Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Стандартты емес сандық жүйе
Non standard numeral system
Кватерлік қияли сандық жүйе – бұл сандық жүйе, оны алғаш рет 1960 жылы Дональд Кнут ұсынды. Стандартты сандық жүйелерден айырмашылығы, олар бүтін санды (мысалы, ондық жүйеде 10 немесе екілік жүйеде 2) негіз ретінде пайдаланса, бұл жүйе 2i (яғни, 2i) қияли санын негіз ретінде қолданады. Ол тек 0, 1, 2 және 3 цифрларын пайдаланып, кез келген комплекс санды (шамамен) бірегей түрде бейнелей алады. Кем нөлден сандар, әдетте минус белгісімен көрсетілсе, кватерлік қияли жүйеде цифрлар тізбегі түрінде бейнеленеді; мысалы, -1 саны кватерлік қияли жазуында "103" деп көрсетіледі.
The quater imaginary numeral system is a numeral system, first proposed by Donald Knuth in 1960. Unlike standard numeral systems, which use an integer (such as 10 in decimal, or 2 in binary) as their bases, it uses the imaginary number 2i (equivalent to ) as its base. It is able to (almost) uniquely represent every complex number using only the digits 0, 1, 2, and 3. Numbers less than zero, which are ordinarily represented with a minus sign, are representable as digit strings in quater imaginary; for example, the number −1 is represented as "103" in quater imaginary notation.
Қиялға айналдыру
Сонымен қатар, ондық санды төртінші қиял жүйесіндегі санға түрлендіруге болады. Кез келген комплекс санның (a+bi түріндегі кез келген санның) төртінші қиял өрнегі болады. Көптеген сандардың бірегей төртінші қиял өрнегі бар, бірақ 1 саны ондық жазуда 1 = 0 сияқты екі өрнекке ие болғандай, 0.2i = саны да екі төртінші қиял өрнегіне ие: 0.2i = 3· = = 1 + 3· = 1.2i. Кез келген комплекс санды төртінші қиялға түрлендіру үшін, санды нақты және қиял бөліктеріне бөлу жеткілікті, содан кейін әр бөлікті жеке түрлендіріп, цифрларды араластыру арқылы нәтижелерді қосу керек. Мысалы, -1 + 4i саны -1 + 4i-ге тең болғандықтан, -1 + 4i санының төртінші қиял өрнегі -1 санының төртінші қиял өрнегінен (яғни 103) және 4i санының төртінші қиял өрнегінен (яғни 20) тұрады, нәтижесінде -1 + 4i = 1232i болады. Қиял бөліктің төртінші қиял өрнегін табу үшін, сол бөлікті 2i-ге көбейту жеткілікті, нәтижесінде нақты сан шығады; содан кейін осы нақты санның төртінші қиял өрнегі табылып, өрнек бір таңбаға оңға жылдырылады (яғни 2i-ге бөлінеді). Мысалы, 6i санының төртінші қиял өрнегі 6i × 2i = -12 көбейту арқылы есептеледі, бұл 3002i ретінде көрсетіледі, содан кейін бір таңбаға оңға жылдырылып, 6i = 302i болады. Кез келген нақты бүтін санның төртінші қиял өрнегін қолмен табуға болады, төменде көрсетілгендей бірнеше теңдеулер жүйесін шешу арқылы, бірақ кері табанды мақалада көрсетілгендей, нақты және қиял сандары үшін жылдам әдістер де бар.
It is also possible to convert a decimal number to a number in the quater imaginary system. Every complex number (every number of the form a+bi) has a quater imaginary representation. Most numbers have a unique quater imaginary representation, but just as 1 has the two representations 1 = 0. in decimal notation, so, because of 0.2i = , the number has the two quater imaginary representations 0.2i = 3· = = 1 + 3· = 1.2i. To convert an arbitrary complex number to quater imaginary, it is sufficient to split the number into its real and imaginary components, convert each of those separately, and then add the results by interleaving the digits. For example, since −1+4i is equal to −1 plus 4i, the quater imaginary representation of −1+4i is the quater imaginary representation of −1 (namely, 103) plus the quater imaginary representation of 4i (namely, 20), which gives a final result of −1+4i = 1232i. To find the quater imaginary representation of the imaginary component, it suffices to multiply that component by 2i, which gives a real number; then find the quater imaginary representation of that real number, and finally shift the representation by one place to the right (thus dividing by 2i). For example, the quater imaginary representation of 6i is calculated by multiplying 6i × 2i = −12, which is expressed as 3002i, and then shifting by one place to the right, yielding: 6i = 302i. Finding the quater imaginary representation of an arbitrary real integer number can be done manually by solving a system of simultaneous equations, as shown below, but there are faster methods for both real and imaginary integers, as shown in the negative base article.
