Кіріспе

Алгебралық операция

Математикада скалярлық көбейту – сызықтық алгебрада векторлық кеңістікті (немесе жалпы алғанда, абстрактілік алгебрада модульді) анықтайтын негізгі операциялардың бірі. Көбінесе геометриялық жағдайларда, оң нақты санға нақты Эвклидтік векторды скалярлық көбейту вектордың бағытын өзгертпей, оның ұзындығын арттырады. Скалярлық көбейту – бұл векторды скалярмен көбейту (мұндағы көбейтінді вектор болады), және оны екі вектордың ішкі көбейтіндісінен (мұндағы көбейтінді скаляр болады) ажырату қажет.

Анықтама

Жалпы, егер K өріс болса және V – K өрісі үстіндегі векторлық кеңістік болса, онда скалярлық көбейту – K × V-ден V-ге функция. Осы функцияны K-дан k және V-дан v-ға қолданғандағы нәтиже kv деп белгіленеді.

Интерпретация

Векторлар кеңістігін элементтері K элементтерінің тізімімен байланыстырылатын координаттар кеңістігі ретінде қарастыруға болады. Өріс бірліктері K× тобын құрайды, ал скалярлық вектор көбейтуі – K× арқылы координаттар кеңістігіндегі топтық әрекет. Өрістің нөлдік элементі координаттар кеңістігіне әсер етіп, оны нөлдік векторға дейін қысқартады. K нақты сандар өрісі болған жағдайда, скалярлық көбейтудің геометриялық түсіндірмесі бар: ол векторларды тұрақты коэффициентпен созады немесе қысқартады. Нәтижесінде бастапқы вектормен бірдей немесе қарама-қарсы бағыттағы, бірақ басқа ұзындықтағы вектор пайда болады. Ерекше жағдай ретінде V-ді K-ның өзі деп қарастыруға болады, онда скалярлық көбейтуді өрістегі көбейту ретінде қарастыруға болады. V – Kn болғанда, скалярлық көбейту әрбір компонентті скалярға көбейтуге тең және осылай анықталуы мүмкін. Егер K коммутативті сақина болса және V – K бойынша модуль болса, дәл осындай қағида қолданылады. K тіпті риг те болуы мүмкін, бірақ онда қосымша кері элементі болмайды. Егер K коммутативті болмаса, сол жақтанғы скалярлық көбейту cv және оң жақтанғы скалярлық көбейту vc операцияларын анықтауға болады.