Введение
Существование простого числа между любым числом и его удвоенным.
In number theory, Bertrand's postulate is the theorem that for any integer , there exists at least one prime number with
A less restrictive formulation is: for every , there is always at least one prime such that
Another formulation, where is the th prime, is: for
This statement was first conjectured in 1845 by Joseph Bertrand (1822–1900). Bertrand himself verified his statement for all integers
His conjecture was completely proved by Chebyshev (1821–1894) in 1852 and so the postulate is also called the Bertrand–Chebyshev theorem or Chebyshev's theorem. Chebyshev's theorem can also be stated as a relationship with , the prime counting function (number of primes less than or equal to ):
, for all .
В теории чисел постулат Бертрана — это теорема, утверждающая, что для любого целого числа *n* существует по крайней мере одно простое число *p* такое, что
In number theory, Bertrand's postulate is the theorem that for any integer , there exists at least one prime number with
A less restrictive formulation is: for every , there is always at least one prime such that
Another formulation, where is the th prime, is: for
This statement was first conjectured in 1845 by Joseph Bertrand (1822–1900). Bertrand himself verified his statement for all integers
His conjecture was completely proved by Chebyshev (1821–1894) in 1852 and so the postulate is also called the Bertrand–Chebyshev theorem or Chebyshev's theorem. Chebyshev's theorem can also be stated as a relationship with , the prime counting function (number of primes less than or equal to ):
, for all .
Более мягкая формулировка: для каждого *n* всегда существует по крайней мере одно простое число *p* такое, что
In number theory, Bertrand's postulate is the theorem that for any integer , there exists at least one prime number with
A less restrictive formulation is: for every , there is always at least one prime such that
Another formulation, where is the th prime, is: for
This statement was first conjectured in 1845 by Joseph Bertrand (1822–1900). Bertrand himself verified his statement for all integers
His conjecture was completely proved by Chebyshev (1821–1894) in 1852 and so the postulate is also called the Bertrand–Chebyshev theorem or Chebyshev's theorem. Chebyshev's theorem can also be stated as a relationship with , the prime counting function (number of primes less than or equal to ):
, for all .
Другая формулировка, где *p<sub>n</sub>* — *n*-е простое число, выглядит так: для
In number theory, Bertrand's postulate is the theorem that for any integer , there exists at least one prime number with
A less restrictive formulation is: for every , there is always at least one prime such that
Another formulation, where is the th prime, is: for
This statement was first conjectured in 1845 by Joseph Bertrand (1822–1900). Bertrand himself verified his statement for all integers
His conjecture was completely proved by Chebyshev (1821–1894) in 1852 and so the postulate is also called the Bertrand–Chebyshev theorem or Chebyshev's theorem. Chebyshev's theorem can also be stated as a relationship with , the prime counting function (number of primes less than or equal to ):
, for all .
Это утверждение было впервые высказано как предположение в 1845 году Жозефом Бертраном (1822–1900). Сам Бертран проверил свое утверждение для всех целых чисел ≤ 3 000 000. Предположение было полностью доказано Чебышевым (1821–1894) в 1852 году, поэтому постулат также называют теоремой Бертрана — Чебышева или теоремой Чебышева. Теорему Чебышева также можно сформулировать как соотношение с π(*x*), функцией распределения простых чисел (количество простых чисел, меньших или равных *x*):
π(*x*) > *x*/log(*x*) для всех *x* ≥ 2.
In number theory, Bertrand's postulate is the theorem that for any integer , there exists at least one prime number with
A less restrictive formulation is: for every , there is always at least one prime such that
Another formulation, where is the th prime, is: for
This statement was first conjectured in 1845 by Joseph Bertrand (1822–1900). Bertrand himself verified his statement for all integers
His conjecture was completely proved by Chebyshev (1821–1894) in 1852 and so the postulate is also called the Bertrand–Chebyshev theorem or Chebyshev's theorem. Chebyshev's theorem can also be stated as a relationship with , the prime counting function (number of primes less than or equal to ):
, for all .
