Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
1617 жылғы көбейтінділер мен бөлінділерді есептеуге арналған құрылғы
1617 device for calculating products and quotients
Нейпир сүйектері – шотланд ғалымы Джон Нейпирдің көбейтінділер мен сандардың бөлінділерін есептеу үшін жасаған, қолмен жұмыс істейтін есептеу құрылғысы. Бұл әдіс торлы көбейтуге негізделген, және Нейпирдің өзі тапқан «рабдология» деп аталды. Нейпир бұл нұсқасын 1617 жылы жариялаған. Ол Эдинбургте басылып, Александр Сетонға арналған. Таяқшалардағы көбейту кестелерін пайдаланып, көбейту амалы қосу операцияларына, ал бөлу амалы – алу амалына келтіріледі. Таяқшаларды тиімді пайдалану арқылы квадрат түбірді табуға да болады. Нейпир сүйектері – Нейпир есімімен байланысты логарифмдерден өзгеше, олар бөлінген көбейту кестелеріне негізделген. Толық құрылғы әдетте жиегі бар негіз тақтасынан тұрады; пайдаланушы Нейпир таяқшаларын және жиекті көбейту немесе бөлу үшін орналастырады. Тақтаның сол жағында 1-ден 9-ға дейінгі сандар орналасқан тоғыз шаршы бар. Нейпирдің бастапқы дизайнында таяқшалар металдан, ағаштан немесе піл сүйегінен жасалған, көлденең қимасы төртбұрышты. Әр таяқшаның төрт жағында көбейту кестесі ойылып жазылған. Кейбір кейінгі үлгілерде таяқшалар жалпақ, екі немесе бір кестесі бар, және пластиктен немесе қалың картоннан жасалған. Мұндай сүйектерді арнайы қорапшаға салып алып жүруге болады. Таяқшаның әр бетінде тоғыз шаршы белгіленген. Жоғарғы шаршыдан басқа, әрбір шаршы төменгі сол жақ бұрышынан жоғарғы оң жаққа дейін жүретін диагональмен екіге бөлінген. Шаршыларда қарапайым көбейту кестесі орналасқан. Бірінші шаршыда Нейпир «бірлік» деп атаған бір таңбалы сан жазылған. Ал қалғандарында – бірлікке еселенген сандар, яғни екі еселенген бірлік, үш еселенген бірлік, және т.б., тоғызыншы шаршыда жоғарғы шаршыдағы санның тоғыз еселенгені көрсетілген. Бір таңбалы сандар төменгі оң жақ үшбұрышқа жазылады, ал екінші үшбұрыш бос қалдырылады, ал екі таңбалы сандар диагональдің екі жағына бір-бір санмен жазылады. Егер кестелер бір жақты таяқшаларда болса, төрт таңбалы сандарды көбейту үшін 40 таяқша қажет – себебі сандарда қайталанатын таңбалар болуы мүмкін, сондықтан 0-ден 9-ға дейінгі әрбір таңба үшін көбейту кестесінің төрт данасы қажет. Егер төртбұрышты таяқшалар қолданылса, 40 көбейту кестесін 10 таяқшаға сыйымды етуге болады. Нейпир кестелерді орналастырудың схемасын сипаттады, сонда бірде-бір таяқшада бір кестенің екі данасы болмайды, бұл кез келген төрт таңбалы санды 10 таяқшаның 4-еуін пайдаланып көрсетуге мүмкіндік береді. Нейпирдің 10 таяқшасының екі бірдей жиынтығынан тұратын 20 таяқша жиынтығы сегіз таңбалы сандармен есептеуге мүмкіндік береді, ал 30 таяқша жиынтығы 12 таңбалы сандар үшін қолданылуы мүмкін.
