Кіріспе
Кез келген сан мен оның еселігі арасындағы жай санның болуы. Сандар теориясында Бертран постулаты – кез келген бүтін сан үшін, оған кем дегенде бір жай сан бар екенін күтілетін теорема, яғни .
In number theory, Bertrand's postulate is the theorem that for any integer , there exists at least one prime number with
Аз қысқартылған түрі: кез келген үшін, әрқашан кем дегенде бір жай сан бар, осылайша .
Тағы бір түрі, мұнда – н-ші жай сан: үшін.
Бұл мәлімдеме алғаш рет 1845 жылы Жозеф Бертран (1822–1900) тарапынан болжамдалған. Бертран өзінің бұл мәлімдемесін барлық бүтін сандар үшін тексеріп растаған. Оның болжамын 1852 жылы Чебышев (1821–1894) толыққанды дәлелдеген, сондықтан бұл постулат Бертран-Чебышев теоремасы немесе Чебышев теоремасы деп те аталады. Чебышев теоремасын жай сан есеу функциясы (бірге немесе бірге тең жай сандардың саны) арқылы дамытуға болады: , барлық үшін.
His conjecture was completely proved by Chebyshev (1821–1894) in 1852 and so the postulate is also called the Bertrand–Chebyshev theorem or Chebyshev's theorem. Chebyshev's theorem can also be stated as a relationship with , the prime counting function (number of primes less than or equal to ):
, for all .
Басты сандар теоремасы
Бастапқы сандар теоремасы (БНТ) x-ке дейінгі алғашқы сандардың саны шамамен x/ln(x) тең екенін көрсетеді, сондықтан x-ті 2x-пен алмастырсақ, 2x-ке дейінгі алғашқы сандардың саны x-ке дейінгі алғашқы сандардың санынан асимптотикалық екі есе көп екенін көреміз (ln(2x) және ln(x) терминдері асимптотикалық түрде эквивалентті). Сондықтан, n үлкен болғанда, n мен 2n арасындағы алғашқы сандардың саны шамамен n/ln(n) болады, демек, осы аралықта Бертран постулатымен кепілдендірілгеннен әлдеқайда көп алғашқы сандар бар. Осылайша, Бертран постулаты PNT-ге қарағанда салыстырмалы түрде әлсіз. Бірақ PNT – терең теорема, ал Бертран постулатын жақсы есте қалдырып, оңай дәлелдеуге болады, сондай-ақ n-нің кіші мәндері үшін не болатыны туралы нақты тұжырымдар жасайды. (Сонымен қатар, Чебышев теоремасы PNT-ден бұрын дәлелденгендіктен тарихи маңызы бар.) Ұқсас және әлі де шешілмеген Лежандрдің болжамы әр n ≥ 1 үшін n² < p < (n + 1)² болатын p алғашқы саны бар ма деп сұрайды. Тағы да, n² мен (n + 1)² арасында бір ғана емес, көптеген алғашқы сандар болады деп күтеміз, бірақ бұл жағдайда PNT көмектеспейді: x²-ге дейінгі алғашқы сандардың саны x²/ln(x²) асимптотикалық, ал (x + 1)²-ге дейінгі алғашқы сандардың саны (x + 1)²/ln((x + 1)²) асимптотикалық, бұл x²-ге дейінгі алғашқы сандарға жасалған бағалауға асимптотикалық. Осылайша, x және 2x жағдайындағыдай, тіпті барлық үлкен n үшін де Лежандрдің болжамын дәлелдеуге қол жеткізе алмаймыз. PNT-дегі қателіктерді бағалау осы аралықта тіпті бір алғашқы санның бар екенін дәлелдеуге жеткіліксіз (іс жүзінде, мүмкін емес).
Жалпылау
1919 жылы Раманужан (1887–1920) Гамма функциясының қасиеттерін пайдаланып, Чебышевтің дәлеліне қарағанда оңайырақ дәлел келтірді. Оның қысқа мақаласында постулаттың жалпылама түрі келтірілген, одан кейін Раманужандық алғашқы сандар туралы ұғым пайда болды. Раманужандық алғашқы сандардың одан әрі жалпылама түрлері де табылды; мысалы, pk – k-шы алғашқы сан және Rn – n-шы Раманужандық алғашқы сан екендігі дәлелденді. Бертран постулатының басқа жалпылама түрлері элементар әдістерді қолдану арқылы алынған. (Бұдан әрі n оң бүтін сандар жиыны бойынша өтеді.) 1973 жылы Денис Хансон 3n мен 4n аралығында жай сан бар екенін дәлелдеді. 2006 жылы, Хансонның нәтижесін білмейтіндей, М. Эль Бахрауи 2n мен 3n аралығында жай сан бар екенін дәлелдеуді ұсынды. Бертран постулатының Гаусс бүтін сандарына қатысты түрі – бұл алғашқы сандардың таралуы туралы идеяның кеңейтілуі, бірақ бұл жағдайда кешенді жазықтықта. Осылайша, Гаусс алғашқы сандары жазықтықта ғана емес, сонымен қатар түзу бойында да таралады, ал кешенді санды екі еселеу – бұл жай ғана 2-ге көбейту емес, оның нормасын екі еселеу (1+i-ге көбейту) болып табылады, әртүрлі анықтамалар әртүрлі нәтижелерге әкеледі, кейбіреулері әлі де болжам, ал кейбіреулері дәлелденген.
with pk the kth prime and Rn the nth Ramanujan prime. Other generalizations of Bertrand's postulate have been obtained using elementary methods. (In the following, n runs through the set of positive integers.) In 1973, Denis Hanson proved that there exists a prime between 3n and 4n. In 2006, apparently unaware of Hanson's result, M. El Bachraoui proposed a proof that there exists a prime between 2n and 3n. Bertrand’s postulate over the Gaussian integers is an extension of the idea of the distribution of primes, but in this case on the complex plane. Thus, as Gaussian primes extend over the plane and not only along a line, and doubling a complex number is not simply multiplying by 2 but doubling its norm (multiplying by 1+i), different definitions lead to different results, some are still conjectures, some proven.
Сильвестр теоремасы
Бертран постулаты пермутациялық топтарға қолдану үшін ұсынылды. Сильвестр (1814–1897) нашар тұжырымды былай деп кеңейтті: k-дан үлкен k тізбекті натурал сандардың көбейтіндісі k-дан үлкен жай санға бөлінеді. Бертранның (нашар) постулаты одан k = n деп алып, n + 1, n + 2, ..., n + k = 2n сандарын қарастыру арқылы шығады, мұнда n > 1. Сильвестрдің кеңейтуіне сәйкес, осы сандардың біреуі k-дан үлкен жай көбейткішіне ие. Бұл сандардың бәрі 2(k + 1)-ден кішкентай болғандықтан, k-дан үлкен жай көбейткіші бар санның тек бір жай көбейткіші бар, демек, ол жай сан болып табылады. 2n жай сан емес екенін ескеріңіз, сондықтан n < p < 2n шартын қанағаттандыратын жай сан p бар екенін білеміз.
Салдарлар
Жақсы сандар тізбегі, 1 санымен бірге, толық тізбек болып табылады; кез келген оң бүтін санды жақсы сандардың (және 1) қосындысы түрінде, әрқайсысын бір ретке дейін пайдаланып жазуға болады. 1 саны – бүтін сан болатын жалғыз гармониялық сан.