Теорема простых чисел
Теорема о простых числах (PNT) подразумевает, что количество простых чисел, не превышающих x, приблизительно равно x/ln(x), поэтому, если заменить x на 2x, мы увидим, что количество простых чисел, не превышающих 2x, асимптотически вдвое больше количества простых чисел, не превышающих x (члены ln(2x) и ln(x) асимптотически эквивалентны). Следовательно, количество простых чисел между n и 2n приблизительно равно n/ln(n) при больших n, и, следовательно, в этом интервале содержится гораздо больше простых чисел, чем гарантирует постулат Бертрана. Таким образом, постулат Бертрана сравнительно слабее, чем PNT. Но PNT – глубокая теорема, в то время как постулат Бертрана можно сформулировать более запоминающимся образом и доказать проще, а также он делает точные утверждения о том, что происходит при малых значениях n. (Кроме того, теорема Чебышёва была доказана до PNT и поэтому представляет исторический интерес.) Схожая и до сих пор не решённая гипотеза Лежандра спрашивает, существует ли для каждого n ≥ 1 простое число p такое, что n² < p < (n + 1)². Опять же, мы ожидаем, что между n² и (n + 1)² будет не одно, а множество простых чисел, но в этом случае PNT не помогает: количество простых чисел, не превышающих x², асимптотически равно x²/ln(x²), в то время как количество простых чисел, не превышающих (x + 1)², асимптотически равно (x + 1)²/ln((x + 1)²), что асимптотически эквивалентно оценке количества простых чисел, не превышающих x². Таким образом, в отличие от предыдущего случая с x и 2x, мы не получаем доказательства гипотезы Лежандра даже для всех больших n. Оценки погрешности для PNT недостаточны (и вообще не могут быть достаточными) для доказательства существования хотя бы одного простого числа в этом интервале.
Обобщения
В 1919 году Рамануджан (1887–1920) использовал свойства гамма-функции, чтобы предложить более простое доказательство, чем у Чебышева. Его короткая статья содержала обобщение постулата, из которого впоследствии возникло понятие простых чисел Рамануджана. Были также обнаружены дальнейшие обобщения простых чисел Рамануджана; например, существует доказательство того, что
где pk – k-е простое число, а Rn – n-е простое число Рамануджана. Другие обобщения постулата Бертрана были получены с использованием элементарных методов. (Далее под n подразумевается множество положительных целых чисел.) В 1973 году Денис Хансон доказал существование простого числа между 3n и 4n. В 2006 году М. Эль Бахрауи, по-видимому, не зная о результате Хансона, предложил доказательство существования простого числа между 2n и 3n. Постулат Бертрана для гауссовых целых чисел является расширением идеи распределения простых чисел, но рассматривается в случае комплексной плоскости. Поскольку гауссовы простые числа распределены по плоскости, а не только по прямой, и удвоение комплексного числа – это не просто умножение на 2, а удвоение его нормы (умножение на 1+i), то различные определения приводят к разным результатам, некоторые из которых остаются гипотезами, а некоторые – доказаны.
Теорема Сильвестра
Постулат Бертрана был предложен для применения к группам перестановок. Сильвестр (1814–1897) обобщил более слабое утверждение следующим образом: произведение k последовательных целых чисел, больших k, делится на простое число, большее k. Из этого следует (более слабая форма) постулата Бертрана, если взять k = n и рассмотреть k чисел n + 1, n + 2, ..., n + k = 2n, где n > 1. Согласно обобщению Сильвестра, одно из этих чисел имеет простой множитель, больший k. Поскольку все эти числа меньше 2(k + 1), число с простым множителем, большим k, имеет только один простой множитель и, следовательно, является простым числом. Заметим, что 2n не является простым, и, таким образом, мы теперь знаем, что существует простое число p, такое что n < p < 2n.
Последствия
Последовательность простых чисел, вместе с 1, является полной последовательностью; любое положительное целое число может быть представлено в виде суммы простых чисел (и 1), используя каждое из них не более одного раза. Единственное гармоническое число, являющееся целым, — это 1.