Термодинамикалық ашық жүйелер мен ыдырау құрылымдары

Кіріспе

Тепе-теңдікте емес термодинамикалық ашық жүйе. Диссипативтік жүйе – энергия мен зат алмасатын ортада термодинамикалық тепе-теңдіктен шығып, көбінесе одан алыс жұмыс істейтін термодинамикалық ашық жүйе. Мысалы, торнадо диссипативтік жүйе ретінде қарастырылуы мүмкін. Диссипативтік жүйелер консервативтік жүйелерден өзгеше. Диссипативтік құрылым – белгілі бір мағынада қайта өндірілетін тұрақты күйдегі динамикалық режимге ие диссипативтік жүйе. Мұндай қайта өндірілетін тұрақты күйге жүйенің табиғи эволюциясы, жасанды түрде немесе осы екеуінің үйлесімі арқылы қол жеткізілуі мүмкін.

Шолу

Диссипативтік құрылым симметрияның бұзылуының (анизотропияның) спонтанды түрде пайда болуымен және өзара әрекеттесетін бөлшектердің ұзақ қашықтықтағы корреляцияларын көрсететін күрделі, кейде хаотикалық құрылымдардың қалыптасуымен сипатталады. Күнделікті өмірдегі мысалдарға конвекция, турбулентті ағын, циклон, дауыл және тірі организмдер жатады. Сирек кездесетін мысалдарға лазерлер, Бенард жасушалары, тамшылардың шоғыры және Белоусов-Жаботинский реакциясы жатады. Диссипативтік жүйені математикалық түрде модельдеудің бір жолы – бұл шатасқан жиынтықтар туралы мақалада келтірілген: ол өлшенетін жиынтықтарға әрекет ететін топты қамтиды. Диссипативтік жүйелер экономикалық және күрделі жүйелерді зерттеу үшін де қолданылуы мүмкін. Мысалы, наносымдардың өздігінен құралуын қамтитын диссипативтік жүйе энтропияның пайда болуы мен биологиялық жүйелердің тұрақтылығы арасындағы байланысты түсіну үшін модель ретінде пайдаланылды. Хопф ыдырауы динамикалық жүйелерді консервативті және диссипативті бөліктерге жіктеуге болатынын көрсетеді; дәлірек айтқанда, ол кез келген сингуляр емес түрленуі бар өлшем кеңістігін инвариантты консервативті жиынтыққа және инвариантты диссипативті жиынтыққа жіктеуге болатынын көрсетеді.

Термодинамикадағы диссипациялық құрылымдар

Орыс-бельгиялық физикалық химигі Илья Пригожин, диссипативтік құрылым терминін енгізген, 1977 жылы осы құрылымдардағы пионерлік жұмысы үшін химия саласындағы Нобель сыйлығын алды. Бұл құрылымдар термодинамикалық тұрақты күйлер ретінде қарастырылатын динамикалық режимдерге ие, ал кейде тепе-теңдік емес термодинамикадағы тиісті экстремалды принциптермен сипатталуы мүмкін. Нобель лекциясында Пригожин тепе-теңдіктен алыс термодинамикалық жүйелердің тепе-теңдікке жақын жүйелерден өте өзгеше мінез-құлық танытатынын түсіндіреді. Тепе-теңдікке жақын жерде жергілікті тепе-теңдік гипотезасы қолданылады және ішкі энергия мен энтропия сияқты термодинамикалық шамаларды жергілікті түрде анықтауға болады. Жүйенің (ұсақталған) ағыны мен күштері арасындағы сызықтық байланыстарды қарастыруға болады. Сызықтық термодинамиканың екі маңызды нәтижесі – Онсагердің өзара байланыс қатынастары және ең төменгі энтропия өндірісі принципі. Мұндай нәтижелерді тепе-теңдіктен алыс жүйелерге таратуға жасалған тыраштан кейін, олардың осы режимде жарамсыз екені және кері нәтижелер алынғаны анықталды. Мұндай жүйелерді қатаң түрде талдаудың бір жолы – тепе-теңдіктен алыс жүйенің тұрақтылығын зерттеу. Тепе-теңдікке жақын, энтропияның тұрақты максимумға қарай ұмтылатынын қамтамасыз ететін Ляпунов функциясының бар екенін көрсетуге болады. Белгілі бір нүктеге жақын ауытқулар өшеді және жүйенің макроскопиялық сипаттамасы жеткілікті. Алайда, тепе-теңдіктен алыс тұрақтылық жалпы қасиет емес және бұзылуы мүмкін. Химиялық жүйелерде бұл автокатализдік реакциялардың болуымен, мысалы, Брусселятор мысалында көрінеді. Егер жүйе белгілі бір шектен асып кетсе, тербелістер басылмайды, керісінше күшейеді. Математикалық тұрғыдан бұл Хопф бифуркациясына сәйкес келеді, онда параметрлердің біреуін белгілі бір мәннен асыру шешімді циклді мінез-құлыққа әкеледі. Егер реакция-диффузия теңдеуі арқылы кеңістіктік әсерлер ескерілсе, ұзақ қашықтықтағы корреляциялар мен кеңістікте реттелген үлгілер пайда болады, мысалы, Белоусов-Жаботинский реакциясында. Кері қайтарылмайтын процестер нәтижесінде пайда болатын мұндай динамикалық күйлері бар жүйелер диссипативтік құрылымдар болып табылады. Жақындағы зерттеулер Пригожиннің диссипативтік құрылымдар туралы идеяларын биологиялық жүйелермен байланыстыра қайта қарастырды.

