Кости Непера: устройство для вычислений 1617 года

Введение

Устройство 1617 года для вычисления произведений и частных

Кости Нейпера — это ручное вычислительное устройство, созданное Джоном Нейпером из Мерчистона, Шотландия, для вычисления произведений и частных чисел. Метод основан на решётчатом умножении и также называется рабдологией, слово, изобретённое Нейпером. Нейпер опубликовал свою версию в 1617 году. Она была напечатана в Эдинбурге и посвящена его покровителю Александру Сетону. Используя таблицы умножения, встроенные в стержни, умножение можно свести к операциям сложения, а деление — к вычитанию. Продвинутое использование стержней позволяет извлекать квадратные корни. Кости Нейпера не тождественны логарифмам, с которыми также связано имя Нейпера, но основаны на разделенных таблицах умножения. Полный комплект обычно включает в себя базовую доску с ободом; пользователь размещает стержни Нейпера и обод для выполнения умножения или деления. Левый край доски разделён на девять квадратов, содержащих числа от 1 до 9. В оригинальном дизайне Нейпера стержни изготовлены из металла, дерева или слоновой кости и имеют квадратное поперечное сечение. На каждой из четырёх сторон каждого стержня выгравирована таблица умножения. В некоторых более поздних конструкциях стержни плоские, имеют две таблицы или только одну, выгравированную на них, и изготовлены из пластика или плотного картона. Набор таких костей может помещаться в футляр для переноски. На каждой стороне стержня расположены девять квадратов. Каждый квадрат, кроме верхнего, разделён диагональной линией от нижнего левого угла к верхнему правому углу на две половины. Квадраты содержат простую таблицу умножения. Первый содержит одну цифру, которую Нейпер назвал «одиночной». Остальные содержат кратные этой цифры, то есть дважды, трижды и так далее, до девятого квадрата, содержащего девять раз число в верхнем квадрате. Однозначные числа записываются в нижнем правом треугольнике, оставляя другой треугольник пустым, а двузначные числа записываются цифрами по обе стороны диагонали. Если таблицы находятся на односторонних стержнях, для умножения четырёхзначных чисел требуется 40 стержней, поскольку числа могут содержать повторяющиеся цифры, и для каждой цифры от 0 до 9 требуется четыре копии таблицы умножения. Если используются квадратные стержни, 40 таблиц умножения можно нанести на 10 стержней. Нейпер предоставил подробную схему расположения таблиц таким образом, чтобы ни на одном стержне не было двух копий одной и той же таблицы, что позволяет представить любое возможное четырёхзначное число с помощью 4 из 10 стержней. Набор из 20 стержней, состоящий из двух идентичных копий 10 стержней Нейпера, позволяет выполнять вычисления с числами до восьми цифр, а набор из 30 стержней можно использовать для 12-значных чисел.

Napier's bones is a manually operated calculating device created by John Napier of Merchiston, Scotland for the calculation of products and quotients of numbers. The method was based on lattice multiplication, and also called rabdology, a word invented by Napier. Napier published his version in 1617. It was printed in Edinburgh and dedicated to his patron Alexander Seton. Using the multiplication tables embedded in the rods, multiplication can be reduced to addition operations and division to subtractions. Advanced use of the rods can extract square roots. Napier's bones are not the same as logarithms, with which Napier's name is also associated, but are based on dissected multiplication tables. The complete device usually includes a base board with a rim; the user places Napier's rods and the rim to conduct multiplication or division. The board's left edge is divided into nine squares, holding the numbers 1 to 9. In Napier's original design, the rods are made of metal, wood or ivory and have a square cross section. Each rod is engraved with a multiplication table on each of the four faces. In some later designs, the rods are flat and have two tables or only one engraved on them, and made of plastic or heavy cardboard. A set of such bones might be enclosed in a carrying case. A rod's face is marked with nine squares. Each square except the top is divided into two halves by a diagonal line from the bottom left corner to the top right. The squares contain a simple multiplication table. The first holds a single digit, which Napier called the 'single'. The others hold the multiples of the single, namely twice the single, three times the single and so on up to the ninth square containing nine times the number in the top square. Single digit numbers are written in the bottom right triangle leaving the other triangle blank, while double digit numbers are written with a digit on either side of the diagonal. If the tables are held on single sided rods, 40 rods are needed in order to multiply 4 digit numbers – since numbers may have repeated digits, four copies of the multiplication table for each of the digits 0 to 9 are needed. If square rods are used, the 40 multiplication tables can be inscribed on 10 rods. Napier gave details of a scheme for arranging the tables so that no rod has two copies of the same table, enabling every possible four digit number to be represented by 4 of the 10 rods. A set of 20 rods, consisting of two identical copies of Napier's 10 rods, allows calculation with numbers of up to eight digits, and a set of 30 rods can be used for 12 digit numbers.

