Недоступные кардиналы в теории множеств

Введение

Тип бесконечного числа в теории множеств

В теории множеств неисчислимый кардинал называется недоступным, если его нельзя получить из меньших кардиналов с помощью обычных операций кардинальной арифметики. Более точно, кардинал κ является сильно недоступным, если он удовлетворяет следующим трем условиям: он неисчислим, он не является суммой менее чем κ кардиналов, меньших κ, и влечет за собой . Термин "недоступный кардинал" является неоднозначным. До 1950 года он означал "слабо недоступный кардинал", но с тех пор обычно означает "сильно недоступный кардинал". Неисчислимый кардинал является слабо недоступным, если он является регулярным слабопредельным кардиналом. Он является сильно недоступным, или просто недоступным, если он является регулярным сильнопредельным кардиналом (это эквивалентно определению, данному выше). Некоторые авторы не требуют, чтобы слабо и сильно недоступные кардиналы были неисчислимыми (в этом случае \aleph 0 является сильно недоступным). Слабо недоступные кардиналы были введены , а сильно недоступные – и , в последней работе они упоминались вместе с как Grenzzahlen. Каждый сильно недоступный кардинал также является слабо недоступным, поскольку каждый сильнопредельный кардинал также является слабопредельным кардиналом. Если выполняется обобщенная гипотеза континуума, то кардинал является сильно недоступным тогда и только тогда, когда он слабо недоступен. \aleph 0 (алеф-нуль) является регулярным сильнопредельным кардиналом. Предполагая аксиому выбора, каждое другое бесконечное кардинальное число является регулярным или (слабым) пределом. Однако только достаточно большое кардинальное число может быть одновременно и тем, и другим, и, следовательно, слабо недоступным. Ординал является слабо недоступным кардиналом тогда и только тогда, когда он является регулярным ординалом и является пределом регулярных ординалов. (Ноль, один и ω являются регулярными ординалами, но не пределами регулярных ординалов.) Кардинал, который является слабо недоступным и также является сильнопредельным кардиналом, является сильно недоступным. Предположение о существовании сильно недоступного кардинала иногда используется в форме предположения о возможности работы внутри вселенной Гротендика, эти две идеи тесно связаны.

In set theory, an uncountable cardinal is inaccessible if it cannot be obtained from smaller cardinals by the usual operations of cardinal arithmetic. More precisely, a cardinal κ is strongly inaccessible if it satisfies the following three conditions: it is uncountable, it is not a sum of fewer than κ cardinals smaller than κ, and implies
The term "inaccessible cardinal" is ambiguous. Until about 1950, it meant "weakly inaccessible cardinal", but since then it usually means "strongly inaccessible cardinal". An uncountable cardinal is weakly inaccessible if it is a regular weak limit cardinal. It is strongly inaccessible, or just inaccessible, if it is a regular strong limit cardinal (this is equivalent to the definition given above). Some authors do not require weakly and strongly inaccessible cardinals to be uncountable (in which case \aleph 0 is strongly inaccessible). Weakly inaccessible cardinals were introduced by , and strongly inaccessible ones by and , in the latter they were referred to along with as Grenzzahlen. Every strongly inaccessible cardinal is also weakly inaccessible, as every strong limit cardinal is also a weak limit cardinal. If the generalized continuum hypothesis holds, then a cardinal is strongly inaccessible if and only if it is weakly inaccessible. \aleph 0 (aleph null) is a regular strong limit cardinal. Assuming the axiom of choice, every other infinite cardinal number is regular or a (weak) limit. However, only a rather large cardinal number can be both and thus weakly inaccessible. An ordinal is a weakly inaccessible cardinal if and only if it is a regular ordinal and it is a limit of regular ordinals. (Zero, one, and ω are regular ordinals, but not limits of regular ordinals.) A cardinal which is weakly inaccessible and also a strong limit cardinal is strongly inaccessible. The assumption of the existence of a strongly inaccessible cardinal is sometimes applied in the form of the assumption that one can work inside a Grothendieck universe, the two ideas being intimately connected.

