Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Измерение двухмерной поверхности
Measure of a two dimensional surface
Площадь поверхности (обозначение A) твердого тела является мерой общей площади, занимаемой его поверхностью. Математическое определение площади поверхности в случае криволинейных поверхностей значительно сложнее, чем определение длины дуги одномерных кривых или площади поверхности для многогранников (т.е. тел с плоскими многоугольными гранями), для которых площадь поверхности равна сумме площадей его граней. Площадь поверхности гладких поверхностей, таких как сфера, определяется с использованием их представления в виде параметрических поверхностей. Это определение площади поверхности основано на методах дифференциального исчисления и включает частные производные и двойное интегрирование. Общее определение площади поверхности искали Анри Лебег и Герман Минковский на рубеже двадцатого века. Их работа привела к развитию геометрической теории меры, которая изучает различные понятия площади поверхности для нерегулярных объектов любой размерности. Важным примером является содержание Минковского поверхности.
The surface area (symbol A) of a solid object is a measure of the total area that the surface of the object occupies. The mathematical definition of surface area in the presence of curved surfaces is considerably more involved than the definition of arc length of one dimensional curves, or of the surface area for polyhedra (i. e., objects with flat polygonal faces), for which the surface area is the sum of the areas of its faces. Smooth surfaces, such as a sphere, are assigned surface area using their representation as parametric surfaces. This definition of surface area is based on methods of infinitesimal calculus and involves partial derivatives and double integration. A general definition of surface area was sought by Henri Lebesgue and Hermann Minkowski at the turn of the twentieth century. Their work led to the development of geometric measure theory, which studies various notions of surface area for irregular objects of any dimension. An important example is the Minkowski content of a surface.
Соотношение площадей поверхности сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты
С помощью приведённых ниже формул можно показать, что отношение площади поверхности сферы к площади поверхности цилиндра с одинаковым радиусом и высотой равно 2:3, как показано ниже. Пусть радиус равен r, а высота h (которая равна 2r для сферы). Открытие этого соотношения приписывают Архимеду.
The below given formulas can be used to show that the surface area of a sphere and cylinder of the same radius and height are in the ratio 2 : 3, as follows. Let the radius be r and the height be h (which is 2r for the sphere). The discovery of this ratio is credited to Archimedes.
В химии
Площадь поверхности важна в химической кинетике. Увеличение площади поверхности вещества, как правило, повышает скорость химической реакции. Например, железо в виде мелкого порошка воспламеняется, а в твердых блоках достаточно стабильно для использования в строительных конструкциях. Для различных задач может потребоваться минимальная или максимальная площадь поверхности.
Surface area is important in chemical kinetics. Increasing the surface area of a substance generally increases the rate of a chemical reaction. For example, iron in a fine powder will combust, while in solid blocks it is stable enough to use in structures. For different applications a minimal or maximal surface area may be desired.
В биологии
Площадь поверхности организма важна для ряда процессов, таких как регуляция температуры тела и пищеварение. Животные используют зубы, чтобы измельчать пищу на более мелкие частицы, увеличивая площадь поверхности, доступную для переваривания. Эпителиальная ткань, выстилающая пищеварительный тракт, содержит микроворсинки, значительно увеличивая площадь, доступную для всасывания. У слонов большие уши, позволяющие им регулировать температуру своего тела. В других случаях животным необходимо минимизировать площадь поверхности; например, люди при холоде прижимают руки к груди, чтобы уменьшить потерю тепла. Отношение площади поверхности к объему (SA:V) клетки ограничивает ее максимальный размер, поскольку объем увеличивается гораздо быстрее, чем площадь поверхности, тем самым ограничивая скорость диффузии веществ изнутри клетки через клеточную мембрану в межклеточное пространство или в другие клетки. Действительно, если представить клетку как идеальную сферу радиуса r, то объем и площадь поверхности будут соответственно равны V = (4/3)πr³ и SA = 4πr². Получающееся отношение площади поверхности к объему, таким образом, равно 3/r. Следовательно, если радиус клетки составляет 1 мкм, то отношение SA:V равно 3; в то время как при радиусе клетки 10 мкм отношение SA:V становится 0,3. При радиусе клетки 100 мкм отношение SA:V составляет 0,03. Таким образом, площадь поверхности резко уменьшается с увеличением объема.
The surface area of an organism is important in several considerations, such as regulation of body temperature and digestion. Animals use their teeth to grind food down into smaller particles, increasing the surface area available for digestion. The epithelial tissue lining the digestive tract contains microvilli, greatly increasing the area available for absorption. Elephants have large ears, allowing them to regulate their own body temperature. In other instances, animals will need to minimize surface area; for example, people will fold their arms over their chest when cold to minimize heat loss. The surface area to volume ratio (SA:V) of a cell imposes upper limits on size, as the volume increases much faster than does the surface area, thus limiting the rate at which substances diffuse from the interior across the cell membrane to interstitial spaces or to other cells. Indeed, representing a cell as an idealized sphere of radius r, the volume and surface area are, respectively, 1=V = (4/3)πr^(3) and 1=SA = 4πr^(2). The resulting surface area to volume ratio is therefore 3/r. Thus, if a cell has a radius of 1 μm, the SA:V ratio is 3; whereas if the radius of the cell is instead 10 μm, then the SA:V ratio becomes 0.3. With a cell radius of 100, SA:V ratio is 0.03. Thus, the surface area falls off steeply with increasing volume.