Napier's bones is a manually operated calculating device created by John Napier of Merchiston, Scotland for the calculation of products and quotients of numbers. The method was based on lattice multiplication, and also called rabdology, a word invented by Napier. Napier published his version in 1617. It was printed in Edinburgh and dedicated to his patron Alexander Seton. Using the multiplication tables embedded in the rods, multiplication can be reduced to addition operations and division to subtractions. Advanced use of the rods can extract square roots. Napier's bones are not the same as logarithms, with which Napier's name is also associated, but are based on dissected multiplication tables. The complete device usually includes a base board with a rim; the user places Napier's rods and the rim to conduct multiplication or division. The board's left edge is divided into nine squares, holding the numbers 1 to 9. In Napier's original design, the rods are made of metal, wood or ivory and have a square cross section. Each rod is engraved with a multiplication table on each of the four faces. In some later designs, the rods are flat and have two tables or only one engraved on them, and made of plastic or heavy cardboard. A set of such bones might be enclosed in a carrying case. A rod's face is marked with nine squares. Each square except the top is divided into two halves by a diagonal line from the bottom left corner to the top right. The squares contain a simple multiplication table. The first holds a single digit, which Napier called the 'single'. The others hold the multiples of the single, namely twice the single, three times the single and so on up to the ninth square containing nine times the number in the top square. Single digit numbers are written in the bottom right triangle leaving the other triangle blank, while double digit numbers are written with a digit on either side of the diagonal. If the tables are held on single sided rods, 40 rods are needed in order to multiply 4 digit numbers – since numbers may have repeated digits, four copies of the multiplication table for each of the digits 0 to 9 are needed. If square rods are used, the 40 multiplication tables can be inscribed on 10 rods. Napier gave details of a scheme for arranging the tables so that no rod has two copies of the same table, enabling every possible four digit number to be represented by 4 of the 10 rods. A set of 20 rods, consisting of two identical copies of Napier's 10 rods, allows calculation with numbers of up to eight digits, and a set of 30 rods can be used for 12 digit numbers.
Көбейту
Көбейтудің ең қарапайым түрі, көп цифрлы санды бір цифрлы санға көбейту, көп цифрлы санды бейнелейтін таяқтарды сол жақ жиегіне қарсы шеңберге орналастыру арқылы жасалады. Жауап, кадрдың сол жағында белгіленген бір цифрлы санға сәйкес келетін қатардан оқылады, төмендегі мысалдарда түсіндірілгендей, кішкене қосымша есептеулер қажет болуы мүмкін. Көп цифрлы санды басқа көп цифрлы санға көбейту кезінде, үлкен сан таяқшалар арқылы шеңберде көрсетіледі. Құрылғы кіші санның әр цифрымен көбейту нәтижесін шығарады. Бұл нәтижелер жазылып алынып, соңғы нәтиже қағаз және қаламмен есептеледі. Непиердің сүйектерін көбейту үшін қалай пайдалануға болатынын көрсету үшін, қиындық деңгейі артатын үш мысал төменде түсіндіріледі.
The simplest sort of multiplication, a number with multiple digits by a number with a single digit, is done by placing rods representing the multi digit number in the frame against the left edge. The answer is read off the row corresponding to the single digit number which is marked on the left of the frame, with a small amount of addition required, as explained in the examples below. When multiplying a multi digit number by another multi digit number, the larger number is set up on the rods in the frame. An intermediate result is produced by the device for multiplication by each of the digits of the smaller number. These are written down and the final result is calculated by pen and paper. To demonstrate how to use Napier's bones for multiplication, three examples of increasing difficulty are explained below.
