Введение

Математический объект, изучаемый в области алгебраической геометрии – алгебраические многообразия.

Алгебраические многообразия являются центральными объектами исследования в алгебраической геометрии, разделе математики. Классически алгебраическое многообразие определяется как множество решений системы полиномиальных уравнений над действительными или комплексными числами. Современные определения обобщают это понятие несколькими различными способами, стремясь сохранить геометрическую интуицию, лежащую в основе первоначального определения. Соглашения относительно определения алгебраического многообразия немного различаются. Например, некоторые определения требуют, чтобы алгебраическое многообразие было неприводимым, что означает, что оно не является объединением двух меньших множеств, замкнутых в топологии Зариски. При этом определении неприводимые алгебраические многообразия называются алгебраическими множествами. Другие соглашения не требуют неприводимости. Фундаментальная теорема алгебры устанавливает связь между алгеброй и геометрией, показывая, что моничный полином (алгебраический объект) в одной переменной с комплексными коэффициентами определяется множеством его корней (геометрическим объектом) в комплексной плоскости. Обобщая этот результат, теорема Гильберта о нулях обеспечивает фундаментальное соответствие между идеалами многочленных колец и алгебраическими множествами. Используя теорему о нулях и связанные с ней результаты, математики установили тесную связь между вопросами об алгебраических множествах и вопросами теории колец. Это соответствие является определяющей чертой алгебраической геометрии. Многие алгебраические многообразия являются дифференцируемыми многообразиями, но алгебраическое многообразие может иметь сингулярные точки, в то время как дифференцируемое многообразие не может. Алгебраические многообразия можно характеризовать их размерностью. Алгебраические многообразия размерности один называются алгебраическими кривыми, а алгебраические многообразия размерности два – алгебраическими поверхностями. В контексте современной теории схем алгебраическое многообразие над полем является целостной (неприводимой и редуцированной) схемой над этим полем, структура морфизма которой является разделяющей и конечного типа.

Обзор и определения

Аффинное многообразие над алгебраически замкнутым полем является концептуально самым простым типом многообразия для определения, что и будет сделано в этом разделе. Далее можно определить проективные и квазипроективные многообразия аналогичным образом. Наиболее общее определение многообразия получается путем «склеивания» меньших квазипроективных многообразий. Неочевидно, что таким образом можно построить действительно новые примеры многообразий, но Нагата в 1950-х годах привел пример такого нового многообразия.

Проективные и квазипроективные сорта

Пусть k — алгебраически замкнутое поле и пусть Pⁿ — проективное n-мерное пространство над k. Пусть f ∈ k[x₀, ..., xₙ] — однородный многочлен степени d. Некорректно определено вычисление значения f в точках Pⁿ в однородных координатах. Однако, поскольку f однородна, то есть, имеет смысл спрашивать, обращается ли f в нуль в точке [x₀ : ... : xₙ]. Для каждого множества S однородных многочленов определим нулевое множество S как множество точек в Pⁿ, в которых функции из S обращаются в нуль:

Подмножество V множества Pⁿ называется проективным алгебраическим множеством, если V = Z(S) для некоторого S. Нередуцируемое проективное алгебраическое множество называется проективным многообразием. Проективные многообразия также снабжены топологией Зариски, при которой все алгебраические множества объявляются замкнутыми. Для подмножества V ⊆ Pⁿ обозначим I(V) идеалом, порожденным всеми однородными многочленами, обращающимися в нуль на V. Для любого проективного алгебраического множества V координатное кольцо V является факторкольцом кольца многочленов по этому идеалу. Квазипроективное многообразие — это открытое подмножество Зариски проективного многообразия. Заметьте, что каждое аффинное многообразие является квазипроективным. Обратите внимание также, что дополнение алгебраического множества в аффинном многообразии является квазипроективным многообразием; в контексте аффинных многообразий такое квазипроективное многообразие обычно не называют многообразием, а конструктивным множеством.

