Введение

Термодинамически открытая система, находящаяся не в равновесии. Диссипативная система – это термодинамически открытая система, функционирующая вне, и зачастую далеко от, термодинамического равновесия во взаимодействии со средой, с которой она обменивается энергией и веществом. Торнадо можно рассматривать как пример диссипативной системы. Диссипативные системы противопоставляются консервативным системам. Диссипативная структура – это диссипативная система, обладающая динамическим режимом, находящимся в некотором смысле в воспроизводимом стационарном состоянии. Это воспроизводимое стационарное состояние может быть достигнуто естественной эволюцией системы, искусственно или в результате их комбинации.

Обзор

Диссипативная структура характеризуется спонтанным возникновением нарушения симметрии (анизотропии) и формированием сложных, иногда хаотических структур, в которых взаимодействующие частицы проявляют корреляции на больших расстояниях. Примеры из повседневной жизни включают конвекцию, турбулентное течение, циклоны, ураганы и живые организмы. Менее распространенными примерами являются лазеры, ячейки Бенара, скопления капель и реакция Белоусова — Жаботинского. Один из способов математического моделирования диссипативной системы описан в статье о странствующих множествах: он включает в себя действие группы на измеримом множестве. Диссипативные системы также могут использоваться как инструмент для изучения экономических и сложных систем. Например, диссипативная система, включающая самосборку нанопроводов, была использована в качестве модели для понимания связи между генерацией энтропии и устойчивостью биологических систем. Разложение Хопфа утверждает, что динамические системы можно разложить на консервативную и диссипативную части; точнее, оно утверждает, что любое пространство с мерой и несингулярным преобразованием можно разложить на инвариантное консервативное множество и инвариантное диссипативное множество.

Диссипативные структуры в термодинамике

Российский бельгийский физико-химик Илья Пригожин, введший термин "диссипативная структура", получил Нобелевскую премию по химии в 1977 году за новаторские работы по изучению этих структур, динамические режимы которых можно рассматривать как термодинамические стационарные состояния, а иногда и описывать подходящими принципами экстремума в неравновесной термодинамике. В своей Нобелевской лекции Пригожин объясняет, как термодинамические системы, далекие от равновесия, могут демонстрировать поведение, радикально отличающееся от систем, близких к равновесию. Вблизи равновесия применима гипотеза локального равновесия, и типичные термодинамические величины, такие как свободная энергия и энтропия, могут быть определены локально. Можно предположить линейные связи между (обобщенными) потоками и силами в системе. Два известных результата линейной термодинамики – это реципрокные соотношения Онсагера и принцип минимального производства энтропии. После попыток распространить эти результаты на системы, далекие от равновесия, было обнаружено, что они неприменимы к этому режиму, и были получены противоположные результаты. Один из способов строгого анализа таких систем – изучение их стабильности вдали от равновесия. Вблизи равновесия можно показать существование функции Ляпунова, гарантирующей, что энтропия стремится к стабильному максимуму. Флуктуации затухают в окрестности неподвижной точки, и достаточно макроскопического описания. Однако вдали от равновесия стабильность перестает быть универсальным свойством и может быть нарушена. В химических системах это происходит при наличии автокаталитических реакций, как, например, в случае Бруселятора. Если система подвергается воздействию, превышающему определенный порог, колебания перестают затухать и могут усиливаться. Математически это соответствует бифуркации Хопфа, при которой увеличение одного из параметров сверх определенного значения приводит к возникновению предельного цикла. Если пространственные эффекты учитываются с помощью уравнения реакции-диффузии, возникают корреляции дальнего действия и пространственно упорядоченные структуры, как в случае реакции Белоусова-Жаботинского. Системы с такими динамическими состояниями материи, возникающими в результате необратимых процессов, являются диссипативными структурами. Недавние исследования привели к переосмыслению идей Пригожина о диссипативных структурах в контексте биологических систем.

Диссипативные системы в теории управления

Виллемс впервые ввёл концепцию диссипативности в теории систем для описания динамических систем через свойства "вход-выход". Рассматривая динамическую систему, описываемую своим состоянием, входом и выходом, корреляция "вход-выход" задается скоростью снабжения энергией. Система считается диссипативной относительно скорости снабжения энергией, если существует непрерывно дифференцируемая функция запаса энергии, такая что , и.

В качестве частного случая диссипативности, система считается пассивной, если вышеуказанное неравенство диссипативности выполняется относительно скорости снабжения энергией, соответствующей пассивности. Физическая интерпретация заключается в том, что представляет собой энергию, запасенную в системе, а – энергию, поступающую в систему. Эта концепция тесно связана со стабильностью по Ляпунову, где функции запаса энергии, при определенных условиях управляемости и наблюдаемости динамической системы, могут играть роль функций Ляпунова. В общих чертах, теория диссипативности полезна для разработки законов управления обратной связью для линейных и нелинейных систем. Теория диссипативных систем обсуждалась В. М. Поповым, Дж. К. Виллемсом, Д. Дж. Хиллом и П. Мойланом. В случае линейных стационарных систем это известно как передаточные функции положительной вещественности, и фундаментальным инструментом является так называемая лемма Калмана – Якубовича – Попова, которая связывает представление в пространстве состояний и частотные характеристики систем положительной вещественности. Диссипативные системы остаются активной областью исследований в теории систем и управления благодаря своим важным приложениям.

Квантовые диссипативные системы

Поскольку квантовая механика, как и любая классическая динамическая система, в значительной степени опирается на гамильтонову механику, для которой время обратимо, эти приближения не способны по своей природе описывать диссипативные системы. Было предложено, что в принципе можно слабо связать систему – например, осциллятор – с резервуаром, то есть совокупностью множества осцилляторов, находящихся в тепловом равновесии с широким спектром, и усреднить (вычислить среднее) по резервуару. Это приводит к основному уравнению, которое является частным случаем более общего подхода, называемого уравнением Линдблада, являющегося квантовым эквивалентом классического уравнения Лиувиля. Общепринятая форма этого уравнения и его квантового аналога рассматривает время как обратимую переменную, по которой производится интегрирование, однако сама природа диссипативных структур подразумевает необратимую и созидательную роль времени. Недавние исследования посвящены квантовому расширению теории Джереми Англии о диссипативной адаптации, динамике популяций и росте, а также химико-механических структур.