Введение
Большое кардинальное число, которое трудно описать на данном языке.
В теории множеств, ветви математики, Q-неописуемый кардинал — это определённый вид большого кардинального числа, которое трудно аксиоматизировать в некотором языке Q. Существует много различных типов неописуемых кардиналов, соответствующих различным выборам языков Q. Они были введены. Кардинальное число называется неописуемым, если для каждого предложения φ и множества X с |X| < κ существует множество Y с |Y| < κ такое, что φ(Y) истинно. Следуя иерархии Леви, здесь рассматриваются формулы с m ≥ 1 чередованиями кванторов, причём самый внешний квантор — всеобщий. Неописуемые кардиналы определяются аналогичным образом, но с самым внешним экзистенциальным квантором. Перед определением структуры к языку теории множеств добавляется один новый предикативный символ, который интерпретируется как принадлежность множеству A. Идея заключается в том, что κ нельзя отличить (рассматривая снизу) от меньших кардиналов никакой формулой логики порядка n+1 с m ≥ 1 чередованиями кванторов, даже с преимуществом дополнительного унарного предикативного символа (для A). Это означает, что он большой, поскольку это подразумевает, что должно существовать много меньших кардиналов с похожими свойствами. Кардинальное число называется полностью неописуемым, если оно неописуемо для всех положительных целых чисел m и n.
A cardinal number is called indescribable if for every proposition , and set with there exists an with Following Lévy's hierarchy, here one looks at formulas with m 1 alternations of quantifiers with the outermost quantifier being universal. indescribable cardinals are defined in a similar way, but with an outermost existential quantifier. Prior to defining the structure , one new predicate symbol is added to the language of set theory, which is interpreted as The idea is that cannot be distinguished (looking from below) from smaller cardinals by any formula of n+1 th order logic with m 1 alternations of quantifiers even with the advantage of an extra unary predicate symbol (for A). This implies that it is large because it means that there must be many smaller cardinals with similar properties. The cardinal number is called totally indescribable if it is indescribable for all positive integers m and n.
Если κ — ординал, то кардинальное число κ называется неописуемым, если для каждой формулы φ и каждого подмножества X ⊆ κ, такого что φ(X) истинно в κ, существует подмножество Y ⊆ κ такое, что φ(Y) истинно в κ. Если κ бесконечно, то неописуемые ординалы являются полностью неописуемыми, а если κ конечно, то они совпадают с неописуемыми кардиналами. Не существует κ, которое было бы неописуемым, и неописуемость не обязательно влечёт за собой неописуемость для любого κ, но существует альтернативное понятие проницательных кардиналов, которое имеет смысл, когда κ = ω: если φ(X) истинно в κ, то существуют ординалы α и β такие, что φ(X ∩ [α, β)) истинно.
Историческая записка
Первоначально кардинал κ назывался Q-неописуемым, если для любой Q-формулы и отношения , если , то существует такое , что . Используя это определение, κ является Q-неописуемым тогда и только тогда, когда κ регулярен и больше, чем . Это свойство также называют "ординарной неописуемостью". С. 32
Равноценные условия
Кардинал неописуем, если он неописуем. Кардинал недоступен тогда и только тогда, когда он неописуем для всех положительных целых чисел, что эквивалентно тому, что он неописуем, что эквивалентно тому, что он неописуем. Неописуемые кардиналы совпадают со слабо компактными кардиналами. Условие неописуемости эквивалентно выполнению принципа отражения (который доказуем в ZFC), но расширенного до формул высшего порядка со второй свободной переменной. Следствие 4.3.
Если V=L, то для натурального числа n>0, неисчислимый кардинал является Π-неописуемым тогда и только тогда, когда он (n+1)-стационарен.
Принудительные классы
Для класса ординалов и неделимого кардинала, говорят, что он реализуется в (с помощью некоторой формулы) если существует формула и такое, что , но для любого с не выполняется. Для , свойство быть неделимым и свойство быть неделимым является двусторонним для этого (см. Два модельно-теоретических описания недоступности). Измеримые кардиналы неделимы, но наименьший измеримый кардинал не является неделимым. Однако, при допущении аксиомы выбора, существует много абсолютно неделимых кардиналов ниже любого измеримого кардинала. Для , ZFC+"существует неделимый кардинал" эквивалентно по консистенции ZFC+"существует неделимый кардинал такой, что ", то есть "GCH не выполняется в неделимом кардинале".