Четвертично-мнимая система счисления: основа 2i, цифры 0-3. Представляет комплексные числа, включая отрицательные без знака "минус". Преобразование из десятичной.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Нестандартная система счисления
Non standard numeral system
Кватерная мнимая система счисления — это система счисления, впервые предложенная Дональдом Кнутом в 1960 году. В отличие от стандартных систем счисления, которые используют целое число (например, 10 в десятичной или 2 в двоичной) в качестве основания, она использует мнимое число 2i в качестве основания. Она способна (почти) однозначно представлять каждое комплексное число, используя только цифры 0, 1, 2 и 3. Числа, меньшие нуля, которые обычно представляются знаком минус, могут быть представлены в виде последовательностей цифр в кватерной мнимой системе счисления; например, число −1 представляется как "103" в кватерно-мнимам обозначении.
The quater imaginary numeral system is a numeral system, first proposed by Donald Knuth in 1960. Unlike standard numeral systems, which use an integer (such as 10 in decimal, or 2 in binary) as their bases, it uses the imaginary number 2i (equivalent to ) as its base. It is able to (almost) uniquely represent every complex number using only the digits 0, 1, 2, and 3. Numbers less than zero, which are ordinarily represented with a minus sign, are representable as digit strings in quater imaginary; for example, the number −1 is represented as "103" in quater imaginary notation.
Преобразование в четверть-воображаемое
Также можно преобразовать десятичное число в число в четвертично-воображаемой системе. Каждое комплексное число (каждое число вида a+bi) имеет четвертично-воображаемое представление. Большинство чисел имеют уникальное четвертично-воображаемое представление, но так же, как 1 имеет два представления 1 = 0. в десятичной системе, так, из-за 0.2i = , число имеет два четвертично-воображаемых представления: 0.2i = 3· = = 1 + 3· = 1.2i. Чтобы преобразовать произвольное комплексное число в четвертично-воображаемое, достаточно разложить число на действительную и мнимую компоненты, преобразовать каждую из них отдельно, а затем сложить результаты, чередуя цифры. Например, поскольку −1+4i равно −1 плюс 4i, четвертично-воображаемое представление −1+4i – это четвертично-воображаемое представление −1 (то есть 103) плюс четвертично-воображаемое представление 4i (то есть 20), что дает конечный результат −1+4i = 1232i. Чтобы найти четвертично-воображаемое представление мнимой компоненты, достаточно умножить эту компоненту на 2i, что дает действительное число; затем найти четвертично-воображаемое представление этого действительного числа и, наконец, сдвинуть представление на одну позицию вправо (то есть разделить на 2i). Например, четвертично-воображаемое представление 6i вычисляется путем умножения 6i × 2i = −12, которое выражается как 3002i, а затем сдвигается на одну позицию вправо, получая: 6i = 302i. Найти четвертично-воображаемое представление произвольного действительного целого числа можно вручную, решив систему уравнений, как показано ниже, но существуют более быстрые методы как для действительных, так и для мнимых целых чисел, как описано в статье о системах счисления с отрицательным основанием.
It is also possible to convert a decimal number to a number in the quater imaginary system. Every complex number (every number of the form a+bi) has a quater imaginary representation. Most numbers have a unique quater imaginary representation, but just as 1 has the two representations 1 = 0. in decimal notation, so, because of 0.2i = , the number has the two quater imaginary representations 0.2i = 3· = = 1 + 3· = 1.2i. To convert an arbitrary complex number to quater imaginary, it is sufficient to split the number into its real and imaginary components, convert each of those separately, and then add the results by interleaving the digits. For example, since −1+4i is equal to −1 plus 4i, the quater imaginary representation of −1+4i is the quater imaginary representation of −1 (namely, 103) plus the quater imaginary representation of 4i (namely, 20), which gives a final result of −1+4i = 1232i. To find the quater imaginary representation of the imaginary component, it suffices to multiply that component by 2i, which gives a real number; then find the quater imaginary representation of that real number, and finally shift the representation by one place to the right (thus dividing by 2i). For example, the quater imaginary representation of 6i is calculated by multiplying 6i × 2i = −12, which is expressed as 3002i, and then shifting by one place to the right, yielding: 6i = 302i. Finding the quater imaginary representation of an arbitrary real integer number can be done manually by solving a system of simultaneous equations, as shown below, but there are faster methods for both real and imaginary integers, as shown in the negative base article.
