Кіріспе
Топ теориясында, математиканың бір саласы, егер берілген G тобында бинарлық операция ∗ болса, G-нің H жиыны H сонымен қатар ∗ операциясы бойынша топ құраса, G-нің кіші тобы деп аталады. Нақтырақ айтқанда, H, егер ∗ операциясы H × H-ге шектеуленгенде H үшін топтық операция болса, G-нің кіші тобы болып табылады. Бұл көбінесе H ≤ G деп белгіленеді, оны "H – G-нің кіші тобы" деп оқылады. Кез келген топтың тривиальды кіші тобы – тек сәйкестік элементтен тұратын {e} кіші тобы. G тобының меншікті кіші тобы – G-нің меншікті кіші жиыны болып табылатын H кіші тобы (яғни H ≠ G). Бұл көбінесе H < G деп белгіленеді, оны "H – G-нің меншікті кіші тобы" деп оқылады. Кейбір авторлар тривиальды топты меншікті деп санамайды (яғни H ≠ {e}). Егер H, G-нің кіші тобы болса, онда G кейде H-нің үстелгі тобы деп аталады.
In group theory, a branch of mathematics, given a group G under a binary operation ∗, a subset H of G is called a subgroup of G if H also forms a group under the operation ∗. More precisely, H is a subgroup of G if the restriction of ∗ to H × H is a group operation on H. This is often denoted H ≤ G, read as "H is a subgroup of G". The trivial subgroup of any group is the subgroup {e} consisting of just the identity element. A proper subgroup of a group G is a subgroup H which is a proper subset of G (that is, H ≠ G). This is often represented notationally by H < G, read as "H is a proper subgroup of G". Some authors also exclude the trivial group from being proper (that is, H ≠ {e}). If H is a subgroup of G, then G is sometimes called an overgroup of H.
The same definitions apply more generally when G is an arbitrary semigroup, but this article will only deal with subgroups of groups.
Осы анықтамалар G кездейсоқ жартылай топ болған жағдайда да қолданылады, бірақ бұл мақалада тек топтардың кіші топтары қарастырылады.
In group theory, a branch of mathematics, given a group G under a binary operation ∗, a subset H of G is called a subgroup of G if H also forms a group under the operation ∗. More precisely, H is a subgroup of G if the restriction of ∗ to H × H is a group operation on H. This is often denoted H ≤ G, read as "H is a subgroup of G". The trivial subgroup of any group is the subgroup {e} consisting of just the identity element. A proper subgroup of a group G is a subgroup H which is a proper subset of G (that is, H ≠ G). This is often represented notationally by H < G, read as "H is a proper subgroup of G". Some authors also exclude the trivial group from being proper (that is, H ≠ {e}). If H is a subgroup of G, then G is sometimes called an overgroup of H.
The same definitions apply more generally when G is an arbitrary semigroup, but this article will only deal with subgroups of groups.
Ішкі топтар сынақтары
G – топ, ал H – G-нің ішкі жиыны деп есептейік. Қазір G-нің топтық амалы көбейту арқылы жазылады деп есептейік, оны тікелей жапсыру арқылы белгілейміз. Онда H, G-нің кіші тобы болады, егер және тек қана H бос емес болса және көбейту және кері амалдар бойынша жабық болса. Көбейту бойынша жабық дегеніміз – H-дегі кез келген a және b үшін ab көбейтіндісі H-де болады. Кері амалдар бойынша жабық дегеніміз – H-дегі кез келген a үшін a^(-1) керісі H-де болады. Бұл екі шартты біріктіруге болады: H-дегі кез келген a және b үшін ab^(-1) элементі H-де болады, бірақ екі жабылу шартын жеке-жеке тексеру әлдеқайда табиғи және көбінесе оңай. Егер H шекті болса, тексеруді жеңілдетуге болады: H – егер және тек қана ол бос емес және көбейту бойынша жабық болса ғана кіші топ болады. Бұл шарттардың өзі H-нің кез келген a элементі H-нің шекті циклдік кіші тобын тудырады, мысалы, n ретімен, ал a-ның керісі a^(n-1) болады. Егер топтық амал қосу арқылы белгіленсе, онда көбейту бойынша жабық шарты қосу бойынша жабық шартымен алмастырылуы керек, яғни H-дегі кез келген a және b үшін a + b қосындысы H-де болады, ал кері амалдар бойынша жабық шарты H-дегі кез келген a үшін керісі -a H-де болады деп өңделуі керек.