Абстрактные сорта

В классической алгебраической геометрии все многообразия по определению были квазипроективными многообразиями, то есть они представляли собой открытые подмногообразия замкнутых подмногообразий проективного пространства. Например, в главе 1 Хартсхорна многообразие над алгебраически замкнутым полем определяется как квазипроективное многообразие, но начиная с главы 2 термин «многообразие» (также называемое абстрактным многообразием) относится к более общему объекту, который локально является квазипроективным многообразием, но рассматриваемый как целое, не обязательно является квазипроективным; то есть оно может не иметь вложения в проективное пространство. Таким образом, классически определение алгебраического многообразия требовало вложения в проективное пространство, и это вложение использовалось для определения топологии на многообразии и регулярных функций на многообразии. Недостатком такого определения является то, что не все многообразия обладают естественными вложениями в проективное пространство. Например, согласно этому определению, произведение P¹ × P¹ не является многообразием, пока оно не будет вложено в большее проективное пространство; это обычно делается с помощью вложения Сегре. Более того, любое многообразие, допускающее одно вложение в проективное пространство, допускает множество других, например, путем композиции вложения с вложением Веронезе; таким образом, многие понятия, которые должны быть внутренними, такие как регулярная функция, не являются очевидно таковыми. Первая успешная попытка определить алгебраическое многообразие абстрактно, без вложения, была предпринята Андре Вейлем. В его «Основах алгебраической геометрии» он использовал оценки. Клод Шевалье дал определение схемы, которое служило аналогичной цели, но было более общим. Однако определение схемы Александра Гротендика ещё более обще и получило наибольшее распространение. В языке Гротендика абстрактное алгебраическое многообразие обычно определяется как целостная, разделенная схема конечного типа над алгебраически замкнутым полем, хотя некоторые авторы опускают условие неприводимости, редуцированности или разделенности или допускают, чтобы основное поле не было алгебраически замкнутым. Классические алгебраические многообразия — это квазипроективные целостные разделенные схемы конечного типа над алгебраически замкнутым полем.

Существование неквазипроективных абстрактных алгебраических разновидностей

Один из самых ранних примеров не квазипроективного алгебраического многообразия был предложен Нагатой.

Подсорт

Подмногообразие — это подмножество многообразия, которое само является многообразием (относительно топологической структуры, индуцированной окружающим многообразием). Например, любое открытое подмножество многообразия является многообразием. См. также замкнутое погружение. Теорема Гильберта о нулях утверждает, что замкнутые подмногообразия аффинного или проективного многообразия находятся во взаимно однозначном соответствии с простыми идеалами или нетривиальными однородными простыми идеалами кольца координат многообразия.

Пример 1

Пусть , и A2 – двумерное аффинное пространство над C. Полиномы в кольце C[x, y] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A2, вычисляя их значения в точках A2. Пусть подмножество S из C[x, y] содержит единственный элемент f(x, y):

Нулевое множество f(x, y) – это множество точек в A2, в которых эта функция обращается в ноль: это множество всех пар комплексных чисел (x, y), удовлетворяющих условию y = 1 − x. Это называется линией в аффинной плоскости. (В классической топологии, индуцированной топологией на комплексных числах, комплексная прямая является вещественным многообразием размерности два.) Это множество Z(f).

Таким образом, подмножество A2 является алгебраическим множеством. Множество V не пусто. Оно неприводимо, поскольку его нельзя представить в виде объединения двух собственных алгебраических подмножеств. Следовательно, это аффинное алгебраическое многообразие.

Пример 2

Пусть , и A2 – двумерное аффинное пространство над C. Полиномы в кольце C[x, y] можно рассматривать как комплекснозначные функции на A2, вычисляя их значения в точках A2. Пусть подмножество S кольца C[x, y] содержит единственный элемент g(x, y):

Нулевой локус g(x, y) – это множество точек в A2, в которых эта функция обращается в ноль, то есть множество точек (x, y), удовлетворяющих уравнению x² + y² = 1. Поскольку g(x, y) – абсолютно неприводимый многочлен, это алгебраическое многообразие. Множество его вещественных точек (то есть точек, для которых x и y – действительные числа) известно как единичная окружность; это название часто используется и для всего многообразия.