Умножение

Простейший вид умножения, число с несколькими цифрами на число с одной цифрой, выполняется путем размещения стержней, представляющих многозначное число, в раме у левого края. Ответ считывается из строки, соответствующей однозначному числу, обозначенному слева от рамки, с небольшим сложением, как показано в примерах ниже. При умножении многозначного числа на другое многозначное число, большее число устанавливается на стержнях в раме. Устройство выдает промежуточный результат умножения на каждую цифру меньшего числа. Эти результаты записываются, а окончательный результат вычисляется от руки. Чтобы продемонстрировать, как использовать кости Непера для умножения, ниже приведены три примера возрастающей сложности.

Умножение на маленькое однозначное число

Первый пример вычисляет 1=425 × 6. Кости Нейпера для 4, 2 и 5 помещаются на доску последовательно. Эти кости показывают множимое. Числа, расположенные ниже в каждом столбце, или на каждой кости, – это цифры, полученные из обычных таблиц умножения для соответствующего целого числа, расположенные выше и ниже диагональной линии. (Например, цифры, показанные в седьмой строке кости 4, – это 2/8, что соответствует 1=7 × 4 = 28.) В примере ниже для 1=425 × 6 кости изображены красным (4), желтым (2) и синим (5). Самый левый столбец, предшествующий показанным цветным костям, может представлять кость 1. (Следует понимать, что над каждой цифрой, разделенной диагональной линией, подразумевается пустое место или ноль, так как 1=1 × 1 = 01, 1=1 × 2 = 02, 1=1 × 3 = 03 и т.д.) Выбирается небольшое число, обычно от 2 до 9, для умножения на множимое. В этом примере небольшое число, на которое умножается множимое, – 6. Горизонтальный ряд, в котором стоит это число, является единственным необходимым для выполнения оставшихся вычислений и может рассматриваться изолированно. Для вычисления цифры, разделенные вертикальными линиями (то есть, пары цифр, расположенные по обе стороны от диагональной линии и переходящие от одной кости к другой), складываются вместе, чтобы получить цифры произведения. Последняя (самая правая) цифра в этом ряду никогда не требует сложения, поскольку она всегда изолирована последней диагональной линией и всегда является последней цифрой произведения. В этом примере четыре цифры, поскольку между диагональными линиями находятся четыре группы значений костей. Цифры произведения располагаются в порядке вычисления слева направо. За исключением первой и последней цифр, каждая цифра произведения является суммой двух значений, взятых из двух разных костей. Значения костей складываются, как описано выше, для получения цифр произведения. На этой диаграмме соответствующие значения из желтой и синей костей, формирующие третью цифру произведения, выделены зеленым цветом. Каждая сумма записана ниже. Последовательность суммирования слева направо дает число 2550. Следовательно, решение умножения 425 на 6 равно 2550.

The first example computes 1=425 × 6. Napier's bones for 4, 2, and 5 are placed into the board, in sequence. These bones show the larger figure which will be multiplied. The numbers lower in each column, or bone, are the digits found by ordinary multiplication tables for the corresponding integer, positioned above and below a diagonal line. (For example, the digits shown in the seventh row of the 4 bone are 2/8, representing 1=7 × 4 = 28.) In the example below for 1=425 × 6, the bones are here depicted as red (4), yellow (2), and blue (5). The left most column, preceding the bones shown coloured, may represent the 1 bone. (A blank space or zero to the upper left of each digit, separated by a diagonal line, should be understood, since 1=1 × 1 = 01, 1=1 × 2 = 02, 1=1 x 3 = 03, etc.) A small number is chosen, usually 2 through 9, by which to multiply the large number. In this example the small number by which to multiply the larger is 6. The horizontal row in which this number stands is the only row needed to perform the remaining calculations and may now be viewed in isolation. For the calculation, the digits separated by vertical lines (i. e. paired between diagonal lines, crossing over from one bone to the next) are added together to form the digits of the product. The final (right most) number on that row will never require addition, as it is always isolated by the last diagonal line, and will always be the final digit of the product. In this example, there are four digits, since there are four groups of bone values lying between diagonal lines. The product's digits will stand in the order as calculated left to right. Apart from the first and the final digit, the product's digits will each be the sum of two values taken from two different bones. Bone values are added together, as described above, to find the digits of the product. In this diagram, the third product digit from the yellow and blue bones have their relevant values coloured green. Each sum is written in the space below. The sequence of the summations from left to right produces the figure of 2550. Therefore, the solution to multiplying 425 by 6 is 2550.