Модели и согласованность

Теория множеств Зермело–Франкеля с выбором (ZFC) подразумевает, что *n*-й уровень вселенной фон Неймана является моделью ZFC, когда сильно недоступна. И ZF подразумевает, что Вселенная Гёделя является моделью ZFC, когда слабо недоступна. Таким образом, ZF вместе с утверждением "существует слабо недоступный кардинал" подразумевает, что ZFC непротиворечива. Следовательно, недоступные кардиналы являются типом больших кардиналов. Если – стандартная модель ZFC и недоступна в , то: – одна из предполагаемых моделей теории множеств Зермело–Франкеля; и – одна из предполагаемых моделей версии Мендельсона теории множеств фон Неймана–Бернайса–Гёделя, которая исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором; и – одна из предполагаемых моделей теории множеств Морса–Келли. Здесь – множество Δ₀-определимых подмножеств *X* (см. конструктивную вселенную). Однако не обязательно должна быть недоступной или даже кардинальным числом, чтобы быть стандартной моделью ZF (см. ниже). Предположим, – модель ZFC. Либо *V* не содержит сильных недоступных кардиналов, либо, приняв за наименьший сильный недоступный кардинал в *V*, является стандартной моделью ZFC, которая не содержит сильных недоступных кардиналов. Таким образом, непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + "нет сильных недоступных кардиналов". Аналогично, либо *V* не содержит слабых недоступных кардиналов, либо, приняв за наименьший ординал, который слабо недоступен относительно любой стандартной подмодели *V*, является стандартной моделью ZFC, которая не содержит слабых недоступных кардиналов. Следовательно, непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + "нет слабых недоступных кардиналов". Это показывает, что ZFC не может доказать существование недоступного кардинала, поэтому ZFC согласуется с отсутствием каких-либо недоступных кардиналов. Вопрос о том, согласуется ли ZFC с существованием недоступного кардинала, более тонкий. Доказательство, очерченное в предыдущем абзаце, что непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + "нет недоступного кардинала", может быть формализовано в ZFC. Однако, предполагая, что ZFC непротиворечива, никакое доказательство того, что непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + "существует недоступный кардинал", не может быть формализовано в ZFC. Это следует из второй теоремы о неполноте Гёделя, которая показывает, что если ZFC + "существует недоступный кардинал" непротиворечива, то она не может доказать свою собственную непротиворечивость. Поскольку ZFC + "существует недоступный кардинал" доказывает непротиворечивость ZFC, если бы ZFC доказала, что её собственная непротиворечивость подразумевает непротиворечивость ZFC + "существует недоступный кардинал", то эта последняя теория смогла бы доказать свою собственную непротиворечивость, что невозможно, если она непротиворечива. Существуют аргументы в пользу существования недоступных кардиналов, которые не могут быть формализованы в ZFC. Один из таких аргументов, представленный , заключается в том, что класс всех ординалов конкретной модели *M* теории множеств сам по себе был бы недоступным кардиналом, если бы существовала более крупная модель теории множеств, расширяющая *M* и сохраняющая множество элементов *M*.

Zermelo–Fraenkel set theory with Choice (ZFC) implies that the th level of the Von Neumann universe is a model of ZFC whenever is strongly inaccessible. And ZF implies that the Gödel universe is a model of ZFC whenever is weakly inaccessible. Thus, ZF together with "there exists a weakly inaccessible cardinal" implies that ZFC is consistent. Therefore, inaccessible cardinals are a type of large cardinal. If is a standard model of ZFC and is an inaccessible in , then: is one of the intended models of Zermelo–Fraenkel set theory; and is one of the intended models of Mendelson's version of Von Neumann–Bernays–Gödel set theory which excludes global choice, replacing limitation of size by replacement and ordinary choice; and is one of the intended models of Morse–Kelley set theory. Here is the set of Δ0 definable subsets of X (see constructible universe). However, does not need to be inaccessible, or even a cardinal number, in order for to be a standard model of ZF (see below). Suppose is a model of ZFC. Either V contains no strong inaccessible or, taking to be the smallest strong inaccessible in , is a standard model of ZFC which contains no strong inaccessibles. Thus, the consistency of ZFC implies consistency of ZFC+"there are no strong inaccessibles". Similarly, either V contains no weak inaccessible or, taking to be the smallest ordinal which is weakly inaccessible relative to any standard sub model of , then is a standard model of ZFC which contains no weak inaccessibles. So consistency of ZFC implies consistency of ZFC+"there are no weak inaccessibles". This shows that ZFC cannot prove the existence of an inaccessible cardinal, so ZFC is consistent with the non existence of any inaccessible cardinals. The issue whether ZFC is consistent with the existence of an inaccessible cardinal is more subtle. The proof sketched in the previous paragraph that the consistency of ZFC implies the consistency of ZFC + "there is not an inaccessible cardinal" can be formalized in ZFC. However, assuming that ZFC is consistent, no proof that the consistency of ZFC implies the consistency of ZFC + "there is an inaccessible cardinal" can be formalized in ZFC. This follows from Gödel's second incompleteness theorem, which shows that if ZFC + "there is an inaccessible cardinal" is consistent, then it cannot prove its own consistency. Because ZFC + "there is an inaccessible cardinal" does prove the consistency of ZFC, if ZFC proved that its own consistency implies the consistency of ZFC + "there is an inaccessible cardinal" then this latter theory would be able to prove its own consistency, which is impossible if it is consistent. There are arguments for the existence of inaccessible cardinals that cannot be formalized in ZFC. One such argument, presented by , is that the class of all ordinals of a particular model M of set theory would itself be an inaccessible cardinal if there was a larger model of set theory extending M and preserving powerset of elements of M.