Кіші топтардың негізгі қасиеттері
Кіші топтың сәйкестігі топтың сәйкестігімен бірдей: егер G тобы eG сәйкестігіне ие болса, ал H тобы G кіші тобы eH сәйкестігіне ие болса, онда 1=eH = eG. Кіші топтағы элементтің керісі, топтағы сол элементтің керісімен бірдей: егер H тобы G тобының кіші тобы болса, және a мен b элементтері H-қа тиесілі болса, онда 1 = ab = ba = eH, демек 1 = ab = ba = eG. Егер H тобы G тобының кіші тобы болса, онда H → G енгізу картасы, H-тың әрбір a элементін өзіне бейнелейтін гомоморфизм болып табылады. G тобының A және B кіші топтарының қиылысы, G тобының тағы бір кіші тобы болып табылады. Мысалы, қосылу бойынша \R^2 жазықтығындағы x және y өстерінің қиылысы тривиалды кіші топты құрайды. Көбірек мысал келтередік, G тобының кез келген кіші топтар жиынының қиылысы, G тобының кіші тобы болып табылады. A және B кіші топтарының бірігісі, кіші топты құрайды, егер және тек қана A ⊆ B немесе B ⊆ A орындалса. Мысал келтірмейміз: 2\Z ∪ 3\Z, \Z тобының кіші тобы емес, себебі 2 және 3 осы жиынның элементтері, ал олардың қосындысы 5, жиынға кірмейді. Сол сияқты, \R^2 жазықтығындағы x және y өстерінің бірігісі, \R^2 тобының кіші тобы емес. Егер S, G тобының кіші жиыны болса, онда S-ты қамтитын ең кішкентай кіші топ болады, атап айтқанда, S-ты қамтитын барлық кіші топтардың қиылысы; ол <S> символымен белгіленеді және S-тің тудырған кіші тобы деп аталады. G тобының элементі <S>-қа тиесілі, егер және тек қана ол S элементтері мен олардың кері элементтерінің соңғы көбейтіндісі болса, мүмкін қайталап қолданылса. G тобының әрбір a элементі циклдік кіші топты тудырады. Егер <S> тобы \Z/n\Z (n-ге модульдік бүтін сандар) тобына изоморфты болса, кейбір оң бүтін n үшін, онда n – 1=a^(n) = e шартын орындайтын ең кішкентай оң бүтін сан, және n саны a-ның реті деп аталады. Егер <S> тобы \Z тобына изоморфты болса, онда a шексіз ретке ие деп айтылады. Кез келген берілген топтың кіші топтары, енгізу бойынша толық тор құрайды, ол кіші топтар торы деп аталады. (Бұл жерде инфимум әдеттегі жиындық қиылыс болса, кіші топтар жиынының супремумы – кіші топтардың жиындық бірігісімен туындаған кіші топ, бірақ жиындық бірігіс емес.) Егер e, G тобының сәйкестігі болса, онда тривиалды топ {e}, G тобының ең кішкентай кіші тобы, ал ең үлкен кіші топ – G тобының өзі.
The union of subgroups A and B is a subgroup if and only if A ⊆ B or B ⊆ A. A non example: 2\Z \cup 3\Z is not a subgroup of \Z, because 2 and 3 are elements of this subset whose sum, 5, is not in the subset. Similarly, the union of the x axis and the y axis in \R^2 is not a subgroup of \R^2. If S is a subset of G, then there exists a smallest subgroup containing S, namely the intersection of all of subgroups containing S; it is denoted by and is called the subgroup generated by S. An element of G is in if and only if it is a finite product of elements of S and their inverses, possibly repeated. Every element a of a group G generates a cyclic subgroup If is isomorphic to \Z/n\Z (the integers mod n) for some positive integer n, then n is the smallest positive integer for which 1=a^(n) = e, and n is called the order of a. If is isomorphic to \Z, then a is said to have infinite order. The subgroups of any given group form a complete lattice under inclusion, called the lattice of subgroups. (While the infimum here is the usual set theoretic intersection, the supremum of a set of subgroups is the subgroup generated by the set theoretic union of the subgroups, not the set theoretic union itself.) If e is the identity of G, then the trivial group {e} is the minimum subgroup of G, while the maximum subgroup is the group G itself.
Мысал: S4 субтоптары
S4 – 4 элементтің орналасуларына сәйкес келетін симметриялық топ. Төменде оның барлық кіші топтары кардиналдылығы бойынша реттелген. Әр топ (кардиналдылығы 1 және 2 болмағанда) өзінің Кейли кестесі арқылы көрсетілген.
24 элемент
Әр топтай, S4 өзінің кіші тобы болып табылады.
12 элемент
Алмасу тобы тек жұп өрістерді қамтиды. Ол S4-тің екі тривиальді емес дұрыс нормальды кіші топтарының бірі болып табылады. (Екіншісі – оның Клейн кіші тобы.)
1 элемент
Тrivialдік кіші топ — 1-ретті бірегей кіші топ.
Басқа мысалдар
Тіпті бүтін сандар бүтін сандар сақинасының 2\Z кіші тобын құрайды: екі жұп бүтін санның қосындысы жұп, ал жұп бүтін санның кері саны жұп болады. R сақинасындағы идеал – R-дің аддитивті тобының кіші тобы. Векторлық кеңістіктің сызықтық кіші кеңістігі – векторлардың аддитивті тобының кіші тобы. Абельдік топта шекті ретті элементтер торсиялық кіші топ деп аталатын кіші топты құрайды.
A linear subspace of a vector space is a subgroup of the additive group of vectors. In an abelian group, the elements of finite order form a subgroup called the torsion subgroup.