Пример 3

Следующий пример не является ни гиперповерхностью, ни линейным пространством, ни отдельной точкой. Пусть A3 – трехмерное аффинное пространство над C. Множество точек (x, x², x³) для x из C является алгебраическим многообразием, а точнее алгебраической кривой, не содержащейся ни в одной плоскости. Это скрученная кубика, изображенная на рисунке выше. Она может быть задана уравнениями

Неприводимость этого алгебраического множества требует доказательства. Один из подходов в этом случае – проверить, что проекция (x, y, z) → (x, y) инъективна на множестве решений и что её образ является неприводимой плоской кривой. Для более сложных примеров можно всегда привести аналогичное доказательство, но оно может потребовать сложных вычислений: сначала вычисление базиса Грёбнера для определения размерности, за которым может следовать случайное линейное изменение переменных (не всегда необходимо); затем вычисление базиса Грёбнера для другого мономиального порядка для вычисления проекции и доказательства того, что она является инъективной в общем случае и что её образ является гиперповерхностью, и, наконец, факторизация многочлена для доказательства неприводимости образа.

Общая линейная группа

Множество n × n матриц над базовым полем k можно отождествить с аффинным n²-мерным пространством с координатами, такими что (i, j)-й элемент матрицы равен . Определитель является тогда многочленом от и, следовательно, определяет гиперповерхность в . Дополнение к этой гиперповерхности является открытым подмножеством в , состоящим из всех невырожденных n × n матриц, то есть общей линейной группы. Это аффинное многообразие, поскольку, в общем случае, дополнение гиперповерхности в аффинном многообразии является аффинным. Явно рассмотрим , где аффинная прямая задана координатой t. Тогда эквивалентно нулевому множеству в многочлена от :

то есть множеству матриц A, для которых существует решение. Это лучше всего понять алгебраически: координатное кольцо является локализацией , которую можно отождествить с . Мультипликативная группа k* базового поля k совпадает с , и, следовательно, является аффинным многообразием. Конечное произведение таких групп является алгебраическим тором, который также является аффинным многообразием. Общая линейная группа является примером линейной алгебраической группы – аффинного многообразия, обладающего структурой группы, такой что групповые операции являются морфизмами многообразий.

Характерный сорт

Пусть A — не обязательно коммутативная алгебра над полем k. Даже если A не коммутативна, может случиться, что A имеет фильтрацию, такую что факторкольцо является коммутативным, редуцированным и конечно порожденным как k-алгебра; то есть, это координатное кольцо аффинного (редуцируемого) многообразия X. Например, если A — универсальная огибающая алгебра конечномерной алгебры Ли, то факторкольцо является полиномиальным кольцом (теорема PBW); точнее, координатным кольцом двойственного векторного пространства. Пусть M — фильтрованный модуль над A (то есть, ). Если факторкольцо конечно порождено как k-алгебра, то поддержка M в X, то есть, множество точек, где M не обращается в нуль, называется характеристическим многообразием M. Это понятие играет важную роль в теории D-модулей.

Проективный сорт

Проективное многообразие — замкнутое подмногообразие проективного пространства. Иными словами, это множество нулей системы однородных многочленов, порождающих простой идеал.

