Введение

Инструмент для отслеживания локально определенных данных, присоединенных к открытым множествам топологического пространства. В математике, сноп (sheaf) — это инструмент для систематического отслеживания данных (таких как множества, абелевы группы, кольца), присоединенных к открытым множествам топологического пространства и определенных локально по отношению к ним. Например, для каждого открытого множества данными может быть кольцо непрерывных функций, определенных на этом открытом множестве. Такие данные хорошо определены, поскольку их можно ограничить меньшими открытыми множествами, а также данные, присвоенные открытому множеству, эквивалентны всем коллекциям совместимых данных, присвоенных коллекциям меньших открытых множеств, покрывающих исходное открытое множество (интуитивно, каждый элемент данных является суммой его составных частей). Область математики, изучающая снопы, называется теорией снопов. Снопы понимаются концептуально как общие и абстрактные объекты. Их точное определение довольно техническое. Они конкретно определяются как снопы множеств или как снопы колец, например, в зависимости от типа данных, присваиваемых открытым множествам. Существуют также отображения (или морфизмы) из одного снопа в другой; снопы (определенного типа, такие как снопы абелевых групп) вместе с их морфизмами на фиксированном топологическом пространстве образуют категорию. С другой стороны, каждому непрерывному отображению сопоставлены как прямой образ функтора, переводящего снопы и их морфизмы на области определения в снопы и морфизмы на области значений, так и обратный образ функтора, действующего в противоположном направлении. Эти функторы, и некоторые их варианты, являются существенными частями теории снопов. Благодаря своей общности и универсальности, снопы имеют множество применений в топологии и особенно в алгебраической и дифференциальной геометрии. Во-первых, геометрические структуры, такие как дифференцируемое многообразие или схема, могут быть выражены в виде пучка колец на пространстве. В таких контекстах различные геометрические построения, такие как векторные расслоения или дивизоры, естественно задаются в терминах снопов. Во-вторых, снопы предоставляют основу для очень общей теории когомологий, которая также охватывает «обычные» топологические теории когомологий, такие как сингулярные когомологии. Особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий, когомологии снопов обеспечивают мощную связь между топологическими и геометрическими свойствами пространств. Снопы также служат основой для теории D-модулей, которые находят применение в теории дифференциальных уравнений. Кроме того, обобщения снопов на более общие объекты, чем топологические пространства, такие как гротендикова топология, нашли применение в математической логике и теории чисел.

Определения и примеры

Во многих областях математики несколько структур, определенных на топологическом пространстве (например, дифференцируемом многообразии), могут быть естественным образом локализованы или ограничены открытыми подмножествами: типичные примеры включают непрерывные функции с вещественными или комплексными значениями, функции, дифференцируемые по времени (с вещественными или комплексными значениями), ограниченные функции с вещественными значениями, векторные поля и сечения любого векторного расслоения на пространстве. Возможность ограничения данных к меньшим открытым подмножествам приводит к понятию предпучков. Грубо говоря, пучки – это те предпучки, где локальные данные можно склеить в глобальные данные.

Сборные на коллекторах

На многомерном многообразии существует ряд важных пучков, таких как пучок бесконечно дифференцируемых функций (с ). Его сечения на некоторых открытых множествах являются функциями. Для , этот пучок называется пучком структуры и обозначается . Ненулевые функции также образуют пучок, обозначаемый . Дифференциальные формы (степени ) также образуют пучок. Во всех этих примерах морфизмы ограничения задаются ограничением функций или форм. Отображение, посылающее в пространство компактно поддерживаемых функций на , не является пучком, поскольку, как правило, нет способа сохранить это свойство при переходе к меньшему открытому подмножеству. Вместо этого, это образует копучок, двойственное понятие, где отображения ограничения идут в противоположном направлении по сравнению с пучками. Однако, взятие двойственных векторных пространств дает пучок, пучок распределений.