Существование собственного класса недоступных

В теории множеств существует множество важных аксиом, утверждающих существование собственного класса кардиналов, удовлетворяющих некоторому интересующему предикату. В случае недоступности, соответствующая аксиома утверждает, что для каждого кардинала μ существует недоступный кардинал κ, строго больший, чем μ, то есть μ < κ. Таким образом, эта аксиома гарантирует существование бесконечной цепочки недоступных кардиналов (иногда её называют аксиомой недоступных кардиналов). Как и в случае существования любого недоступного кардинала, аксиома недоступных кардиналов недоказуема из аксиом ZFC. При предположении ZFC, аксиома недоступных кардиналов эквивалентна аксиоме вселенной Гротендика и Вердье: каждое множество содержится в некоторой вселенной Гротендика. Аксиомы ZFC вместе с аксиомой вселенной (или, эквивалентно, с аксиомой недоступных кардиналов) обозначаются ZFCU (не следует путать с ZFC с уэлементами). Эта аксиоматическая система полезна, например, для доказательства того, что каждая категория имеет подходящее вложение Йонеды. Это относительно слабая аксиома больших кардиналов, поскольку она эквивалентна утверждению, что ∞ является 1-недоступным кардиналом в языке следующего раздела, где ∞ обозначает наименьший ординал, не принадлежащий V, то есть класс всех ординалов в данной модели.

α-недоступные кардиналы и гипернедоступные кардиналы

Термин "α недоступный кардинал" неоднозначен, и разные авторы используют неравнозначные определения. Одно из определений заключается в том, что кардинал κ называется α недоступным для любого порядкового числа α, если κ недоступен и для каждого порядкового числа β < α множество β недоступных кардиналов, меньших κ, неограничено в κ (и, следовательно, имеет кардинальность κ, поскольку κ регулярно). В этом случае 0 недоступных кардиналов совпадают с сильно недоступными кардиналами. Другое возможное определение состоит в том, что кардинал κ называется α слабо недоступным, если κ регулярен и для каждого порядкового числа β < α множество β слабо недоступных кардиналов, меньших κ, неограничено в κ. В этом случае 0 слабо недоступных кардиналов – это регулярные кардиналы, а 1 слабо недоступных кардиналов – слабо недоступные кардиналы. α недоступные кардиналы также можно описать как фиксированные точки функций, подсчитывающих нижние недоступные кардиналы. Например, обозначим ψ0(λ) как λ-й недоступный кардинал, тогда фиксированные точки ψ0 – это 1 недоступные кардиналы. Затем, если ψβ(λ) – это λ-й β недоступный кардинал, фиксированные точки ψβ – это (β+1) недоступные кардиналы (значения ψβ+1(λ)). Если α – предельное порядковое число, то α недоступный кардинал является фиксированной точкой каждого ψβ для β < α (значение ψα(λ) – это λ-й такой кардинал). Этот процесс нахождения фиксированных точек функций, генерирующих последовательно большие кардиналы, часто встречается в изучении больших кардинальных чисел. Термин "гипернедоступный" неоднозначен и имеет по крайней мере три несовместимых значения. Многие авторы используют его для обозначения регулярного предела сильно недоступных кардиналов (1 недоступный). Другие авторы используют его в значении, что κ является κ недоступным. (Он никогда не может быть недоступным.) Иногда используется для обозначения кардинала Мало. Термин "α гипернедоступный" также двусмысленен. Некоторые авторы используют его в значении α недоступный. Другие авторы используют определение, что для любого порядкового числа α кардинал κ является α гипернедоступным тогда и только тогда, когда κ является гипернедоступным и для каждого порядкового числа β < α множество β гипернедоступных кардиналов, меньших κ, неограничено в κ. Гипергипернедоступные кардиналы и так далее могут быть определены аналогичным образом, и, как обычно, этот термин неоднозначен. Используя "слабо недоступный" вместо "недоступный", аналогичные определения могут быть сделаны для "слабо α недоступного", "слабо гипернедоступного" и "слабо α гипернедоступного". Кардиналы Мало недоступны, гипернедоступны, гипергипернедоступны и так далее.