Кіші бір цифрлы санға көбейту
Бірінші мысал 1=425 × 6 есебін жүргізеді. Нейпир сүйектері 4, 2 және 5 сандары үшін тақтаға тізбектеп орналастырылады. Бұл сүйектер көбейтілетін үлкен санды көрсетеді. Әр бағанның төменгі жағындағы сандар диагональ сызығының үстінде және астында орналасқан, сәйкес бүтін сан үшін қарапайым көбейту кестесінен алынған цифрлар болып табылады. (Мысалы, 4 сүйектің жетінші қатарында көрсетілген цифрлар 2/8, бұл 1=7 × 4 = 28 екенін көрсетеді.) Төмендегі мысалда 1=425 × 6 үшін сүйектер қызыл (4), сары (2) және көк (5) түспен бейнеленген. Түсті сүйектердің алдындағы сол жақ баған 1 сүйекті білдіруі мүмкін. (Әрбір цифрдың жоғарғы сол жағындағы бос орын немесе нөл, диагональ сызықпен бөлінген, түсіндірілуі керек, себебі 1=1 × 1 = 01, 1=1 × 2 = 02, 1=1 x 3 = 03, және т.б.) Кіші сан, әдетте 2-ден 9-ға дейін, үлкен санды көбейту үшін таңдалады. Бұл мысалда үлкен санды көбейту үшін кіші сан 6 болып табылады. Бұл сан орналасқан көлденең қатар қалған есептеулерді орындау үшін қажетті жалғыз қатар болып табылады және енді жеке қарастырылуы мүмкін. Есептеу үшін тік сызықтармен бөлінген цифрлар (яғни диагональ сызықтармен жұптасқан, бір сүйектен екіншісіне өтетін) қосылып, көбейтіндінің цифрларын құрайды. Бұл қатардағы соңғы (оң жақтағы) сан қосуды қажет етпейді, өйткені ол әрқашан соңғы диагональ сызығымен оқшауланады және көбейтіндінің соңғы цифры болады. Бұл мысалда төрт цифр бар, себебі диагональ сызықтар арасында төрт топ сүйек мәндері орналасқан. Көбейтіндінің цифрлары солдан оңға қарай есептелген тәртіппен орналасады. Бірінші және соңғы цифрлардан басқа, көбейтіндінің әр цифры екі түрлі сүйектен алынған екі мәннің қосындысы болады. Сүйек мәндері жоғарыда сипатталғандай қосылып, көбейтіндінің цифрларын табу үшін қолданылады. Бұл диаграммада сары және көк сүйектерден алынған үшінші көбейтінді цифрының тиісті мәндері жасыл түспен көрсетілген. Әрбір қосынды төмендегі бос орынға жазылған. Солдан оңға қарай қосындылардың тізбегі 2550 санын береді. Демек, 425-ті 6-ға көбейтудің шешімі 2550-ге тең.
The first example computes 1=425 × 6. Napier's bones for 4, 2, and 5 are placed into the board, in sequence. These bones show the larger figure which will be multiplied. The numbers lower in each column, or bone, are the digits found by ordinary multiplication tables for the corresponding integer, positioned above and below a diagonal line. (For example, the digits shown in the seventh row of the 4 bone are 2/8, representing 1=7 × 4 = 28.) In the example below for 1=425 × 6, the bones are here depicted as red (4), yellow (2), and blue (5). The left most column, preceding the bones shown coloured, may represent the 1 bone. (A blank space or zero to the upper left of each digit, separated by a diagonal line, should be understood, since 1=1 × 1 = 01, 1=1 × 2 = 02, 1=1 x 3 = 03, etc.) A small number is chosen, usually 2 through 9, by which to multiply the large number. In this example the small number by which to multiply the larger is 6. The horizontal row in which this number stands is the only row needed to perform the remaining calculations and may now be viewed in isolation. For the calculation, the digits separated by vertical lines (i. e. paired between diagonal lines, crossing over from one bone to the next) are added together to form the digits of the product. The final (right most) number on that row will never require addition, as it is always isolated by the last diagonal line, and will always be the final digit of the product. In this example, there are four digits, since there are four groups of bone values lying between diagonal lines. The product's digits will stand in the order as calculated left to right. Apart from the first and the final digit, the product's digits will each be the sum of two values taken from two different bones. Bone values are added together, as described above, to find the digits of the product. In this diagram, the third product digit from the yellow and blue bones have their relevant values coloured green. Each sum is written in the space below. The sequence of the summations from left to right produces the figure of 2550. Therefore, the solution to multiplying 425 by 6 is 2550.