Мысал: елестетілген сан
Таза жорамал санның төртінші жорамал бейнелеуін ∈ i'Z' табу, жоғарыда нақты сан үшін сипатталған әдіске ұқсас. Мысалы, 6i-нің бейнелеуін табу үшін жалпы формула қолданылуы мүмкін. Онда нақты бөліктің коэффициенттерінің бәрі нөлге тең болуы керек, ал кешенді бөлік 6-ны құруы тиіс. Дегенмен, 6i үшін формулаға қарағанда, d1 = 3 және қалған коэффициенттердің бәрі нөл болса, 6i үшін қажетті тізбек алынады. Яғни:
Finding a quater imaginary representation of a purely imaginary integer number ∈ i'Z' is analogous to the method described above for a real number. For example, to find the representation of 6i, it is possible to use the general formula. Then all coefficients of the real part have to be zero and the complex part should make 6. However, for 6i it is easily seen by looking at the formula that if d1 = 3 and all other coefficients are zero, we get the desired string for 6i. That is:
Мысал
Егер i кешенді бірліктің төртінші дәрежелі қиялданған бейнесі табылуы керек болса, бөлшек нүктесі жоқ формула жеткіліксіз болады. Сондықтан жоғарыдағы формула қолданылуы тиіс. Осылайша: dk белгілі бір коэффициенттер үшін. Нақты бөлігі нөл болуы керек болғандықтан: d4 = d2 = d0 = d−2 = 0. Кемді бөлігі үшін, егер d5 = d3 = d−3 = 0 болса және d1 = 1, ал d−1 = 2 болса, цифр тізбегін табуға болады. Аталған коэффициенттерді цифр тізбегінде пайдаланғанда мына нәтиже шығады:
If the quater imaginary representation of the complex unit i has to be found, the formula without radix point will not suffice. Therefore, the above formula should be used. Hence:
for certain coefficients dk. Then because the real part has to be zero: d4 = d2 = d0 = d−2 = 0. For the imaginary part, if d5 = d3 = d−3 = 0 and when d1 = 1 and d−1 = 2 the digit string can be found. Using the above coefficients in the digit string the result is:
Қосу және алу
Кватерлік қиял жүйесінде сандарды қосу және алу мүмкін. Мұнда екі негізгі ережені ескеру қажет:
It is possible to add and subtract numbers in the quater imaginary system. In doing this, there are two basic rules that have to be kept in mind:
Сан 3-тен асса, 4-ті шегеріп, -1-ді екі орынға солға жылжытыңыз. Сан 0-дан төмен түссе, 4-ті қосып, +1-ді екі орынға солға жылжытыңыз. Қысқаша айтқанда: "Төрт қоссаңыз, +1 көтеріңіз. Төрт шегерсеңіз, -1 көтеріңіз". Бұл, әдеттегі ұзын қосудың керісінше, онда ағымдағы бағандағы "көтерілу" келесі сол жақ бағанға 1 қосуды, ал "қарыз алу" шегеруді талап етеді. Кватерлік қиял арифметикасында "көтерілу" келесі бағаннан бірін шегереді, ал "қарыз алу" қосады.
Whenever a number exceeds 3, subtract 4 and "carry" −1 two places to the left. Whenever a number drops below 0, add 4 and "carry" +1 two places to the left. Or for short: "If you add four, carry +1. If you subtract four, carry −1". This is the opposite of normal long addition, in which a "carry" in the current column requires adding 1 to the next column to the left, and a "borrow" requires subtracting. In quater imaginary arithmetic, a "carry" subtracts from the next but one column, and a "borrow" adds.
Мысалдар
Төменде ондық сандарды төртінші қиял сандарға түрлендірудің тағы бірнеше мысалы келтірілген.
Below are some other examples of conversions from decimal numbers to quater imaginary numbers.