Кіріспе

математиктер "интуитивті" немесе "наивті" жинақтар теориясы деп атайтын математикалық нысандар жиынтығы

Математикада жинақ – әртүрлі нысандардың жиынтығы. Бұл нысандар жинақтың элементтері немесе мүшелері деп аталады және әдетте кез келген математикалық нысандар болып табылады: сандар, символдар, кеңістіктегі нүктелер, түзулер, басқа геометриялық пішіндер, айнымалылар немесе тіпті басқа жинақтар. Жинақтың элементтерінің саны шекті немесе шексіз болуы мүмкін. Элементтері жоқ бірегей жинақ бар, ол бос жинақ деп аталады; бір элементі бар жинақ – синглетон. Жинақтар элементтері арқылы толық анықталады; яғни, дәл бірдей элементтері бар екі жинақ тең (олар бір жинақ). Бұл қасиет экстенсионалдық деп аталады. Атап айтқанда, бұл тек бір бос жинақ бар екенін білдіреді. Жинақтар қазіргі математикада кеңінен қолданылады. Шындығында, жинақтар теориясы, дәлірек айтқанда, Зермело-Франкель жинақтар теориясы, 20 ғасырдың бірінші жартысынан бері математиканың барлық салалары үшін қатаң негіздерді ұсынудың стандартты тәсілі болып табылады.

Анықтама және белгіленуі

Математикалық мәтіндерде жиынтықтарды көбінесе еңкейтілген үлкен әріптермен белгілейді, мысалы, A, B, C. Жиынтық жинақ немесе топтама деп те аталуы мүмкін, әсіресе оның элементтері өзі жиынтықтар болған жағдайда.

Нысан құрастырушының жазуы

Жинақ құрастырушы белгісі жинақты үлкен жинақтың элементтеріне қойылатын шарт арқылы таңдау ретінде көрсетеді. Мысалы, F жинағын былай анықтауға болады:

Бұл жазуда тік сызық "|" "сияқты" дегенді білдіреді, ал сипаттаманы "F – 0-ден 19-ға дейінгі (19 қоса) аралықтағы бүтін n сандарының жиынтығы" деп түсінуге болады. Кейбір авторлар тік сызық орнына ":" қос нүктені пайдаланады.

Бос жиынтық

Бос жиын (немесе нөлдік жиын) — мүшесі жоқ жалғыз жиын. Ол ∅, {}, , ϕ немесе φ деп белгіленеді.

Бірлік жиынтықтар

Оқшауланған жиын – дәл бір элементі бар жиын; мұндай жиын бірлік жиын деп те аталады. немесе Б ⊇ А. Соңғы белгілеуді «B, A-ны қамтиды», «B, A-ны қосады» немесе «B, A-ның үстін жиыны» деп оқуға болады. ⊆ арқылы орнатылған жиындар арасындағы қатынас инклюзия немесе қамту деп аталады. Екі жиын тең болады, егер олар бір-бірін қамтитын болса: A ⊆ B және B ⊆ A, A = B-ға тең. Бұларға немесе , барлық натурал сандар жиыны кіреді: (көбінесе авторлар 0-ді қоспайды); Мысалы, егер , онда тізімдегі қайталама мүшелер есепке алынбайды, сондықтан да . Екі жиынның арасында біржақты сәйкестік болса, олардың кардиналдылығы бірдей болады. Бос жиынның кардиналдылығы нөлге тең.

Шексіз жиынтықтар мен шексіз кардиналдылық

Кейбір жиынтықтардың элементтерінің тізімі шексіз немесе шексіз. Мысалы, натурал сандар жиыны шексіз. Кардиналдылығы ℕ-ге тең немесе одан кем жиындар саналатын жиындар деп аталады; олар шекті жиындар немесе санауға болатын шексіз жиындар (бірдей кардиналдылығы бар жиындар); кейбір авторлар "саналатын" терминін "санауға болатын шексіз" мағынасында қолданады. Кардиналдылығы ℕ-ден қатаң үлкен жиындар санауға болмайтын жиындар деп аталады. Дегенмен, тура сызықтың (яғни, сызықтағы нүктелер санының) кардиналдығы, сол сызықтың кез келген бөлігінің, бүкіл жазықтықтың және, тіпті, кез келген шекті өлшемді Евклид кеңістігінің кардиналдығымен бірдей екенін көрсетуге болады.

Континуумдық гипотеза

Георг Кантор 1878 жылы тұжырымдаған континуум гипотезасы – бұл натурал сандар жиынының және түзу сызықтың жиынының кардиналдылығы арасында қатаң түрде орналасқан кардиналдылығы бар жиынның жоқтығы туралы мәлімдеме. 1963 жылы Пол Коэн континуум гипотезасының таңдау аксиомасымен бірге Зермело-Франкель жиындар теориясынан тұратын ZFC аксиомалық жүйесіне тәуелсіз екенін дәлелдеді. (ZFC – аксиоматикалық жиындар теориясының ең көп зерттелген түрі.)

Қуаттылық жиынтығы

S жиынтығының қуат жиынтығы – S жиынтығының барлық кіші жиынтықтарынан тұратын жиынтық.

Бөлшектер

S жиынының бөлінісі – S-тің бос емес ішкі жиындарының жиыны, мұнда S-тің әрбір x элементе дәл бір ішкі жиынға кіреді. Яғни, ішкі жиындар өзара шектес (яғни, бөліністің кез келген екі жиынында ортақ элемент жоқ), ал бөліністің барлық ішкі жиындарының біріктірілісі S-ке тең болады.

Қолданбалар

Жинақтар қазіргі заманғы математикада кең таралған. Мысалы, абстрактілі алгебрадағы құрылымдар, топтар, өрістер және сақиналар сияқты, бір немесе бірнеше амал бойынша жабық жиынтықтар болып табылады. Наивтік жиынтықтар теориясының негізгі қолданыстарының бірі – қатынастарды құру. A доменінен B кодоменіне қатынас – A × B карталық көбейтіндісінің ішкі жиыны болып табылады. Мысалы, сол аттас ойындағы пішіндер жиынтығын қарастыратын болсақ, S-тен S-ке дейінгі "жеңіледі" қатынасы келесі жиынтықтан тұрады; демек, x ойында y-ды жеңеді, егер (x, y) жұбы B мүшесі болса. Тағы бір мысал – F жиыны, онда x нақты сан. Бұл қатынас 'R' × 'R' жиынтығының ішкі жиыны болып табылады, себебі барлық квадраттар жиыны барлық нақты сандар жиынтығының ішкі жиыны болып табылады. 'R' әр x үшін F-те бір ғана (x, ) жұбы табылатындықтан, ол функция деп аталады. Функционалдық белгілеуде бұл қатынасты былай жазуға болады .

Аксиомалық жиынтық теориясы

Бұл парадокстарды шешуге жасалған кейінгі тырастықтарда, наивтік жиын теориясының алғашқы тұжырымдалуынан бері, жиындардың қасиеттері аксиомалар арқылы анықталды. Аксиомалық жиын теориясы жиын ұғымын бастапқы түсінік ретінде қабылдайды. Аксиомалардың мақсаты – бірінші реттік логиканы қолданып, жиындар туралы нақты математикалық мәлімдемелердің (нысандардың) растығын немесе жалғандығын шығару үшін негізгі құрылымды ұсыну. Дегенмен, Гёдельдің толық еместік теоремаларына сәйкес, ешқандай нақты аксиомалық жиын теориясының парадокстардан бос екенін дәлелдеу үшін бірінші реттік логиканы қолдану мүмкін емес.