Пример 1

Плоская проективная кривая — это множество нулей неразложимого однородного многочлена от трёх переменных. Проективная прямая P1 является примером проективной кривой; её можно рассматривать как кривую в проективной плоскости P2 = {[x, y, z]}, определяемую уравнением x = 0. В качестве другого примера рассмотрим аффинную кубическую кривую в двумерном аффинном пространстве (над полем характеристики, не равной двум). Она имеет соответствующее кубическое однородное полиномиальное уравнение, определяющее кривую в P2, называемую эллиптической кривой. Кривая имеет род один (формула для рода); в частности, она не изоморфна проективной прямой P1, которая имеет род ноль. Использование рода для различения кривых является базовым: фактически, род — это первый инвариант, используемый для классификации кривых (см. также построение модулей алгебраических кривых).

Пример 2: Грасманский

Пусть V — конечномерное векторное пространство. Грассманово многообразие Gn(V) — это множество всех n-мерных подпространств V. Оно является проективным многообразием: оно вложено в проективное пространство посредством вложения Плюккера:

где bi — любой набор линейно независимых векторов в V, — n-я внешняя степень V, а скобки [w] обозначают прямую, порожденную ненулевым вектором w.

Грассманово многообразие снабжено естественным векторным расслоением (или локально свободным пучком в другой терминологии), называемым тавтологическим расслоением, которое играет важную роль в изучении характеристических классов, таких как классы Черна.

Якобская разновидность и абелева

Пусть C — гладкая полная кривая и Pic(C) — ее группа Пикара, то есть группа классов изоморфизма линейных расслоений на C. Поскольку C гладкая, Pic(C) можно отождествить с группой классов делителей C, и, следовательно, существует гомоморфизм степени deg. Якобиан C — это ядро этого отображения степени; то есть, группа классов делителей на C степени нуль. Якобиан является примером абелева многообразия, полного многообразия с совместимой структурой абелевой группы на нем (название "абелево" однако не связано с тем, что это абелева группа). Абелево многообразие оказывается проективным (вкратце, алгебраические тета-функции дают вложение в проективное пространство. См. уравнения, определяющие абелевы многообразия); таким образом, Якобиан является проективным многообразием. Касательное пространство к Якобиану в единичном элементе естественно изоморфно H⁰(C, Ω¹), следовательно, размерность Якобиана равна роду C.

Зафиксируем точку O на C. Для каждого целого числа n существует естественный морфизм

φn: Cⁿ → Pic(C), где Cⁿ — произведение n копий C. Для n = 1 (то есть, C — эллиптическая кривая), вышеуказанный морфизм φ₁ оказывается изоморфизмом; в частности, эллиптическая кривая является абелевым многообразием.

Сорты модули

При заданном целом числе , множество классов изоморфизма гладких полных кривых рода называется модулями кривых рода и обозначается как . Существует несколько способов показать, что эти модули имеют структуру, возможно, редуцируемого алгебраического многообразия; например, один из способов — использовать геометрическую инвариантную теорию, которая гарантирует, что множество классов изоморфизма имеет (редуцируемую) квазипроективную структуру многообразия. Модули, такие как модули кривых фиксированного рода, обычно не являются проективными многообразиями; приблизительно, причина в том, что предельный переход (дегенерация) гладкой кривой, как правило, приводит к негладкой или редуцируемой кривой. Это приводит к понятию стабильной кривой рода , не обязательно гладкой полной кривой, лишенной слишком плохих особенностей и не имеющей слишком большой группы автоморфизмов. Модули стабильных кривых , множество классов изоморфизма стабильных кривых рода, является проективным многообразием, содержащим в качестве открытого подмножества. Поскольку получается добавлением граничных точек к , говорят, что является компактификацией . Исторически, в работе Мамфорда и Делиня было введено понятие стабильной кривой, чтобы показать, что она является неприводимой, когда .

Модули кривых иллюстрируют типичную ситуацию: модули "хороших" объектов, как правило, не являются проективными, а лишь квазипроективными. Другой пример — модули векторных расслоений на кривой. Здесь существуют понятия стабильных и полустабильных векторных расслоений на гладкой полной кривой. Модули полустабильных векторных расслоений заданного ранга и заданной степени (степени детерминанты расслоения) являются проективным многообразием, обозначаемым как , которое содержит множество классов изоморфизма стабильных векторных расслоений ранга и степени в качестве открытого подмножества. Поскольку прямая сумма расслоений стабильна, такой модуль является обобщением якобиана.