Умножение на большее однозначное число

При умножении на большие однозначные числа часто бывает, что при сложении диагонального столбца сумма чисел получается равной 10 или больше. Второй пример демонстрирует вычисление 6785 × 8. Как и в примере 1, на доске размещаются кости, соответствующие большему числу. В этом примере кости 6, 7, 8 и 5 были расположены в правильном порядке, как показано ниже. В первом столбце находится число, на которое умножается большее число. В этом примере это число равно 8. Для дальнейших вычислений будет использоваться только строка 8, поэтому остальная часть доски очищена для наглядности при объяснении оставшихся шагов. Как и ранее, каждый диагональный столбец вычисляется, начиная с правой стороны. Если сумма диагонального столбца равна 10 или больше, разряд десятков этой суммы необходимо перенести и добавить к числам в соседнем левом столбце, как показано ниже. После вычисления каждого диагонального столбца вычисленные числа считываются слева направо, чтобы получить окончательный ответ; в этом примере получилось 54280. Следовательно, решение умножения 6785 на 8 равно 54280.

Отделение

Разделение выполняется аналогичным образом. Чтобы разделить 46785399 на 96431, на доске размещаются строки делителя (96431), как показано на графике ниже. Используя абакус, все произведения делителя от 1 до 9 находятся путем считывания отображаемых чисел. Обратите внимание, что делимое имеет восемь цифр, тогда как частичные произведения (за исключением первого) имеют шесть. Таким образом, последние две цифры числа 46785399, а именно "99", временно игнорируются, оставляя число 467853. Затем находится наибольшее частичное произведение, которое меньше, чем усечённое делимое. В данном случае, 385724. Необходимо отметить две вещи, как видно на диаграмме: поскольку 385724 находится в строке "4" на абакусе, "4" записывается как самая левая цифра частного; частичное произведение, выровненное по левому краю, под исходным делимым, также записывается. Эти два числа вычитаются, в результате чего получается 8212999. Те же шаги повторяются: число усекается до шести цифр, выбирается частичное произведение, непосредственно меньшее усечённого числа, номер строки записывается как следующая цифра частного, а частичное произведение вычитается из разности, полученной в первом повторении. Процесс показан на диаграмме. Цикл повторяется до тех пор, пока результат вычитания не станет меньше делителя. Оставшееся число является остатком. В этом примере остаётся частное 485 и остаток 16364. Обычно процесс останавливается здесь, и ответ представляется в виде дроби. Для большей точности цикл продолжается, чтобы найти столько десятичных знаков, сколько требуется. После последней цифры частного ставится десятичная точка, а к остатку добавляется ноль, в результате чего получается 163640. Цикл продолжается, каждый раз добавляя ноль к результату после вычитания.

Закругляю .

Найдя желаемое количество цифр, легко определить, нужно ли округлять их вверх, то есть изменять последнюю цифру. Нет необходимости искать другую цифру, чтобы проверить, равна ли она 5 или больше. К корню прибавляется 25 и сравнивается с остатком; если это число меньше или равно остатку, то следующая цифра будет не меньше пяти, и требуется округление вверх. В приведенном выше примере 6839925 меньше, чем 11669900, поэтому корень необходимо округлить до 6840.0. Чтобы найти квадратный корень числа, которое не является целым, например, 54782.917, все остается прежним, за исключением того, что цифры слева и справа от десятичной точки группируются по две. Таким образом, 54782.917 будет сгруппировано как

Затем квадратный корень можно найти, используя описанный ранее метод.

Геналь Лукас

В 1891 году Анри Женель изобрел вариант костей Непера, который получил название линейки Женеля-Лукаса. Благодаря графическому представлению переноса, результаты простых умножений можно считывать напрямую, без каких-либо промежуточных вычислений в уме. Следующий пример демонстрирует вычисление 52749 × 4 = 210996.