Мотивирующие снопы из сложных аналитических пространств и алгебраической геометрии

Одной из исторических мотиваций для снопов послужило изучение комплексных многообразий, комплексной аналитической геометрии и теории схем в алгебраической геометрии. Это объясняется тем, что во всех вышеупомянутых случаях мы рассматриваем топологическое пространство вместе со структурой пучка, наделяющей его структурой комплексного многообразия, комплексного аналитического пространства или схемы. Такой подход – оснащение топологического пространства пучком – является основополагающим для теории локальнокольцевых пространств (см. ниже).

Технические проблемы с сложными коллекторами

Одной из основных исторических мотиваций для введения пучков было построение инструмента, позволяющего отслеживать голоморфные функции на комплексных многообразиях. Например, на компактном комплексном многообразии (таком как комплексное проективное пространство или множество нулей однородного многочлена в проективном пространстве) единственными голоморфными функциями являются постоянные функции. Это означает, что существуют два компактных комплексных многообразия, которые не изоморфны, но тем не менее их кольца глобальных голоморфных функций, обозначаемые , изоморфны. В отличие от гладких многообразий, где каждое многообразие можно вложить в некоторое , а значит, его кольцо гладких функций происходит из ограничения гладких функций с . Другая сложность при рассмотрении кольца голоморфных функций на комплексном многообразии заключается в том, что для достаточно малого открытого множества , голоморфные функции будут изоморфны . Пучки являются прямым инструментом для решения этой сложности, поскольку они позволяют отслеживать голоморфную структуру на базовом топологическом пространстве на произвольных открытых подмножествах. Это означает, что по мере усложнения топологии , кольцо можно представить как склейку. Следует отметить, что иногда этот пучок обозначается или просто , или даже , когда мы хотим подчеркнуть пространство, которому соответствует пучок структур.

Подмножества с трейлерами с снопами

Другой распространенный пример снопов можно построить, рассматривая комплексное подмногообразие. Существует ассоциированный сноп, который сопоставляет открытому подмножеству кольцо голоморфных функций на нем. Этот формализм оказался чрезвычайно мощным и мотивирует значительную часть гомологической алгебры, такую как когомологии снопов, поскольку теория пересечений может быть построена с использованием подобных снопов, исходя из формулы пересечений Серра.

Стерни снопа

Стебель снопа отражает свойства снопа "в окрестности" точки, обобщая зародыши функций. Здесь "в окрестности" означает, что, концептуально, рассматриваются все меньшие и меньшие окрестности точки. Очевидно, ни одна окрестность не будет достаточно малой, что требует рассмотрения некоторого предела. Более точно, стебель определяется как прямой предел по всем открытым подмножествам, содержащим данную точку. Иными словами, элемент стебля задается сечением над некоторой открытой окрестностью точки , и два таких сечения считаются эквивалентными, если их ограничения совпадают на меньшей окрестности. Естественный морфизм отображает сечение в его зародыш в точке . Это обобщает обычное определение зародыша. Во многих ситуациях достаточно знать стебли снопа, чтобы контролировать сам сноп. Например, проверка того, является ли морфизм снопов мономорфизмом, эпиморфизмом или изоморфизмом, может быть выполнена на стеблях. В этом смысле сноп определяется своими стеблями, которые представляют собой локальные данные. Напротив, глобальная информация, содержащаяся в снопе, то есть глобальные сечения, то есть сечения на всем пространстве, обычно несет меньше информации. Например, для компактного комплексного многообразия глобальные сечения снопа голоморфных функций равны , поскольку любая голоморфная функция постоянна по теореме Лиувиля. Идея о том, что сноп является наилучшим возможным приближением к исходному пространству с помощью снопа, формализуется следующим универсальным свойством: существует естественный морфизм предснопов, такой что для любого снопа и любого морфизма предснопов существует единственный морфизм снопов, удовлетворяющий условию . Фактически, является левым сопряженным функтором к функтору включения (или забывающему функтору) из категории снопов в категорию предснопов, а является единицей сопряжения. Таким образом, категория снопов становится подкатегорией Гиро в категории предснопов. Эта категорическая ситуация объясняет, почему функтор сшификации появляется при построении коядер морфизмов снопов или тензорных произведений снопов, но не при построении ядер, например.

