Кіріспе

Екілік санның дәрежесі

Математикада, екілік логарифм – n мәнін алу үшін 2 санының қанша дәрежеге көтерілуі керек екенін көрсетеді. Яғни, кез келген нақты сан x үшін,

Мысалы, 1-дің екілік логарифмі 0-ге тең, 2-нің екілік логарифмі 1-ге тең, 4-тің екілік логарифмі 2-ге тең, ал 32-нің екілік логарифмі 5-ке тең. Екілік логарифм – 2 негізіндегі логарифм және екілік санның дәрежесі функциясының кері функциясы болып табылады. log2 сияқты, екілік логарифмді белгілеудің тағы бір түрі lb (ISO 3111 және ISO 80000 2 стандарттарында қолданылатын белгі). Тарихи тұрғыдан алғанда, екілік логарифмдерді алғаш рет музыкалық теорияда Леонхард Эйлер қолданған: екі музыкалық дыбыстың жиіліктерінің қатынасының екілік логарифмі, олардың арасындағы октавалардың санын көрсетеді. Екілік логарифмдер бинарлық сандар жүйесіндегі санның өрнектелу ұзындығын немесе ақпарат теориясында хабарды кодтау үшін қажетті биттер санын есептеу үшін қолданылуы мүмкін. Компьютер ғылымында олар екілік іздеу және оған байланысты алгоритмдер үшін қажетті қадамдар санын есептейді. Бинарлық логарифмдер жиі қолданылатын басқа салалар: комбинаторика, биоинформатика, спорттық турнирлерді жобалау және фотосурет. Бинарлық логарифмдер стандартты C математикалық функцияларының және басқа математикалық бағдарламалық құралдардың құрамына кіреді.

Тарих

Екі санының дәрежелері ежелден белгілі; мысалы, олар Евклидтің "Элементтер" кітабында, IX.32-ша қасиеті (екі санының дәрежелерін жіктеу туралы) және IX.36-ша қасиеті (Эвклид-Эйлер теоремасының жартысы, жұп толық сандардың құрылымы туралы) кездеседі. Ал екілік логарифм – екі санының дәрежелерінің реттелген тізбегіндегі оның орны. Осыған байланысты Майкл Стифель 1544 жылы екілік логарифмдердің алғашқы белгілі кестесін жариялады. Оның "Арифметика Интегра" кітабында екі санының дәрежелерімен сәйкес келетін бірнеше толық сандардың кестелері бар. Бұл кестелердің қатарларын кері аударғанда, оларды екілік логарифмдердің кестелері ретінде қарастыруға болады. Стифельден бұрын 8-шы ғасырдағы джайн математигі Вирасена екілік логарифмға алғыкөз болды. Вирасенаның ардхачеда тұжырымы берілген санды екіге бөлінетін саны ретінде анықталды. Бұл анықтама екі санының дәрежелері үшін екілік логарифммен сәйкес келетін функцияны тудырады, бірақ басқа толық сандар үшін басқаша, логарифмнің орнына 2-лік ретті береді. Кез келген санға (екі санының дәрежелеріне ғана емес) қолданылатын екілік логарифмнің қазіргі заманғы түрін Леонхард Эйлер 1739 жылы анық қарастырды. Эйлер ақпарат теориясы мен компьютерлік ғылымда қолданылуынан бұрын музыка теориясына екілік логарифмдерді қолдануды белгіледі. Осы саладағы жұмысының бір бөлігі ретінде Эйлер 1-ден 8-ге дейінгі толық сандардың екілік логарифмдерінің кестесін жеті ондық таңбаға дейін дәлдікпен жариялады.

Нөмірлік

Математикада n санының екілік логарифмі жиі былай жазылады. Дегенмен, осы функцияны белгілеу үшін тағы бірнеше түрлі жазу тәсілдері қолданылған немесе ұсынылған, әсіресе қолданыс салаларында. Кейбір авторлар екілік логарифмді lg n деп жазады, бұл «The Chicago Manual of Style» нұсқаулығында көрсетілген. Дональд Кнут бұл белгіні Эдвард Рейнгольдтың ұсынысымен байланыстырады, бірақ оның ақпараттық теория мен компьютерлік ғылымда қолданылуы Рейнгольд жұмысын бастағанға дейін де болған. Екілік логарифм логарифмнің негізі 2 екенін алдын ала айтқан жағдайда log n түрінде де жазылуы мүмкін. Тағы бір белгі, ол осы функцияны белгілеу үшін жиі қолданылады (әсіресе неміс ғылыми әдебиетінде) – ld n, латын тілінен «logarithmus dualis».

Ақпарат теориясы

Оң бүтін санның (n) екілік түріндегі цифрлар саны – log₂n-ның бүтін бөлігі, яғни [log₂n].

Биоинформатика

Биоинформатикада микромассивтер биологиялық материалдың үлгісінде әртүрлі гендердің экспрессия деңгейін қаншалықты күшті екенін өлшеу үшін қолданылады. Геннің әртүрлі экспрессия деңгейлері көбінесе экспрессия деңгейлерінің қатынасының екілік логарифмін пайдалану арқылы салыстырылады: екі экспрессия деңгейінің логарифмдік қатынасы – екі деңгейдің қатынасының екілік логарифмі ретінде анықталады. Екілік логарифмдер экспрессия деңгейлерін салыстыруды ыңғайлы етеді: екі есе артқан экспрессия деңгейін 1 логарифмдік қатынаспен, екі есе кемігенін -1 логарифмдік қатынаспен, ал өзгермеген экспрессия деңгейін 0 логарифмдік қатынаспен сипаттауға болады, мысалы. Осылайша алынған деректер көбінесе шашыраңқы график түрінде көрсетіледі, онда координаттық осьтердің бірі немесе екеуі де интенсивтілік қатынастарының екілік логарифмдері болып табылады, сондай-ақ MA графигі және RA графигі сияқты, олар осы логарифмдік қатынас шашыраңқы графиктерін айналдырып, масштабтайтын визуализациялар ретінде де қолданылады.