The term "α inaccessible cardinal" is ambiguous and different authors use inequivalent definitions. One definition is that
a cardinal κ is called α inaccessible, for any ordinal α, if κ is inaccessible and for every ordinal β < α, the set of β inaccessibles less than κ is unbounded in κ (and thus of cardinality κ, since κ is regular). In this case the 0 inaccessible cardinals are the same as strongly inaccessible cardinals. Another possible definition is that a cardinal κ is called α weakly inaccessible if κ is regular and for every ordinal β < α, the set of β weakly inaccessibles less than κ is unbounded in κ. In this case the 0 weakly inaccessible cardinals are the regular cardinals and the 1 weakly inaccessible cardinals are the weakly inaccessible cardinals. The α inaccessible cardinals can also be described as fixed points of functions which count the lower inaccessibles. For example, denote by ψ0(λ) the λth inaccessible cardinal, then the fixed points of ψ0 are the 1 inaccessible cardinals. Then letting ψβ(λ) be the λth β inaccessible cardinal, the fixed points of ψβ are the (β+1) inaccessible cardinals (the values ψβ+1(λ)). If α is a limit ordinal, an α inaccessible is a fixed point of every ψβ for β < α (the value ψα(λ) is the λth such cardinal). This process of taking fixed points of functions generating successively larger cardinals is commonly encountered in the study of large cardinal numbers. The term hyper inaccessible is ambiguous and has at least three incompatible meanings. Many authors use it to mean a regular limit of strongly inaccessible cardinals (1 inaccessible). Other authors use it to mean that κ is κ inaccessible. (It can never be inaccessible.) It is occasionally used to mean Mahlo cardinal. The term α hyper inaccessible is also ambiguous. Some authors use it to mean α inaccessible. Other authors use the definition that
for any ordinal α, a cardinal κ is α hyper inaccessible if and only if κ is hyper inaccessible and for every ordinal β < α, the set of β hyper inaccessibles less than κ is unbounded in κ.

Hyper hyper inaccessible cardinals and so on can be defined in similar ways, and as usual this term is ambiguous. Using "weakly inaccessible" instead of "inaccessible", similar definitions can be made for "weakly α inaccessible", "weakly hyper inaccessible", and "weakly α hyper inaccessible". Mahlo cardinals are inaccessible, hyper inaccessible, hyper hyper inaccessible, and so on.

Две теоретические модели характеристики недоступности

Во-первых, кардинал κ недоступен тогда и только тогда, когда κ обладает следующим свойством отражения: для любого подмножества существует такое α, что является элементарной подструктурой (В действительности, множество таких α замкнуто и неограничено в κ). Следовательно, κ не описуемо для всех n ≥ 0. С другой стороны, не обязательно существует порядковое число α такое, что , и если это так, то должно быть α-м недоступным кардиналом. В ZF можно доказать, что κ обладает несколько более слабым свойством отражения, где подструктура требуется быть "элементарной" лишь относительно конечного множества формул. В конечном итоге, причина этого ослабления заключается в том, что, хотя модель-теоретическое отношение удовлетворения ⊧ может быть определено, сама семантическая истина (т.е. ) не может быть определена из-за теоремы Тарского. Во-вторых, в ZFC теорема категоричности Зермело показывает, что κ недоступен тогда и только тогда, когда κ является моделью ZFC второго порядка. В этом случае, в силу вышеупомянутого свойства отражения, существует такое α, что является стандартной моделью (первого порядка) ZFC. Следовательно, существование недоступного кардинала является более сильной гипотезой, чем существование транзитивной модели ZFC. Недоступность κ – это свойство над κ, в то время как недоступность кардинала κ (в некоторой модели, содержащей κ) – это свойство внутри этой модели.

Цитируемые работы

Please provide the English text and the existing translation reference. I need both to perform the translation as requested. I will then provide only the final Russian translation.