Основная функциональность

Поскольку данные пучка (предпучка) зависят от открытых подмножеств базового пространства, пучки на разных топологических пространствах не связаны друг с другом в том смысле, что между ними нет морфизмов. Однако, при заданном непрерывном отображении между двумя топологическими пространствами, прямое и обратное отображения связывают пучки на одном пространстве с пучками на другом и наоборот.

Обратное изображение

Откат или обратное изображение действует в противоположном направлении: он производит сноп на , обозначаемый , из снопа на . Если является включением открытого подмножества, то обратное изображение является просто ограничением, то есть оно задается формулой для открытого в . Сноп (на некотором пространстве) называется локально постоянным, если существуют открытые подмножества такие, что ограничение на все эти открытые подмножества постоянно. На широком диапазоне топологических пространств такие снопы эквивалентны представлениям фундаментальной группы. Для общих отображений определение более сложное; оно подробно описано в функторе обратного образа. Стержень является существенным частным случаем отката в силу естественной отождествленности, где :

В более общем случае, стержни удовлетворяют .

Модули с кольцевыми пробелами и сборы

В нескольких геометрических дисциплинах, включая алгебраическую геометрию и дифференциальную геометрию, пространства снабжены естественным пучком колец, часто называемым пучком структуры и обозначаемым . Такая пара называется кольцевым пространством. Многие типы пространств могут быть определены как определенные типы кольцевых пространств. Обычно все слои структуры являются локальными кольцами, в этом случае пара называется локально кольцевым пространством. Например, -мерное многообразие является локально кольцевым пространством, чей пучок структуры состоит из функций на открытых подмножествах . Свойство быть локально кольцевым пространством означает, что такая функция, которая ненулевая в точке , также ненулевая на достаточно малой открытой окрестности . Некоторые авторы фактически определяют вещественные (или комплексные) многообразия как локально кольцевые пространства, локально изоморфные паре, состоящей из открытого подмножества (соответственно) вместе с пучком (соответственно голоморфных) функций. Аналогично, схемы, фундаментальное понятие пространств в алгебраической геометрии, являются локально кольцевыми пространствами, локально изоморфными спектру кольца. Для заданного кольцевого пространства, пучок модулей — это пучок, такой что на каждом открытом множестве есть -модуль, и для каждого включения открытых множеств , отображение ограничения совместимо с отображением ограничения: ограничение равно ограничению умноженному на ограничение для любого в и в .
Большинство важных геометрических объектов являются пучками модулей. Например, существует взаимно однозначное соответствие между векторными расслоениями и локально свободными пучками модулей. Эта парадигма применима к вещественным векторным расслоениям, комплексным векторным расслоениям или векторным расслоениям в алгебраической геометрии (где состоит из гладких функций, голоморфных функций или регулярных функций соответственно). Пучки решений дифференциальных уравнений являются модулями, то есть модулями над пучком дифференциальных операторов. На любом топологическом пространстве модули над постоянным пучком совпадают с пучками абелевых групп в вышеуказанном смысле. Существует другой функтор обратного образа для пучков модулей над пучками колец. Этот функтор обычно обозначается и отличается от . См. функтор обратного образа.

Условия конечности для сборок модулей

Условия конечности для модулей над коммутативными кольцами порождают аналогичные условия конечности для пучков модулей: называется конечно порожденным (соответственно, конечно представленным), если для каждой точки из , существует открытое окрестность точки , натуральное число (возможно, зависящее от ), и сюръективный морфизм пучков (соответственно, дополнительно натуральное число , и точная последовательность). В соответствии с понятием когерентного модуля, называется когерентным пучком, если он конечного типа и если для каждого открытого множества и каждого морфизма пучков (не обязательно сюръективного), ядро имеет конечный тип. Пучок когерентен, если он когерентен как модуль над собой. Как и для модулей, когерентность, как правило, является строго более сильным условием, чем конечная презентация. Теорема Оки о когерентности утверждает, что пучок голоморфных функций на комплексном многообразии когерентен.

