Введение

что математики называют "интуитивной" или "наивной" теорией множеств.
Совокупность математических объектов.

В математике множество — это совокупность различных объектов, которые называются элементами или членами множества и обычно представляют собой математические объекты любого рода: числа, символы, точки в пространстве, линии, другие геометрические фигуры, переменные или даже другие множества. Множество может содержать конечное число элементов или быть бесконечным. Существует единственное множество, не содержащее элементов, называемое пустым множеством; множество, содержащее единственный элемент, называется синглетоном. Множества однозначно определяются своими элементами; это означает, что два множества, содержащие одни и те же элементы, равны (являются одним и тем же множеством). Это свойство называется экстенсиональностью. В частности, из этого следует, что существует только одно пустое множество. Множества широко используются в современной математике. Действительно, теория множеств, а точнее теория множеств Цермело — Френкеля, с первой половины XX века является стандартным способом построения строгого обоснования для всех областей математики.

Определение и обозначение

Математические тексты обычно обозначают множества прописными курсивными буквами, такими как A, B, C. Множество также может называться совокупностью или семейством, особенно когда его элементы сами являются множествами.

Обозначение конструктора наборов

В обозначении конструктора множеств множество определяется как подмножество большего множества, отобранное по определенному условию на элементы. Например, множество F можно определить следующим образом:

В этом обозначении вертикальная черта "|" означает "такое, что", а описание можно интерпретировать как "F – множество всех чисел n, таких что n является целым числом в диапазоне от 0 до 19 включительно". Некоторые авторы используют двоеточие ":" вместо вертикальной черты.

Пустой набор

Пустое множество (или нулевое множество) — это единственное множество, не содержащее элементов. Оно обозначается ∅, {}, , φ или ϕ.

Комплекты с одиночными элементами

Одиночное множество – это множество, содержащее ровно один элемент; такое множество также может называться единичным множеством. или B ⊇ A. Последнее обозначение можно прочитать как "B содержит A", "B включает A" или "B является надмножеством A". Отношение между множествами, устанавливаемое с помощью ⊆, называется включением или содержанием. Два множества равны, если они содержат друг друга: A ⊆ B и B ⊆ A эквивалентно A = B. К ним относятся или , множество всех натуральных чисел: (часто авторы исключают 0); например, если , то повторяющиеся элементы в перечислительной форме записи множества не учитываются, так же как и . Более формально, два множества имеют одинаковую мощность, если между ними существует биекция. Мощность пустого множества равна нулю.

Бесконечные множества и бесконечная кардинальность

Список элементов некоторых множеств бесконечен, или, другими словами, бесконечен. Например, множество натуральных чисел бесконечно. Множества с кардинальностью меньше или равной кардинальности ℕ называются счётными; это либо конечные множества, либо счётные бесконечные множества (множества той же кардинальности, что и ℕ). Некоторые авторы используют термин "счётный" для обозначения "счётного бесконечного". Множества с кардинальностью строго большей, чем у ℕ, называются несчётными. Однако можно показать, что кардинальность прямой (то есть количество точек на прямой) равна кардинальности любого отрезка этой прямой, всей плоскости и, вообще, любого конечномерного евклидова пространства.

Гипотеза континуума

Гипотеза континуума, сформулированная Георгом Кантором в 1878 году, утверждает, что не существует множества, мощность которого строго между мощностью натуральных чисел и мощностью континуума. В 1963 году Пол Коэн доказал, что гипотеза континуума независима от аксиоматической системы ZFC, состоящей из теории множеств Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. (ZFC является наиболее изученной версией аксиоматической теории множеств.)

Электроприводы

Множество степеней множества S — это множество всех подмножеств S.

Перегородки

Разделение множества S — это набор непустых подмножеств S, таких что каждый элемент x из S принадлежит ровно одному из этих подмножеств. Иными словами, эти подмножества попарно не пересекаются (то есть любые два подмножества из разбиения не имеют общих элементов), а объединение всех подмножеств разбиения равно S.

Приложения

Множества повсеместно встречаются в современной математике. Например, структуры в абстрактной алгебре, такие как группы, поля и кольца, являются множествами, замкнутыми относительно одной или нескольких операций. Одно из основных применений наивной теории множеств – построение отношений. Отношение из области определения A в область значений B является подмножеством декартова произведения A × B. Например, рассматривая множество фигур в игре с тем же названием, отношение "побеждает" из S в S – это множество; таким образом, x побеждает y в игре, если пара (x, y) является элементом B. Другой пример – множество F всех пар (x, x²), где x – действительное число. Это отношение является подмножеством R × R, поскольку множество всех квадратов является подмножеством множества всех действительных чисел. Поскольку для каждого x из R находится ровно одна пара (x, x²) в F, оно называется функцией. В функциональной записи это отношение можно записать как f(x) = x².

Аксиоматическая теория множеств

В последующих попытках разрешить эти парадоксы, начиная с момента первоначальной формулировки наивной теории множеств, свойства множеств определялись с помощью аксиом. Аксиоматическая теория множеств рассматривает понятие множества как базовое, не определяемое через другие понятия. Цель аксиом – предоставить фундаментальную основу, из которой можно логически выводить истинность или ложность конкретных математических утверждений о множествах, используя логику первого порядка. Однако, согласно теоремам о неполноте Гёделя, невозможно с помощью логики первого порядка доказать, что какая-либо такая аксиоматическая теория множеств свободна от парадоксов.