Пример: воображаемое число
Поиск квартичного воображаемого представления чисто воображаемого целого числа ∈ i'Z' аналогичен методу, описанному выше для действительного числа. Например, для нахождения представления 6i можно использовать общую формулу. Тогда все коэффициенты действительной части должны быть равны нулю, а комплексная часть должна составлять 6. Однако для 6i, непосредственно из формулы видно, что если d1 = 3 и все остальные коэффициенты равны нулю, мы получим требуемое представление для 6i. То есть:
Finding a quater imaginary representation of a purely imaginary integer number ∈ i'Z' is analogous to the method described above for a real number. For example, to find the representation of 6i, it is possible to use the general formula. Then all coefficients of the real part have to be zero and the complex part should make 6. However, for 6i it is easily seen by looking at the formula that if d1 = 3 and all other coefficients are zero, we get the desired string for 6i. That is:
Пример
Если необходимо найти четвертое мнимое представление комплексной единицы i, формулы без радикса недостаточно. Поэтому следует использовать вышеуказанную формулу. Следовательно:
If the quater imaginary representation of the complex unit i has to be found, the formula without radix point will not suffice. Therefore, the above formula should be used. Hence:
для определенных коэффициентов dk. Поскольку действительная часть должна быть равна нулю: d4 = d2 = d0 = d−2 = 0. Для мнимой части, если d5 = d3 = d−3 = 0 и при d1 = 1 и d−1 = 2 можно найти цифровую строку. Используя вышеуказанные коэффициенты в цифровой строке, получаем:
for certain coefficients dk. Then because the real part has to be zero: d4 = d2 = d0 = d−2 = 0. For the imaginary part, if d5 = d3 = d−3 = 0 and when d1 = 1 and d−1 = 2 the digit string can be found. Using the above coefficients in the digit string the result is:
Сбор и вычитание
Можно складывать и вычитать числа в системе кватернионных воображаемых чисел. При этом необходимо помнить о двух основных правилах:
It is possible to add and subtract numbers in the quater imaginary system. In doing this, there are two basic rules that have to be kept in mind:
Каждый раз, когда число превышает 3, вычитайте 4 и "перенесите" −1 на два разряда влево. Каждый раз, когда число опускается ниже 0, прибавьте 4 и "перенесите" +1 на два разряда влево. Или, проще говоря: "Если прибавить четыре, перенести +1. Если вычесть четыре, перенести −1". Это противоположно обычному столбиковому сложению, в котором "перенос" в текущем разряде требует прибавления 1 к следующему разряду слева, а "заём" требует вычитания. В арифметике кватернионных воображаемых чисел "перенос" вычитает из следующего, но не ближайшего разряда, а "заём" прибавляет.
Whenever a number exceeds 3, subtract 4 and "carry" −1 two places to the left. Whenever a number drops below 0, add 4 and "carry" +1 two places to the left. Or for short: "If you add four, carry +1. If you subtract four, carry −1". This is the opposite of normal long addition, in which a "carry" in the current column requires adding 1 to the next column to the left, and a "borrow" requires subtracting. In quater imaginary arithmetic, a "carry" subtracts from the next but one column, and a "borrow" adds.
Примеры
Ниже приведены другие примеры преобразований из десятичных чисел в четвертично-мнимые числа.
Below are some other examples of conversions from decimal numbers to quater imaginary numbers.