Введение

Алгебраическая операция

В математике, скалярное умножение является одной из основных операций, определяющих векторное пространство в линейной алгебре (или, в более общем случае, модуль в абстрактной алгебре). В обычных геометрических контекстах, скалярное умножение реального евклидова вектора на положительное вещественное число умножает модуль вектора, не изменяя его направление. Скалярное умножение — это умножение вектора на скаляр (где результатом является вектор), и его следует отличать от скалярного произведения двух векторов (где результатом является скаляр).

Определение

В общем, если K – поле, а V – векторное пространство над K, то скалярное умножение — это функция, отображающая K × V в V. Результат применения этой функции к элементу k из K и элементу v из V обозначается как kv.

Интерпретация

Пространство векторов можно рассматривать как координатное пространство, где элементам сопоставлен список элементов из K. Множество единиц поля образует группу K ×, а скалярное умножение векторов является групповым действием группы K × на координатном пространстве. Нуль поля действует на координатное пространство, сводя его к нулевому вектору. Если K – поле вещественных чисел, то скалярное умножение имеет геометрическую интерпретацию: оно растягивает или сжимает векторы в постоянное число раз. В результате получается вектор, сонаправленный или противоположно направленный исходному, но другой длины. В частности, V может быть само K, и тогда скалярное умножение сводится к умножению в поле. Если V равно Kn, то скалярное умножение эквивалентно умножению каждой компоненты на скаляр и может быть определено таким образом. Та же идея применима, если K – коммутативное кольцо, а V – модуль над K. K может быть даже ригом, но в этом случае отсутствует аддитивная обратная величина. Если K некоммутативно, можно определить различные операции: левое скалярное умножение cv и правое скалярное умножение vc.