Russian Belgian physical chemist Ilya Prigogine, who coined the term dissipative structure, received the Nobel Prize in Chemistry in 1977 for his pioneering work on these structures, which have dynamical regimes that can be regarded as thermodynamic steady states, and sometimes at least can be described by suitable extremal principles in non equilibrium thermodynamics. In his Nobel lecture, Prigogine explains how thermodynamic systems far from equilibrium can have drastically different behavior from systems close to equilibrium. Near equilibrium, the local equilibrium hypothesis applies and typical thermodynamic quantities such as free energy and entropy can be defined locally. One can assume linear relations between the (generalized) flux and forces of the system. Two celebrated results from linear thermodynamics are the Onsager reciprocal relations and the principle of minimum entropy production. After efforts to extend such results to systems far from equilibrium, it was found that they do not hold in this regime and opposite results were obtained. One way to rigorously analyze such systems is by studying the stability of the system far from equilibrium. Close to equilibrium, one can show the existence of a Lyapunov function which ensures that the entropy tends to a stable maximum. Fluctuations are damped in the neighborhood of the fixed point and a macroscopic description suffices. However, far from equilibrium stability is no longer a universal property and can be broken. In chemical systems, this occurs with the presence of autocatalytic reactions, such as in the example of the Brusselator. If the system is driven beyond a certain threshold, oscillations are no longer damped out, but may be amplified. Mathematically, this corresponds to a Hopf bifurcation where increasing one of the parameters beyond a certain value leads to limit cycle behavior. If spatial effects are taken into account through a reaction–diffusion equation, long range correlations and spatially ordered patterns arise, such as in the case of the Belousov–Zhabotinsky reaction. Systems with such dynamic states of matter that arise as the result of irreversible processes are dissipative structures. Recent research has seen reconsideration of Prigogine's ideas of dissipative structures in relation to biological systems.

Басқару теориясындағы диссипациялық жүйелер

Виллемс жүйелер теориясында диссипативтілік тұжырымын алғаш рет енгізді, динамикалық жүйелерді кіріс-шығыс қасиеттері арқылы сипаттау үшін. Динамикалық жүйенің күйі, кірісі және шығысы арқылы сипатталған жағдайда, кіріс-шығыс корреляциясы жеткізу жылдамдығымен беріледі. Егер үздіксіз дифференциалданатын сақтау функциясы болса, онда жүйе жеткізу жылдамдығына қатысты диссипативті болады, яғни , және .

Диссипативтіліктің ерекше жағдайы ретінде, егер жоғарыдағы диссипативтілік теңсіздігі пассивтілік жеткізу жылдамдығына қатысты орындалса, жүйе пассивті болады. Физикалық тұрғыдан алғанда, – жүйеде сақталатын энергия, ал – жүйеге берілетін энергия. Бұл тұжырым Ляпунов тұрақтылығымен тығыз байланысты, онда сақтау функциялары, динамикалық жүйенің басқарылуы және байқалуының белгілі бір шарттарында, Ляпунов функцияларының рөлін атқара алады. Шамамен айтқанда, диссипативтілік теориясы сызықтық және сызықтық емес жүйелер үшін кері байланыс басқару заңдарын жобалау үшін пайдалы. Диссипативтік жүйелер теориясын В. М. Попов, Дж. С. Виллемс, Д. Дж. Хилл және П. Мойлан талқылаған. Сызықтық инвариантты жүйелер жағдайында бұл оң нақты трансферт функциялары деп аталады, ал негізгі құрал – оң нақты жүйелердің күй кеңістігі мен жиілік доменінің қасиеттерін байланыстыратын Калман–Якубович–Попов леммасы. Диссипативтік жүйелер жүйелер және басқару саласындағы белсенді зерттеу нысаны болып табылады, олардың маңызды қолданыстары бар.

Кванттық диссипациялық жүйелер

Кванттық механика және кез келген классикалық динамикалық жүйе уақыттың кері айналуын қамтамасыз ететін Гамильтон механикасына көп сүйенетіндіктен, бұл жуықтаулар диссипативті жүйелерді табиғатынан сипаттауға қабілетсіз. Бір идея бойынша, жүйені – мысалы, осцилляторды – әлсіз байланыс арқылы жылулық ваннаға, яғни кең спектрлі жылулық тепе-теңдіктегі көптеген осцилляторлар жиынтығына қосуға және ванна бойынша орташа мән табуға болады. Бұл негізгі теңдеуді береді, ол Линдблад теңдеуі деп аталатын жалпы жағдайдың ерекше түрі болып табылады және классикалық Лиувилль теңдеуінің кванттық баламасы болып табылады. Бұл теңдеудің және оның кванттық әріптесі уақытты интегралдауға болатын қайтымды айнымалы ретінде қарастырады, бірақ диссипативті құрылымдардың өзі уақытқа қайтымсыз және құрылымдық рөл береді. Жақындағы зерттеулер Джереми Англияның диссипативті бейімделу, популяция динамикасы және хемомеханикалық құрылымдар теориясының кванттық кеңеюін көрсетті.