Бір санды үлкен санмен көбейту
Үлкен бір таңбалы сандарды көбейту кезінде, диагональды бағанды қосып есептегенде, сандардың қосындысы 10 немесе одан жоғары сан болуы мүмкін. Екінші мысал – 6785 × 8. Бірінші мысал сияқты, ең үлкен санға сәйкес келетін «сүйектер» тақтаға орналастырылады. Бұл мысалда 6, 7, 8 және 5 «сүйектері» төменде көрсетілгендей дұрыс ретпен орналастырылды. Бірінші бағанда ең үлкен санды көбейтетін сан жазылады. Бұл мысалда ол 8 саны болды. Қалған есептеулер үшін тек 8-қатар қолданылады, сондықтан тақтаның қалған бөлігі қалған қадамдарды түсіндіру үшін тазаланды. Бұрынғыдай, әрбір диагональды баған оң жақтан бастап есептеледі. Егер диагональды бағанның қосындысы 10 немесе одан көп болса, онда осы қосындының «ондық» разряды сол жаққа қарай жатқан бағандағы сандармен бірге қосылуы керек, төменде көрсетілгендей. Әрбір диагональды баған есептелгеннен кейін, сандар солдан оңға қарай оқылып, соңғы жауап шығарылады; бұл мысалда 54280 саны алынды. Демек, 6785-ті 8-ге көбейтудің шешімі 54280-ге тең.
When multiplying by larger single digits, it is common that upon adding a diagonal column, the sum of the numbers results in a number that is 10 or greater. The second example computes 6785 × 8. Like Example 1, the corresponding bones to the biggest number are placed in the board. For this example, bones 6, 7, 8, and 5 were placed in the proper order as shown below. In the first column, the number by which the biggest number is multiplied by is located. In this example, the number was 8. Only row 8 will be used for the remaining calculations, so the rest of the board has been cleared for clarity in explaining the remaining steps. Just as before, each diagonal column is evaluated, starting at the right side. If the sum of a diagonal column equals 10 or greater, the "tens" place of this sum must be carried over and added along with the numbers in the adjacent left column as demonstrated below. After each diagonal column is evaluated, the calculated numbers are read from left to right to produce a final answer; in this example, 54280 was produced. Therefore: The solution to multiplying 6785 by 8 is 54280.
Бөлім
Бөлу де осыған ұқсас тәсілмен орындалады. 46785399-ды 96431-ге бөлу үшін, бөлгіштің (96431) сызықтары тақтаға орналастырылады, төмендегі графикте көрсетілгендей. Абакусты пайдаланып, 1-ден 9-ға дейінгі бөлгіштің барлық көбейтінділерін көрсетілген сандарды оқу арқылы табады. Дивидендтің сегіз таңбалы болғанына назар аударыңыз, ал ішінара көбейтінділердің (біріншісінен басқа) барлығы алты таңбалы. Сондықтан 46785399 саныңң соңғы екі таңбасы, атап айтқанда, "99" уақытша ескерілмей, 467853 санын қалдырады. Содан кейін, қысқартылған дивидендтен кіші болатын ең үлкен ішінара көбейтінді табылады. Бұл жағдайда 385724. Диаграммада көрсетілгендей, екі нәрсені жазу керек: 385724 абакустың "4" қатарында болғандықтан, "4" үлестің ең сол жақ таңбасы ретінде жазылады; бастапқы дивидендтің астына сол жаққа тізбектеліп жазылған ішінара көбейтінді де жазылады. Екі санды шегерсек, 8212999 қалды. Дәл осы қадамдар қайталанады: сан алты таңбаға дейін қысқартылады, қысқартылған сандан бірден кіші көбейтінді таңдалады, қатар нөмірі үлестің келесі таңбасы ретінде жазылады және ішінара көбейтінді бірінші қайталануда табылған айырмадан алынады. Процесс диаграммада көрсетілген. Бұл цикл, шегерім нәтижесі бөлгіштен кіші болғанша қайталанады. Қалған сан – қалдық. Осы мысалда, қалдық 16364, ал үлес 485. Процесс әдетте осы жерде тоқтатылады және жауап бөлшек түрінде жазылады. Көбірек дәлдік үшін цикл қажетті ондық таңбаларды табу үшін жалғастырылады. Үлестің соңғы таңбасынан кейін ондық нүкте қойылады және қалдыққа 163640 үшін нөл қосылады. Цикл жалғасады, әр жолы шегерімнен кейін нәтижеге нөл қосылады.