Эталье снопа

В приведенных выше примерах было отмечено, что некоторые пучки возникают естественным образом как пучки сечений. Фактически, все пучки множеств могут быть представлены как пучки сечений топологического пространства, называемого пространством этале (étalé), от французского слова *étalé*, означающего примерно «распределённый». Если – пучок над , то пространство этале (иногда называемое пространством étale) – это топологическое пространство вместе с локальным гомеоморфизмом таким, что пучок сечений – это . Пространство обычно очень странное, и даже если пучок возникает из естественной топологической ситуации, может не иметь ясной топологической интерпретации. Например, если – пучок сечений непрерывной функции , то тогда и только тогда, когда – локальный гомеоморфизм. Пространство этале построено из ростков над . Как множество, это их непересекающееся объединение, а – очевидное отображение, принимающее значение на ростке над . Топология определяется следующим образом. Для каждого элемента и каждого мы получаем зародыш в , обозначаемый или . Эти зародыши определяют точки . Для любых и , объединение этих точек (для всех ) объявляется открытым в . Заметьте, что каждый росток имеет дискретную топологию как подпространственную топологию. Два морфизма между пучками определяют непрерывное отображение соответствующих пространств этале, которое совместимо с проекционными отображениями (в том смысле, что каждый зародыш отображается в зародыш над той же точкой). Это делает конструкцию функтором. Приведённая выше конструкция определяет эквивалентность категорий между категорией пучков множеств на и категорией пространств этале над . Конструкцию пространства этале можно также применить к предпучку, в этом случае пучок сечений пространства этале восстанавливает пучок, связанный с данным предпучком. Эта конструкция делает все пучки представимыми функторами на определенных категориях топологических пространств. Как и выше, пусть – пучок на , пусть – его пространство этале, и пусть – естественная проекция. Рассмотрим оверкатегорию топологических пространств над , то есть категорию топологических пространств вместе с фиксированными непрерывными отображениями в . Каждый объект этой категории является непрерывным отображением , а морфизм из в – это непрерывное отображение , коммутирующее с двумя отображениями в . Существует функтор, отправляющий объект в . Например, если – включение открытого подмножества, то , а для включения точки , то – это росток в . Существует естественный изоморфизм, который показывает, что (для пространства этале) представляет собой функтор . построено так, что проекционное отображение является покрывающим отображением. В алгебраической геометрии естественный аналог покрывающего отображения называется этальным морфизмом. Несмотря на сходство с «étalé», слово *étale* имеет другое значение во французском языке. Можно превратить в схему, а – в морфизм схем таким образом, чтобы сохранило то же универсальное свойство, но не является в общем случае этальным морфизмом, поскольку он не является квазиконечным. Однако он формально этален. Определение пучков с помощью пространств этале старше определения, данного ранее в статье. Оно до сих пор распространено в некоторых областях математики, таких как математический анализ.