В общем случае, в отличие от модулей кривых, компактификация модуля не обязана быть единственной, и в некоторых случаях различные неэквивалентные компактификации строятся с использованием различных методов и разными авторами. Примером является задача компактификации , частного от деления ограниченной симметричной области действием арифметической дискретной группы. Базовым примером является случай, когда , верхняя полуплоскость Сигеля, и соизмерима с ; в этом случае имеет интерпретацию как модули принципиально поляризованных комплексных абелевых многообразий размерности (принципиальная поляризация отождествляет абелево многообразие с его дуальным). Теория торических многообразий (или вложений торов) дает способ компактификации , тороидальную компактификацию. Но существуют и другие способы компактификации; например, существует минимальная компактификация, предложенная Бейли и Борелем: это проективное многообразие, связанное с градуированным кольцом, образованным модулярными формами (в случае Сигеля — модулярными формами Сигеля; см. также модулярное многообразие Сигеля). Неединственность компактификаций обусловлена отсутствием модульной интерпретации этих компактификаций; то есть они не представляют (в смысле теории категорий) какую-либо естественную задачу модулей или, точнее говоря, не существует естественного стека модулей, который был бы аналогом стека модулей стабильных кривых.

Неаффинный и непроективный пример

Алгебраическое многообразие не может быть одновременно аффинным и проективным. Чтобы привести пример, пусть X = P¹ × A¹ и p: X → A¹ — проекция. Здесь X является алгебраическим многообразием, поскольку оно является произведением многообразий. Оно не является аффинным, поскольку P¹ является замкнутым подмногообразием X (как нулевое множество p), а аффинное многообразие не может содержать проективное многообразие положительной размерности в качестве замкнутого подмногообразия. Оно также не является проективным, поскольку на X существует неконстантная регулярная функция, а именно p. Другой пример неаффинного непроективного многообразия — X = A² − (0, 0).

Непримеры

Рассмотрим аффинную прямую над полем . Дополнение круга в не является алгебраическим многообразием (даже не алгебраическим множеством). Обратите внимание, что не является многочленом от (хотя это многочлен от вещественных координат). С другой стороны, дополнение начала координат в является алгебраическим (аффинным) многообразием, поскольку начало координат является нуль-множеством . Это можно объяснить следующим образом: аффинная прямая имеет размерность один, и поэтому любая её подмногообразие, кроме самой прямой, должна иметь строго меньшую размерность, а именно, ноль. По аналогичным причинам, унитарная группа (над комплексными числами) не является алгебраическим многообразием, в то время как специальная линейная группа является замкнутым подмногообразием , нуль-множеством . (На другом базовом поле унитарной группе, однако, можно придать структуру многообразия.)

Изоморфизм алгебраических разновидностей

Пусть V1, V2 — алгебраические многообразия. Мы говорим, что V1 и V2 изоморфны, и записываем V1 ≅ V2, если существуют регулярные отображения φ : V1 → V2 и ψ : V2 → V1 такие, что композиции ψ ∘ φ и φ ∘ ψ являются тождественными отображениями на V1 и V2 соответственно.

Алгебраические многообразия

Алгебраическое многообразие — это алгебраическое многообразие, являющееся также гладким многообразием размерности m, и, следовательно, каждая достаточно малая локальная окрестность изоморфна к ℝᵐ. Эквивалентно, многообразие не имеет особых точек (является гладким). Если k — поле вещественных чисел, ℝ, алгебраические многообразия называются многообразиями Нэша. Алгебраические многообразия можно определить как множество нулей конечного числа аналитических алгебраических функций. Проективные алгебраические многообразия дают эквивалентное определение проективных многообразий. Сфера Римана — один из примеров.