper presented on August 12, 1904, at the third International Congress of Mathematicians in Heidelberg, Germany. It simplifies the equations of fluid flow by dividing the flow field into two areas: one inside the boundary layer, dominated by viscosity and creating the majority of drag experienced by the boundary body; and one outside the boundary layer, where viscosity can be neglected without significant effects on the solution. This allows a closed form solution for the flow in both areas by making significant simplifications of the full Navier–Stokes equations. The same hypothesis is applicable to other fluids (besides air) with moderate to low viscosity such as water. For the case where there is a temperature difference between the surface and the bulk fluid, it is found that the majority of the heat transfer to and from a body takes place in the vicinity of the velocity boundary layer. This again allows the equations to be simplified in the flow field outside the boundary layer. The pressure distribution throughout the boundary layer in the direction normal to the surface (such as an airfoil) remains relatively constant throughout the boundary layer, and is the same as on the surface itself. The thickness of the velocity boundary layer is normally defined as the distance from the solid body to the point at which the viscous flow velocity is 99% of the freestream velocity (the surface velocity of an inviscid flow). Displacement thickness is an alternative definition stating that the boundary layer represents a deficit in mass flow compared to inviscid flow with slip at the wall. It is the distance by which the wall would have to be displaced in the inviscid case to give the same total mass flow as the viscous case. The no slip condition requires the flow velocity at the surface of a solid object be zero and the fluid temperature be equal to the temperature of the surface. The flow velocity will then increase rapidly within the boundary layer, governed by the boundary layer equations, below. The thermal boundary layer thickness is similarly the distance from the body at which the temperature is 99% of the freestream temperature. The ratio of the two thicknesses is governed by the Prandtl number. If the Prandtl number is 1, the two boundary layers are the same thickness. If the Prandtl number is greater than 1, the thermal boundary layer is thinner than the velocity boundary layer. If the Prandtl number is less than 1, which is the case for air at standard conditions, the thermal boundary layer is thicker than the velocity boundary layer. In high performance designs, such as gliders and commercial aircraft, much attention is paid to controlling the behavior of the boundary layer to minimize drag. Two effects have to be considered. First, the boundary layer adds to the effective thickness of the body, through the displacement thickness, hence increasing the pressure drag. Secondly, the shear forces at the surface of the wing create skin friction drag. At high Reynolds numbers, typical of full sized aircraft, it is desirable to have a laminar boundary layer. This results in a lower skin friction due to the characteristic velocity profile of laminar flow. However, the boundary layer inevitably thickens and becomes less stable as the flow develops along the body, and eventually becomes turbulent, the process known as boundary layer transition. One way of dealing with this problem is to suck the boundary layer away through a porous surface (see Boundary layer suction). This can reduce drag, but is usually impractical due to its mechanical complexity and the power required to move the air and dispose of it. Natural laminar flow (NLF) techniques push the boundary layer transition aft by reshaping the airfoil or fuselage so that its thickest point is more aft and less thick. This reduces the velocities in the leading part and the same Reynolds number is achieved with a greater length. At lower Reynolds numbers, such as those seen with model aircraft, it is relatively easy to maintain laminar flow. This gives low skin friction, which is desirable. However, the same velocity profile which gives the laminar boundary layer its low skin friction also causes it to be badly affected by adverse pressure gradients. As the pressure begins to recover over the rear part of the wing chord, a laminar boundary layer will tend to separate from the surface. Such flow separation causes a large increase in the pressure drag, since it greatly increases the effective size of the wing section. In these cases, it can be advantageous to deliberately trip the boundary layer into turbulence at a point prior to the location of laminar separation, using a turbulator. The fuller velocity profile of the turbulent boundary layer allows it to sustain the adverse pressure gradient without separating. Thus, although the skin friction is increased, overall drag is decreased. This is the principle behind the dimpling on golf balls, as well as vortex generators on aircraft. Special wing sections have also been designed which tailor the pressure recovery so laminar separation is reduced or even eliminated. This represents an optimum compromise between the pressure drag from flow separation and skin friction from induced turbulence. When using half models in wind tunnels, a peniche is sometimes used to reduce or eliminate the effect of the boundary layer.