Вычисление кохомологии снопа

Особенно в контексте снопов на многообразиях, когомология снопов часто может быть вычислена с использованием разрешений мягкими снопами, тонкими снопами и флабби-снопами (также известными как фласки-снопами от французского *flasque*, означающего флабби). Например, аргумент с использованием разбиения единицы показывает, что сноп гладких функций на многообразии является мягким. Высшие когомологические группы для мягких снопов обращаются в нуль, что дает способ вычисления когомологии других снопов. Например, комплекс де Рама является разрешением постоянного снопа на любом гладком многообразии, поэтому когомология снопа равна его когомологии де Рама. Другой подход – когомология Чеха. Когомология Чеха была первой теорией когомологии, разработанной для снопов, и она хорошо подходит для конкретных вычислений, таких как вычисление когерентной когомологии снопов комплексного проективного пространства. Она связывает сечения на открытых подмножествах пространства с классами когомологии на пространстве. В большинстве случаев когомология Чеха вычисляет те же когомологические группы, что и когомология производных функторов. Однако для некоторых патологических пространств когомология Чеха даст правильные, но неверные высшие когомологические группы. Чтобы обойти это, Жан-Луи Вердье разработал гиперпокрытия. Гиперпокрытия не только дают правильные группы высшей когомологии, но и позволяют заменять упомянутые выше открытые подмножества определенными морфизмами из другого пространства. Такая гибкость необходима в некоторых приложениях, таких как построение смешанных структур Ходжа Пьера Делиня. Многие другие когерентные когомологические группы снопов находятся с использованием вложения пространства в пространство с известной когомологией, например, или какое-либо взвешенное проективное пространство. Таким образом, известные когомологические группы снопов на этих окружающих пространствах могут быть соотнесены со снопами, давая, например, вычисление когерентной когомологии снопов проективных плоских кривых легко осуществимым. Одна из важных теорем в этой области – разложение Ходжа, найденное с использованием спектральной последовательности, связанной с группами когомологии снопов, доказанной Делинем. По существу, страница с термами "когомология снопа гладкого проективного многообразия" дегенерирует, что дает каноническую структуру Ходжа на группах когомологии. Позже было обнаружено, что эти группы когомологии можно легко и явно вычислить с помощью остатков Гриффитса. См. Якобианский идеал. Эти теоремы приводят к одной из самых глубоких теорем о когомологии алгебраических многообразий, теореме о разложении, прокладывая путь для смешанных модулей Ходжа. Другой изящный подход к вычислению некоторых когомологических групп – теорема Бореля–Ботта–Вейля, которая отождествляет когомологические группы некоторых линейных расслоений на флаг-многообразиях с неприводимыми представлениями групп Ли. Эту теорему можно использовать, например, для легкого вычисления когомологических групп всех линейных расслоений на проективном пространстве и многообразиях Грассмана. Во многих случаях существует теория двойственности для снопов, которая обобщает двойственность Пуанкаре. См. двойственность Гротендика и двойственность Вердье.

Выведенные категории когерентных снопов и группа Grothendieck

Еще одно важное применение производных категорий пучков связано с производной категорией когерентных пучков на схеме, обозначаемой как . Гротендик использовал это в своей разработке теории пересечений с использованием производных категорий и K-теории, а именно, произведение пересечения подсхем представляется в K-теории как , где — когерентные пучки, определяемые модулями, заданными их структурными пучками.

Места и топои

Предположения Андре Вейла утверждали, что существует теория кохомологий для алгебраических многообразий над конечными полями, дающая аналог гипотезы Римана. Когомологии комплексного многообразия можно определить как когомологии снопа локально постоянного снопа в евклидовой топологии, что наводит на мысль об определении теории когомологий Вейля в положительной характеристике как когомологии снопа постоянного снопа. Однако единственной классической топологией на таком многообразии является топология Зариски, и она имеет очень мало открытых множеств – настолько мало, что когомологии любого постоянного снопа Зариски на неприводимом многообразии обращаются в нуль (за исключением степени ноль). Александр Гротендик решил эту проблему, введя топологии Гротендика, которые аксиоматизируют понятие покрытия. Проницательность Гротендика заключалась в том, что определение снопа зависит только от открытых множеств топологического пространства, а не от отдельных точек. Как только он аксиоматизировал понятие покрытия, открытые множества можно было заменить другими объектами. Пресшеф сопоставляет каждому из этих объектов данные, как и прежде, а сноп является пресшефом, удовлетворяющим аксиоме склеивания относительно нашего нового понятия покрытия. Это позволило Гротендику определить этальную и ℓ-адическую когомологии, которые в конечном итоге были использованы для доказательства предположений Вейля. Категория с топологией Гротендика называется сайтом. Категория снопов на сайте называется топосом или топосом Гротендика. Понятие топоса позднее было абстрагировано Уильямом Лоувером и Майлзом Тирни для определения элементарного топоса, который связан с математической логикой.