Музыка теориясы

Музыка теориясында екі тонның арасындағы интервал немесе сезімдік айырмашылық олардың жиіліктерінің қатынасымен анықталады. Рационал сандардың кіші алымдары мен бөлімдерінен туындаған интервалдар ерекше түрде әдемі дыбысты деп есептеледі. Бұл интервалдардың ең қарапайымы және маңыздысы – октава, жиілік қатынасы 2:1. Екі тонның арасындағы октавалар саны олардың жиіліктерінің қатынасының екілік логарифмі болып табылады. Тоналдық жүйелерді және музыка теориясының басқа да аспектілерін зерттеу үшін, тон арасындағы айырмашылықты анықтау қажет болғанда, интервалдың өлшемі октавадан гөрі ұсақ болуы және жиілік қатынастары сияқты көбейтуші емес, логарифмдер сияқты қосымша болуы тиімді. Яғни, егер x, y және z тоннары өсу тізбегін құраса, онда x-тен y-ға дейінгі интервалдың өлшемі плюс y-ден z-ға дейінгі интервалдың өлшемі x-тен z-ға дейінгі интервалдың өлшеміне тең болуы керек. Мұндай өлшем центпен беріледі, ол октаваны 1200 тең бөлікке бөледі (әрқайсысы 100 центтен тұратын 12 жарты тон). Математикалық тұрғыдан алғанда, f1 және f2 жиіліктері бар тон берілгенде, f1 мен f2 арасындағы центтер саны:

Спорттық бағдарламалау

Әр ойын немесе матчта екі ойыншы немесе команда қатысатын бәсекелі ойындар мен спорт түрлерінде бинарлық логарифм жеңімпазды анықтау үшін бір турнирде қажетті раундтар санын көрсетеді. Мысалы, 4 ойыншыдан тұратын турнирде жеңімпазды анықтау үшін раундтар қажет, 32 командадан тұратын турнирде раундтар қажет, және т.б. Егер n ойыншы/команда саны 2-нің дәрежесі болмаса, онда n саны жоғарыға қарай дөңгелектеледі, себебі қалған барлық қатысушылар ойнамайтын кем дегенде бір раунд болуы керек. Мысалы, 2,585-ке жуық, ол 3-ке дейін дөңгелектеледі, яғни 6 командадан тұратын турнирге 3 раунд қажет (бірінші раундта екі команда немесе екінші раундта бір команда күтіп отыруы мүмкін). Швейцариялық жүйедегі турнирде де жеңімпазды анықтау үшін осындай раундтар саны қажет.

Фотография

Фотографияда экспозиция мәндері фильмге немесе сенсорға түсетін жарық мөлшерінің екілік логарифмі арқылы өлшенеді, бұл адамның көру жүйесінің жарыққа логарифмдік жауабын сипаттайтын Вебер-Фехнер заңына сәйкес келеді. Бір экспозициялық саты – 2 негізді логарифмдік шкаладағы бір бірлік. Нақтырақ айтқанда, фотосуреттің экспозициялық мәні былай анықталады:

мұнда N – экспозиция кезінде линзаның диафрагмасын өлшейтін f саны, ал t – экспозиция уақытының секундымен өлшенген ұзақтығы. Екілік логарифмдер (сатылар түрінде беріледі) жарыққа сезімтал материалдардың немесе цифрлық сенсорлардың динамикалық диапазонын көрсету үшін денситометрияда да қолданылады.

Бүкіл сандарды дөңгелектеу

Бинарлық логарифмді жоғарлап немесе төмендеп дөңгелектеу арқылы бүтін сандардан бүтін сандарға функция құруға болады. Осы екі түрлі бүтін сандық бинарлық логарифм мына формула арқылы байланысты:

Анықтаманы осылай кеңейтуге болады, бұл функция x санының 32 биттік таңбасы жоқ бинарлық өрнегіндегі жетекші нөлдердің санына, nlz(x) байланысты. Сондай-ақ, libc бағдарламалық кітапханасының кейбір нұсқалары екілік логарифмді (бүтін санға дейін жоғарлап дөңгелектелген, плюс бір) есептейді.

Итеративті шамалау

Жалпы оң нақты сан үшін бинарлық логарифмді екі бөлікке бөліп есептеуге болады. Біріншіден, логарифмнің бүтін бөлігін есептейміз (бұл логарифмнің сипаттамасы деп аталады). Бұл мәселені логарифм аргументі шектелген диапазонға, яғни [1, 2) интервалына дейін қысқартады, бұл логарифмнің бөлшек бөлігін (мантиссасын) есептеудің екінші қадамын жеңілдетеді. Кез келген x > 0 үшін 2^n ≤ x < 2^(n+1) немесе, балама түрінде, 1 ≤ 2^(-n)x < 2 болатын бірегей бүтін сан n бар. Логарифмнің бүтін бөлігі жай ғана n, ал бөлшек бөлігі – log2(2^(-n)x). Бұл бөлшек бөлікті бүтін сандар үшін бастапқы нөлдерді санау операциясы арқылы анықтауға болады. Нәтижедегі бөлшек бөлігін тек қарапайым көбейту және бөлу амалдарын қолдана отырып, итеративті түрде есептеуге болады. Комплекс сандарды және MATLAB сияқты автоматты түрлендіруді қолдайтын есептеу орталарында log2 функциясына теріс аргумент беруге рұқсат етіледі, нәтижесінде комплекс сандар шығады.