Түршігерлік шекаралық қабаттар

Турбулентті шекаралық қабаттарды қарастыру, ағыс қасиеттерінің уақытқа тәуелді өзгеруіне байланысты әлдеқайда қиын. Турбулентті ағындарды шешудің ең көп қолданылатын әдістерінің бірі – Рейнольдс ыдырауын қолдану. Бұл әдісте, бір мезгілдегі ағыс қасиеттері орташа және флуктуациялық компоненттерге жіктеледі, ал флуктуациялық компоненттің орташа мәні нөлге тең деп есептеледі. Бұл әдісті шекаралық қабат теңдеулеріне қолдану нәтижесінде, әдебиетте жиі кездеспейтін толық турбулентті шекаралық қабат теңдеулері алынады:

Ұқсас мәнді шамалар талдауын қолдана отырып, жоғарыдағы теңдеулерді басты мүшелерге дейін қысқартуға болады. Көлденең бағыттағы өзгерістер үшін ұзындық өлшемі және ағыс бағытындағы өзгерістер үшін ұзындық өлшемін таңдап, шарты орындалғанда, x импульс теңдеуі келесідей жеңілдеді:

Бұл теңдеу қабырғадағы сырғанаусыз жағдайды қанағаттандырмайды. Прандтль шекаралық қабат теңдеулеріндегідей, импульс теңдеуінде тұтқыр мүше басты рөл атқаруына мүмкіндік беру үшін жаңа, кіші ұзындық өлшемі қолданылуы керек. -ны y өлшемі ретінде таңдағанда, осы "ішкі шекаралық қабат" үшін басты импульс теңдеуі келесідей болады:

Шексіз Рейнольдс санының лимитінде, қысым градиенті мүшесі турбулентті шекаралық қабаттың ішкі аймағына әсер етпейтінін көрсетуге болады. Жаңа "ішкі ұзындық өлшемі" – тұтқыр ұзындық өлшемі, және ол мөлшерінде болады, мұнда турбулентті флуктуациялардың жылдамдық өлшемі, осы жағдайда – үйкеліс жылдамдығы. Ламинарлық шекаралық қабат теңдеулерінен айырмашылығы, екі режимнің болуы (әртүрлі ағыс өлшемдерімен басқарылатын, яғни ішкі және сыртқы масштабталу) турбулентті шекаралық қабат үшін әмбебап ұқсастық шешімін табуды қиын және даулы етеді. Ағыстың екі аймағын қамтитын ұқсастық шешімін табу үшін, ағыстың екі аймағынан алынған шешімдерді асимптотикалық түрде салыстыру қажет. Мұндай талдау логарифмдік немесе қуат заңдарын береді. Жоғарыдағы талдауға ұқсас тәсілдер сығылатын ағындардағы энергия теңдеуін қолдана отырып, жылулық шекаралық қабаттар үшін де қолданылған. Турбулентті шекаралық қабат теңдеулеріндегі қосымша мүше Рейнольдс серпімді кернеуі деп аталады және ол априори белгісіз. Сондықтан турбулентті шекаралық қабат теңдеулерін шешу үшін турбуленттік модельді қолдану қажет, оның мақсаты Рейнольдс серпімді кернеуін белгілі ағыс айнымалылары немесе туындылары арқылы өрнектеу. Мұндай модельдердің дәлдігі мен жалпылығының жетіспеушілігі – қазіргі заманғы сұйық динамикасында турбулентті ағыс қасиеттерін сәтті болжаудағы маңызды кедергі. Қабырғаға жақын аймақта тұрақты кернеу қабаты бар. Қабырғаға жақын тік жылдамдық флуктуацияларының өшуіне байланысты, Рейнольдс кернеуі мүшесі ықпалсыз болады және біз сызықтық жылдамдық профилінің бар екенін анықтаймыз. Бұл тек қабырғаға өте жақын аймақ үшін ғана дұрыс.