Division is performed in a similar fashion. To divide 46785399 by 96431, the bars for the divisor (96431) are placed on the board, as shown in the graphic below. Using the abacus, all the products of the divisor from 1 to 9 are found by reading the displayed numbers. Note that the dividend has eight digits, whereas the partial products (save for the first one) all have six. So the final two digits of 46785399, namely the '99', are temporarily ignored, leaving the number 467853. Then, the greatest partial product that is less than the truncated dividend is found. In this case, 385724. Two things must be marked down, as seen in the diagram: since 385724 is in the '4' row of the abacus, a '4' is marked down as the left most digit of the quotient; the partial product, left aligned, under the original dividend, is also written. The two terms are subtracted, which leaves 8212999. The same steps are repeated: the number is truncated to six digits, the partial product immediately less than the truncated number is chosen, the row number is written as the next digit of the quotient, and the partial product is subtracted from the difference found in the first repetition. The process is shown in the diagram. The cycle is repeated until the result of subtraction is less than the divisor. The number left is the remainder. So in this example, what remains is a quotient of 485 with a remainder of 16364. The process usually stops here and the answer uses the fractional form
For more accuracy, the cycle is continued to find as many decimal places required. A decimal point is marked after the last digit of the quotient and a zero is appended to the remainder which leaves 163640. The cycle is continued, each time appending a zero to the
result after the subtraction.
Толықтыру
Қажетті сандарды тапқаннан кейін, оны жоғарылату қажет пе, жоқ па, анықтау оңай; яғни, соңғы цифрды өзгерту. Ол 5-тен үлкен немесе тең екенін көру үшін тағы бір цифрді табудың қажеті жоқ. 25 түбірге қосылады және ол қалдықпен салыстырылады; егер ол қалдықтан кем немесе тең болса, онда келесі цифр кем дегенде бес болады және жоғарылату қажет. Жоғарыдағы мысалда 6839925 саны 11669900-ден кішкентай болғандықтан, түбірді 6840.0-ге дейін жоғарылату керек. Егер сан бүтін болмаса, мысалы, 54782.917 болса, квадрат түбірін табуда бәрі бірдей, тек ондық нүктенің сол және оң жағындағы цифрлар жұптап бөлінеді. Сондықтан 54782.917 мынадай түрде топтастырылады:
Having found the desired number of digits, it is easy to determine whether or not it needs rounding up; i. e., changing the last digit. Another digit doesn't need to be found to see if it is equal to or greater than 5. 25 is appended to the root and it is compared to the remainder; if it is less than or equal to the remainder, then the next digit will be at least five and rounding up is needed. In the example above, 6839925 is less than 11669900, so the root needs to be rounded up to 6840.0. To find the square root of a number that isn't an integer, say 54782.917, everything is the same, except that the digits to the left and right of the decimal point are grouped into twos. So 54782.917 would be grouped as
Содан кейін, жоғарыда айтылған әдіс арқылы квадрат түбірін табуға болады.
Then the square root can be found using the process previously mentioned.
Генэль Лукас билеушілері
1891 жылы Анри Женель Непьер сүйектерінің бір түрін ойлап тапты, ол Женель-Лукас ережелері деп аталды. Көтерілген санды графикалық түрде көрсету арқылы қарапайым көбейту есептерінің нәтижесін тікелей, аралық санаусыз оқуға болады. Мысалы, 52749 × 4 = 210996 есебін қарастырайық.
In 1891, Henri Genaille invented a variant of Napier's bones which became known as Genaille–Lucas rulers. By representing the carry graphically, the results of simple multiplication problems can be read directly, with no intermediate mental calculations. The following example calculates 1=52749 × 4 = 210996.